1 PROBABILITAS Himawan Arif S STIE Bank BPD Jateng Sesi 2 & 3

Pengantar : 2  Banyak kejadian dalam kehidupan sehari- hari yang sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian yang akan datang.  Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi.  Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P.

Teori Probabilitas – didasarkan pada konsep dari suatu eksperimen random Random – fenomena/eksperimen dimana keluaran individual tidak pasti tetapi ada distribusi yg regular dari keluaran utk jumlah pengulangan yang banyak Konsep Dasar Probabilitas

4 Pengertian dan Manfaat Probabilitas Pengertian  Probabilitas adalah besarnya kemungkinan terjadinya suatu peristiwa  Nilai probabilitas: antara 0 sampai dengan 1  Jika probabilitas suatu peristiwa bernilai 0 menunjukkan bahwa peristiwa tersebut pasti tidak akan terjadi  Jika probabilitas suatu peristiwa bernilai 1 menunjukkan bahwa peristiwa tersebut pasti akan terjadi Manfaat: Manfaat mengetahui probabilitas adalah membantu pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, dan informasi yang tidak sempurna. Contoh: Pembelian harga saham berdasarkan analisis harga saham Peluang produk yang diluncurkan perusahaan (sukses atau tidak), dan lain-lain.

Probabilitas: Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase. Percobaan: Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi. Hasil (outcome): Suatu hasil dari sebuah percobaan. Peristiwa (event): Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan. Beberapa istilah dalam Probabilitas

6 Percobaan/ Kegiatan Pertandingan sepak bola Maroko dan Indonesia di Stadion Palembang HasilIndonesia Menang Indonesia Kalah Seri -- Indonesia tidak kalah dan tidak menang PeristiwaIndonesia Kalah Contoh:

Sifat-sifat probabilitas kejadian A : 7 0  P(A)  1, artinya nilai probabilitas kejadian A selalu terletak antara 0 dan 1 P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A tidak terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa kejadian A mustahil untuk terjadi. P(A) = 1, artinya dalam hal kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi.

PENDEKATAN PROBABILITAS 1.Pendekatan Klasik 2.Pendekatan Relatif 3.Pendekatan Subjektif

Probabilitas = jumlah Kemungkinan hasil (A) suatu peristiwa (A) jumlah total kemungkinan hasil (S) 9 PENDEKATAN KLASIK Definisi: Setiap peristiwa mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi. Rumus:

10 Bila banyak kejadian yang diharapkan muncul dinotasikan dengan n(A), dan banyaknya kejadian yang mungkin muncul (ruang sampel = S) dinotasikan dengan n(S) maka Peluang kejadian A ditulis P(A) = n(A) n(S)

PENDEKATAN KLASIK PercobaanHasilProbabi- litas Kegiatan melempar uang 1. Muncul gambar 2. Muncul angka 2½ Kegiatan perdagangan saham 1. Menjual saham 2. Membeli saham 2½ Perubahan harga 1. Inflasi (harga naik) 2. Deflasi (harga turun) 2½ Mahasiswa belajar 1. Lulus memuaskan 2.Lulus sangat memuaskan 3. Lulus terpuji 31/3

12 Contoh Peluang muncul muka dadu nomor 5 dari pelemparan sebuah dadu satu kali adalah…. Penyelesaian: n(5) = 1 dan n(S) = 6  yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Jadi P(5) = =

Definisi: Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa banyak suatu kejadian terjadi. Rumus: PENDEKATAN RELATIF Contoh: Kegiatan jual beli saham: 3 jt transaksi terdiri dari jual & beli. Prob relatifnya: /3jt)=82%. Prob beli (545000/3jt)=18% Probabilitas = jumlah peristiwa yang terjadi suatu peristiwa jumlah total percobaan

PENDEKATAN SUBJEKTIF Definisi: Probabilitas suatu kejadian didasarkan pada penilaian pribadi yang dinyatakan dalam suatu derajat kepercayaan. Contoh: Menurut Ketua PMB STIE BPD tahun , penerimaan mahasiswa baru akan meningkat 75%, karena telah dibuka program D3 Akuntanasi dan Perpajakan

15 Permutasi Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia adalah banyak cara menyusun r unsur yang berbeda diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia dengan memperhatikan urutan Rumus: n P r =

16 Contoh Banyak cara menyusun pengurus yang terdiri dari Ketua, Sekretaris, dan Bendahara yang diambil dari 5 orang calon adalah….

17 Penyelesaian banyak calon pengurus 5  n = 5 banyak pengurus yang akan dipilih 3  r = 3 n P r = = 5 P 3 = = = 60 cara

18 Kombinasi Kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia adalah banyak cara mengelompokan r unsur yang diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia tanpa memperhatikan urutan Rumus: n C r =

19 Contoh Seorang siswa diharuskan mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan. Banyak pilihan yang dapat diambil oleh siswa adalah….

20 Penyelesaian mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan berarti tinggal memilih 2 soal lagi dari soal nomor 5 sampai 8 r = 2 dan n = 4 4 C 2 = 6 pilihan

21 Contoh Dalam sebuah kantong terdapat 7 kelereng merah dan 3 kelereng biru. Bila tiga buah kelereng diambil sekaligus maka peluang terambilnya kelereng merah adalah….

22 Penyelesaian: Banyak kelereng merah = 7 dan biru = 3  jumlahnya = 10 Banyak cara mengambil 3 dari 7  7 C 3 = = = 35

23 Banyak cara mengambil 3 dari 10  10 C 3 = = = 120 Peluang mengambil 3 kelereng merah sekaligus = = =

24 KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS A.Hukum Penjumlahan ABAB Apabila P(AB) = 0,2; P(A) = 0,35; P(B) = 0,40 maka, P(A ATAU B) = 0,35 + 0, 40 – 0,2 = 0,55 Peristiwa atau Kejadian Bersama (Joint Event) Contoh : P(A) = 0,35, P(B) 0,40 DAN P (C) 0,25 Maka P(A ATAU C ) = 0,35 + 0,25 = 0,60 P(A ATAU B) = P(A) + P(B) P(A ATAU B) = P(A) + P(B) – P (AB)

Contoh joint event KegiatanPerusahaanJumlah Simpatimentaristarone Sales(A) Buy(B) sum P(BS) = 40/200 = 0.15 P(AS) = 30/200=0.20

26 Peristiwa Saling Lepas/terpisah (Mutually Exclusive Events) Dua kejadian A dan B disebut saling terpisah bila keduanya tidak mungkin terjadi secara bersamaan. Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas maka peluang kejadian A atau B adalah P(AB) = 0 Maka P(A ATAU B) = P (A) + P(B) + 0 = P(A) + P(B) AB KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS Bahwa peristiwa A tidak menjadi bagian peristiwa B. Begitu juga sebaliknya. Misal Dalam sekali pelemparan mata uang, Jika A kejadian munculnya sisi angkat dan Kejadi B munculnya sisi Gambar, maka A dan B adalah dua kejadian saling terpisah karena tidak mungkin A dan B terjadi Bersamaan

27 Contoh Dari satu set kartu bridge (tanpa joker) akan diambil dua kartu satu persatu berturut-turut, kemudian kartu tersebut dikembalikan. Peluang terambilnya kartu as atau kartu king adalah….

28 Penyelesaian: kartu bridge = 52  n(S) = 52 kartu as = 4  n(as) = 4 P(as) = kartu king = 4  n(king) = 4 P(king) = P(as atau king) = P(as) + P(king) =

29 KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS B. Hukum Perkalian Kejadian Saling Bebas (Independent Event) Dua Kejadian A dan B disebut bebas bila nilai peluang A tidak tergantung pada muncul atau tidaknya kejadian B. Rumus kejadian A dan B yang saling Independet sbb: P( A Ո B) = P(A) X P(B) Contoh: Ada 3 transaksi saham (S&B), transaksi pertama melakukan transaksi beli (A), dan pada transaksi ke 2&3 bisa melakukan transaksi beli atau jual (B) (bebas dari pengaruh transaksi pertama) Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25 Maka P(A dan B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875

30 Contoh 2 Anggota paduan suara suatu sekolah terdiri dari 12 putra dan 18 putri. Bila diambil dua anggota dari kelompok tersebut untuk mengikuti lomba perorangan maka peluang terpilihnya putra dan putri adalah….

31 Penyelesaian banyak anggota putra 12 dan banyak anggota putri 18  n(S) = = 30 P(putra dan putri) = P(putra) x P(putri) = x =

32 Contoh 2 Peluang Amir lulus pada Ujian Nasional adalah 0,90. Sedangkan peluang Badu lulus pada Ujian Nasional 0,85. Peluang Amir lulus tetapi Badu tidak lulus pada ujian itu adalah….

33 Penyelesaian: Amir lulus  P(A L ) = 0,90 Badu lulus  P(B L ) = 0,85 Badu tidak lulus  P(B TL ) = 1 – 0,85 = 0,15 P(A L tetapi B TL ) = P(A L ) x P(B TL ) = 0,90 x 0,15 = 0,135

Probabilitas bersyarat (Dependent Events) Probabilitas suatu peristiwa A seringkali harus dimodifikasikan bila ada informasi bahwa terdapat peristiwa B yang berkaitan dengan peristiwa a tersebut telah terjadi sebelumnya. Perubahan nilai probabilitas peristiwa A bila diketahui bahwa peristiwa B telah terjadi disebut sebagai probabilitas bersyarat a bila diketahui b terjadi dan dinotasikan dengan P(A|B).

Contoh P(B|A) (Dependent Events) Peluang pesawat reguler berangkat tepat waktu adalah 0,83. peluang penerbangan mendarat tepat waktu adalah 0,92 dan peluang berangkat dan mendarat tepat waktunya adalah 0,78. hitunglah peluang a.Mendarat tepat waktu bila diketahu pesawat berangkat tepat waktu b.Berangkat tepat waktu bila diketahui pesawat mendarat tepat waktu Penyelesaian Misalkan A= kejadian pesawat berangkat tepat waktu, P(A) = 0,83 b = kejadian pesawat mendarat tepat waktu, P(B) = 0,92 a. b.

36 DIAGRAM POHON 1 Beli Jual 0,6 BNI BLP BCA BNI BLP BCA 0,25 0,40 0,35 0,25 0,40 0,35 Keputusan Jual atau Beli Jenis Saham Probabilitas Bersyarat Probabilitas bersama 1 x 0,6 x 0,35 = 0,21 1 x 0,6 x 0,40 = 0,24 1 x 0,6 x 0,25 = 0,15 1 x 0,4 x 0,35 = 0,14 1 x 0,4 x 0,40 = 0,16 1 x 0,4 x 0,25 = 0,10 0,21+0,24+0,15+0,14 +0,16+0,10 =1,0 Jumlah Harus = 1.0 Diagram Pohon Suatu diagram berbentuk pohon yang membantu mempermudah mengetahui probabilitas suatu peristiwa 0,4

Kejadian Majemuk Komplemen suatu kejadian A ditulis (A 1 ) adalah kejadian tidak terjadinya A Contoh: Misalkan pada percobaan mengambil satu kartu dari delapan kartu yang diberi nomor 1,2,3,4,5,6,7,dan 8 dari dalam sebuah kotak : Kejadian tidak terambil kartu < 4 (A 1 )

Hubungan antara Pada percobaan di atas

CONTOH Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 3 bola putih, dan 2 bola kuning. Tentukan peluang terambil bola bukan kuning Jawab: Seluruhnya ada 10 Bola n(s)=10 Misal K adalah kejadian terambil Bola kuning, Bola kuning ada 2, maka n(K)= 2

40 Contoh 2 Sepasang suami istri mengikuti keluarga berencana. Mereka berharap mempunyai dua anak. Peluang paling sedikit mempunyai seorang anak laki-laki adalah …. Jawab: kemungkinan pasangan anak yang akan dimiliki: keduanya laki-laki, keduanya perempuan atau 1 laki- laki dan 1 perempuan  n(S) = 3 Peluang paling sedikit 1 laki-laki = 1 – peluang semua perempuan = 1 – = 1 –

41 Contoh 3 Dalam sebuah keranjang terdapat 50 buah salak, 10 diantaranya busuk. Diambil 5 buah salak. Peluang paling sedikit mendapat sebuah salak tidak busuk adalah…. a. b. c. d. e.

42 Penyelesaian: banyak salak 50, 10 salak busuk diambil 5 salak  r = 5 n(S) = 50 C 5 Peluang paling sedikit 1 salak tidak busuk = 1 – peluang semua salak busuk = 1 –  berarti jawabannya a

43 1.Banyak bilangan yang terdiri dari tiga angka yang dibentuk dari angka-angka 3, 4, 5, 6, 7, dan 8, di mana setiap angka boleh digunakan lebih dari satu kali adalah…. 2.Dari sebuah kantong yang berisi 10 bola merah dan 8 bola putih akan diambil 4 bola sekaligus secara acak. Berapa peluang mengambil 4 merah dan 2 bola putih? 3.Dalam sebuah kantong terdapat 4 kelereng merah dan 3 kelereng biru. Jika diambil 2 kelereng sekaligus, berapa peluang terambilanya semua kelereng merah Latihan Soal 1

1.Sebuah dompet berisi uang logam 5 keping lima ratusan dan 2 keping ratusan rupiah.Dompet yang lain berisi uang logam 1 keping lima ratusan dan 3 keping ratusan. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah…. 2.Dari sebuah kantong berisi 6 kelereng merah dan 4 kelereng biru diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2 kelereng merah dan 1 biru adalah…. 3.Dari sebuah kotak yang berisi 5 bola merah dan 3 bola putih di-ambil 2 bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya keduanya merah adalah…. 4.Dari sebuah kantong berisi 4 Bola Kuning dan 6 Bola biru. Jika diambil 4 bola sekaligus secara acak. Berapa peluang terambilnya 2 bola kunig dan 2 bola biru? Latihan Soal 2A

Soal Latihan 2B 1.Pada percobaan melempar sebuah dadu satu kali. A adalah kejadian muncul mata dadu prima. B adalah kejadian muncul mata dadu kelipatan 3. tentukan peluang kejadian muncul mata dadu prima atau kelipatan 3 2.Dua dadu dilempar bersamaan, satu berwarna merah dan yang lain berwarna biru. Jika A adalah kejadian muncul mata 2 pada dadu merah dan B adalah kejadian muncul jumlah mata dadu adalah 5. apakah kejadian A dan B saling bebas? 3.Dua keping uang logam dilempar bersama. Misalkan A adalah kejadian muncul gambar pada keping pertama dan B adalah kejadian muncul gambar pada keping kedua. Tentukan peluang kejadian A dan B

Selamat Belajar 46