Variabel Kompleks (MA 2113) Residu dan Penggunaan Titik Singular Terisolasi dan Kutub Cara menghitung Residu Penggunaan Residu: Menghitung integral Kompleks Menghitung integral tak wajar Menghitung integral tentu Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Titik Singular Terisolasi Misal z0 : Titik Singular (TS) z0 :TS terisolasi dari f(z) bila ada lingkungan dari z0 sehingga f(z) analitik kecuali di z0 atau analitik pada 0 < | z – z0 | < R z0 R Tentukan jenis titik singular dari :  TS di z = 0 Dapat dibuat lingkungan dari z = 0 dengan R = 1 sehingga f(z) analitik 1 z = 0 : TS terisolasi Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Contoh Titik Singular Terisolasi  TS : z = 0, z = i dan z = -i  i -i Di z = 0,I,-i dapat dibuat lingkungan sehingga tidak memuat TS yang lain  TS terisolasi Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Contoh Titik Singular Terisolasi z =  1/n atau z = 0  TS tidak terisolasi 1 TS Terisolasi Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Pengertian Residu # 1 Perhatikan deret Laurent: Bagian Utama Deret b1 disebut residu dari f(z) di z = z0 ( TS Terisolasi ) (1). TS terisolasi z0 disebut kutub ( pole ) order m bila bm  0 dan bm+1 = bm+2 = bm+3 =……= 0 (2). TS Terisolasi z0 disebut kutub sederhana bila m = 1 (3). TS Terisolasi z0 disebut titik singular esensial bila m =  Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Pengertian Residu # 2 z = 2 kutub sederhana z = 0 kutub order 3 z = 0 titik singular esensial Residu : Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Cara Menghitung Residu # 1 Dari uraian deret Laurent, kita bisa langsung mengetahui residu. Bila tidak diuraikan, berikut ini salah satu cara untuk menghitung residu: Kutub Sederhana Misal f(z) mempunyai kutub sederhana di z0, maka Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Contoh Menghitung Residu Hitung residu di titik singularnya,  TS : z = i dan z = -i  Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Cara Menghitung Residu # 2 Kutub Order m Misal f(z) mempunyai kutub order m ( m = 2,3,4,…) di z = z0 , maka Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Contoh Menghitung Residu Tentukan Residu di titik singularnya,  TS : z = -1 Kutub order 3  Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Contoh Tentukan residu di titik singularnya,  TS : z = 0  Tidak analitik di z = 0 Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Contoh (Lanjutan)  Fungsi f(z) mempunyai kutub order dua,  Analitik di z = 0  Q ‘(0) = - ½ Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Soal Latihan Tentukan titik singular dan jenisnya dari Hitung residu di titik singularnya dari Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Menghitung Integral Kompleks # 1  f(z) fungsi rasional dan C lintasan tutup Cara Perhitungan : Tentukan semua titik singular dari f(z), pisahkan TS yang terletak di dalam dan diluar lintasan C Hitung semua residu di titik singular yang terletak di dalam lintasan C Rumus yang digunakan adalah z1 z2 zn C z0 zn+1 z1, z2, …, zn : TS yang terletak di dalam lintasan C Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Menghitung Integral Kompleks # 2 -1 Hitung Integral Kompleks, C dan C lintasan tutup arah positif dinyatakan dengan | z | = 2 TS : z = 0 ( kutub order dua ) dan z = -1 ( kutub sederhana ) Di z = 0     Q ‘(0) = 0 Di z = -1     Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Menghitung Integral Kompleks # 3 dan C lintasan tutup arah positif dinyatakan dengan | z | = 2 Kutub sederhana : z = 0, z = -1 dan z = 3 Di z = 0    Di z = -1    -1 3 C Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Soal Latihan Hitung integral kompleks berikut bila C  | z | = 3 (arah positif) : Hitung nilai integral kompleks berikut dengan lintasan yang diberikan mempunyai arah positif Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Menghitung Integral Tak Wajar # 1  Syarat : f(x) : fungsi rasional  f(x) = p(x) / q(x) Pangkat q(x) – pangkat p(x) ≥ 2 q(x) ≠ 0 untuk x  ( -,  ) (sepanjang sb real) C R -R D C : lintasan yang menutupi bagian atas bidang, y ≥ 0 TS : zk ( k = 1,2, …n ) dipilih yang terletak di separuh atas bidang Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Menghitung Integral Tak Wajar # 2 TS : z = -i dan z = i terletak di separuh atas bidang     i -i Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Menghitung Integral Tak Wajar # 3 bila f(x) fungsi genap yaitu f(-x) = f(x)   TS yang terletak di separuh atas bidang : z = 3i dan z = 2i  kutub sederhana Di z = 3i    Di z = 2i    Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Menghitung Integral Tak Wajar # 4 Bagian Real dari Bagian Imajiner dari Contoh: dan    TS : z = i ( terletak di separuh atas bidang, order dua )    Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Menghitung Integral Tak Wajar # 5  Catatan : Untuk menghitung integral dengan f(x) = p(x) / q(x) dapat berlaku untuk pangkat p(x) – pangkat q(x)  1 Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Soal Latihan Hitung nilai integral berikut Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Menghitung Integral Tentu # 1 Syarat : F : fungsi rasional dan | F | <  pada interval [0, 2]  Lintasan C dinyatakan dengan | z | = 1 arah positif C : | z | = 1   Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Menghitung Integral Tentu # 2 TS terletak di dalam | z | = 1  dan   Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Menghitung Integral Tentu # 3 TS terletak di dalam | z | = 1  dan   Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Soal Latihan Selesaikan integral tentu berikut : Selasa, 02 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)