Teori Peluang

Adaptif Hal.: 2 PELUANG Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi SStandar Kompetensi Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang KKompetensi Dasar Mendiskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi IIndikator Kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi digunakan dalam menentukan banyaknya cara menyelesaikan suatu masalah

Adaptif Hal.: 3 PELUANG Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi  Kaidah pencacahan 1. Aturan pengisian tempat yang tersedia Contoh: Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi). Pada perlombaan tersebut disediakan dua hadiah. Ada berapakah susunan pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan?

Adaptif Hal.: 4 PELUANG Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi JJawab: Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul, dapat kita susun yaitu: AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC. Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara umum mengikuti aturan sebagai berikut: Langkah 1: Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar sebagai juara pertama. Langkah 2: Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua. 4 x 3 = 12 Jadi seluruhnya ada susunan pemenang yang mungkin terjadi

Adaptif Hal.: 5 PELUANG Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi CContoh 2 Amalia memiliki 4 buah kemeja, 2 buah celana panjang dan 3 sepatu. Ada berpa cara ia dapat berpakaian lengkap? Jawab: Kemeja yang dapat dipilih Amalia ada 4 cara, celana panjang 2 cara dan sepatu 3 cara. Jadi, ada cara Amalia dapat berpakaian lengkap 4 x 2 x 3 = 24

Adaptif Hal.: 6 PELUANG Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi DDari uraian tersebut dapat kita peroleh suatu kesimpulan : Jika terdapat buah tempat yang tersedia dengan: n 1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama. n 2 = banyaknya cara mengisi tempat kedua, setelah tempat pertama terisi. n 3 = banyaknya cara mengisi tempat ketiga, setelah tempat pertama dan kedua terisi, dan n k = banyaknya cara mengisi tempat ke – k, setelah tempat-tempat sebelumnya terisi. Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia adalah Aturan ini yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia atau kaidah perkalian. n1 x n2 x n3 x … x nk.

Adaptif Hal.: 7 PELUANG Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi DDefinisi dan Notasi faktorial Definisi: Hasil perkalian semua bilangan bulat positip dari satu sampai dengan n disebut n faktorial, dan diberi notasi n!. 1 x 2x 3 x … x (n-1) x n, n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1 dengan 1! = 1 Jadi n! = n! = 0! = 1 dan atau

Adaptif Hal.: 8 PELUANG Masalah Permutasi Masalah Misalkan diadakan undian untuk memperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II). Jika yang memperebutkan hadiah itu ada 3 orang (A, B, dan C), ada berapa cara kedua macam hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang?. Jawab: Menurut Prinsip Perkalian = 3×2 = Obyek Eksp. A B C Cara Eksp. Diundi untuk memperebutkan 2 hadiah A B C B C A C A B (B,A) = permutasi ke-3 = p 3 (A,B) = permutasi ke-1 = p 1 (A,C) = permutasi ke-2 = p 2 (C,A) = permutasi ke-5 = p 5 (C,B) = permutasi ke-6 = p 6 (B,C) = permutasi ke-4 = p 4... S, n(S) = 3 cara 2 cara Banyaknya cara: n(S) = = 3×2 = 6 ==

Adaptif Hal.: 9 PELUANG Masalah Permutasi Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama Ada berapa cara untuk membuat susunan huruf yang berbeda dari kata “MAMA”?. Jawab MMAA MAMA AMMA AMAM AAMM MAAM Ada 6 cara Jika salah satu anggota diberi indeks M 1 A 1 M 2 A 2 M 2 A 2 M 1 A 1 M 1 A 2 M 2 A 1 M 2 A 1 M 1 A 2 = = Selanjutnya perhatikan bahwa = 6 =

Adaptif Hal.: 10 PELUANG Masalah Permutasi Berapa banyak cara untuk membuat susunan huruf dari kata “KAKAKKU”? Jawab = ×× = Secara umum, dengan n1n1 = + n2n2 ++ nknk n. Banyaknya cara mengambil 2 huruf A dari (7 – 4) huruf sisanya ada, dan banyaknya cara mengambil 1 huruf A dari (7 – 4 – 2) huruf sisanya ada. Maka menurut prinsip perkalian banyaknya cara untuk membuat susunan huruf dari kata KAKAKKU ada: Karena ada 4K, 2A, dan 1U, maka banyaknya cara = = Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama = = 105 cara Secara matematika formal, banyaknya cara mengambil 4 huruf K dari 7 huruf ada

Adaptif Hal.: 11 PELUANG Masalah Permutasi Permutasi Siklis A C B C B A B A C Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar Dari 3 tempat duduk pada permainan roda putar itu sebenarnya hanya ada 2 saja yang berbeda susunannya, yakni ABC dan ACB. Sehingga hanya ada 2 permutasi siklis. Maka berarti ketiga permutasi siklis tsb sama, yakni ABC = CAB = BCA. Untuk melihat kesamaannya perhatikan bahwa: CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (Pandanglah A sebagai titik awal). Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = = (n – 1)!

Adaptif Hal.: 12 PELUANG Masalah Permutasi  Permutasi berulang JJika kita inin menyusun kata yang terdiri 2 huruf, yang dipilih dari huruf A, D, I, serta kata yang terbentuk boleh mengandung huruf yang sama, maka kita akan mendapatkan kata: AA, AD, AI, DD, DA, DI, II, IA, ID. Jadi, banyaknya permutasi dua huruf yang diambil dari 3 huruf dengan huruf- huruf itu boleh berulang ada 9 cara.

Adaptif Hal.: 13 PELUANG Masalah Permutasi SSecara umum: Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang) adalah sebagai berikut: dengan r P (berulang) =n r n

Adaptif Hal.: 14 PELUANG Masalah Kombinasi NoObyek Eksp.Cara Eksp.Kemungkinan yang dapat hadir 1O = {A,B,C,D} Diundang 2 orang wakilnya untuk rapat keluarga AB = c 1 AC = c 2 AD = c 3 BC = c 4 BD = c 5 CD = c 6 2O = {A,B,C,D} Diundang 3 orang wakilnya untuk rapat keluarga ABC = c 1 ABD = c 2 ACD = c 3 BCD = c 4

Adaptif Hal.: 15 PELUANG Masalah Kombinasi Perhatikan bahwa = x 2! 12 = 6 x 2! 6 × 2! Total = = 12 = 6 × 2 = 6 2! AB dan BA AC dan CA AD dan DA BC dan CB BD dan DB CD dan DC c 1 = AB c 2 = AC c 3 = AD c 4 = BC c 5 = BD c 6 = CD Banyaknya Permutasi Jika elemen-elemen kombinasi itu dipermutasikan Macam Kombinasi

Adaptif Hal.: 16 PELUANG Masalah Kombinasi Macam Kombinasi Jika elemen-elemen kombinasi itu dipermutasikan (Bayangkan hasilnya dari diagram pohon ybs) Banyaknya Permutasi c 1 = ABC c 2 = ABD c 3 = ACD c 4 = BCD ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, dan DBA ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, dan DCA ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, dan DBA 3! = 4 = 4 × 6 = 24 4 × 3! Perhatikan bahwa 24 = 4 × 3! = × 3! Dari : (1) = × 2! (2) = × 3! 2! = 3! = Maka Secara Umum : = = r! n! (n – r)! r!

Adaptif Hal.: 17 PELUANG Masalah Kombinasi Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan beberapa unsur sama Misal 4 bola akan yang diambil dari dalam kotak berisi 4 bola merah, 3 bolaputih dan 2 bola hijau.Empat bola yang diambil harus terdiri dari 2 bola merah, 1 bola putih dan 1 bola hijau. Cara pengambilan ini merupakan masalah kombinasi k unsur dari n unsur dengan beberapa unsur yang sama. Sehingga total cara pemilihan 4 bola dari 9 bola adalah 4 C 2. 3 C 1. 2 C 1 cara.

Adaptif Hal.: 18 PELUANG Masalah Kombinasi MMisal terdapat n unsur yang terdiri dari q 1, q 2, q 3, …, q n Unsur q 1 ada sebanyak n1, unsur q 2 ada sebanyak n 2, unsur q 3 ada sebanyak n 3, …, unsur q e ada sebanyak n e, sehingga n 1 + n 2 + n 3 + …+ ne = n. Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari k 1 unsur q 1, k 2 unsur q 2, k 3 unsur q 3, …, k e unsur q e dengan k 1 + k 2 + k 3 + … + k e = k. Banyak cara pengambilan adalah: n 1 C k 1. n 2 C k 2. n 3 C k 3 ….. n e C k e

Adaptif Hal.: 19 PELUANG Peluang Kejadian PPercobaan, Ruang Sampel, Peluang suatu kejadian Kombinatorik Adalah teknik menghitung banyaknya anggota ruang sampel dengan : 1.Cara mendatar 2.Membuat tabel 3.Membuat diagram pohon Peluang adalah nilai frekuensi relatif munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen jika banyaknya percobaan tak terhingga. P(A)=

Adaptif Hal.: 20 PELUANG Peluang Kejadian Eksperimen (Percobaan Acak) AAda Obyek Eksperimen AAda Cara Eksperimen AAda Hasil-hasil Yang Mungkin (Titik-titik Sampel) Obyek Eksp. Cara Eksp. Hasil-hasil Yang Mungkin s1s1 s2s2 s3s3 s4s4 s5s5 S S = Ruang Sampel = { s 1, s 2, s 3,..., s 5 } = Himpunan semua hasil yang mungkin dalam eksperimen itu s 1, s 2, s 3,..., s 5 masing-masing disebut titik sampel s2s2 S s1s1 s3s3 s4s4 s5s5

Adaptif Hal.: 21 PELUANG Peluang Kejadian snsn S A s3s3 s2s2 s1s1 smsm S = Ruang Sampel = Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu = {s 1, s 2, s 3,..., s m,..., s n } A = Suatu peristiwa dalam ruang sampel S = {s 1, s 2, s 3,..., s m } Prinsip Penjumlahan P(A) = P({s 1 }) + P({s 2 }) + P({s 3 }) P({s m }) = jumlah peluang masing-masing titik sampel yang ada di dalamnya

Adaptif Hal.: 22 PELUANG Peluang Kejadian Peluang Berdasar Pengambilan Sampel PPengambilan Sekaligus → Kombinasi Pengulangan obyek eksp. tidak dimungkinkan dan urutan tak diperhatikan (tak punya makna) PPengambilan Satu Demi Satu 1. Tanpa Pengembalian → Permutasi Pengulangan obyek eksp. tidak dimungkinkan dan urutan diperhatikan (punya makna) 2. Dengan Pengembalian → Bukan Permutasi dan Bukan Kombinasi

Adaptif Hal.: 23 PELUANG Peluang Kejadian Banyaknya Eksp. Frek. Munculnya s 1 = s2s2 s3s3 300 kali kali kali kali banyak kali Fr (s 1 ) ≈ Fr (s 2 ) ≈ Fr (s 3 ) ≈ 1. Pengambilan Sekaligus Hasil-hasil yang mungkin Obyek Eksp Cara Ekp Eksp1: ambil acak 2 bola sekaligus … s 1 … s 2 … s S A Ambil acak 2 bola sekaligus. Hasil-hasil yang mungkin? A S s2s2 s1s1 s3s3 P({s 1 }) = P({s 2 }) = P({s 3 }) = Maka S berdistribusi seragam S = {s 1, s 2, s 3 } = Ruang sampel hasil eksperimen A = Peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil = {s 1, s 3 }, n(A) = 2. n(S) ==3. P(A) =

Adaptif Hal.: 24 PELUANG Peluang Kejadian 2. Pengambilan Satu demi Satu Tanpa Pengembalian Obyek Eksp Cara Ekp Eksp 2 : ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengembalian Ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengemb. Hasil-hasil yang mungkin? … s 1 … 13 … s 2 … 21 … s 3 … 23 … s 4 … 31 … s 5 … 32 … s 6 … S A 3 cara 2 cara Hasil-hasil yang mungkin A S s6s6 s5s5 s4s4 s2s2 s1s1 s3s3 P({s 1 }) = P({s 2 }) = … = P({s 6 }) = Maka S berdistribusi seragam. S = {s 1, s 2, s 3,...,s 6 } = Ruang sampel hasil eksperimen A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil = {s 1, s 3, s 4, s 6 } P(A) = = =. n(S) = = = 3 × 26.

Adaptif Hal.: 25 PELUANG Peluang Kejadian 3. Pengambilan 1 – 1 Dengan Pengembalian Eksp2:ambil acak 2 bola 1-1 dengan pengemb. Ambil acak 2 bola 1-1 dengan pengembalian. Hasil-hasil yang mungkin? I Hasil-hasil yang mungkin S II A … s … 2 … s … 3 … s … 1 … s … 2 … s … 3 … s … 3 cara A S s7s7 s2s2 s6s6 s3s3 s4s4 s8s8 s1s1 s5s5 s9s9 S = {s 1, s 2, s 3,..., s 9 } = Ruang sampel hasil eksperimen. n(S) = 3 × 3 = 9 A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil. = {s 2, s 4, s 6, s 8 } P(A) = =. P({s 1 }) = P({s 2 }) = … = P({s 9 }) = Maka S berdistribusi seragam.

Adaptif Hal.: 26 PELUANG Peluang Kejadian Frekuensi Harapan Frekuensi Harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan. Fr(A) = P(A). n dengan, Fr(A) = frekuensi harapan kejadian A P (A) = peluang kejadian A n = banyaknya percobaan Contoh: Peluang seorang anak terkena penyakit polio adalah 0,01, dari 8000 anak. Berapa kira- kira yang terjangkit penyakit polio? Jawab: P(kenapolio) = 0,01, n= 8000 Fr(A) = P(kena polio). n = 0,01 x 8000 = 80 Jadi, dari 8000 anak diperkirakan ada 80 anak yang terkena penyakit polio

Adaptif Hal.: 27 PELUANG Kejadian Majemuk A’ A’ S A Jika A mempunyai a elemen, dan S mempunyai n elemen maka A ’ mempunyai n- a elemen. Maka P(A ’ ) adalah peluang tidak terjadinya A. Kejadian bukan A dari himpunan S ditulis dengan simbol A ’ (atau A c ) disebut komplemen dari A. 1. Komplemen

Adaptif Hal.: 28 PELUANG Kejadian Majemuk 2.Dua Kejadian Saling Lepas.1.4 A B S Maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Sehingga S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A={kejadian mendapatkan bilangan prima} B={kejadian mendapatkan sedikitnya bilangan 5} Jika kita melihat hubungan antara, P(A) dan P(B), terdapat irisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh

Adaptif Hal.: 29 PELUANG Kejadian Majemuk dan Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu, dalam hal ini =Ø, maka kita katakan dua kejadian tersebut adalah saling lepas. Untuk kejadian saling lepas (saling asing) Maka = P(Ø) = 0 Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka

Adaptif Hal.: 30 PELUANG Contoh Soal : 1.Sebuah dadu dilemparkan satu kali, Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2}, tentukan P(A’) ? Jawab : Sebuah dadu dilemparkan satu kali, maka ruang sampelnya adalah: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2} = {3, 4, 5, 6} Maka P(A) = 4/6 = 2/3 P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3 2. Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, berapa peluang mendapatkan kartu As atau King? Kejadian Majemuk

Adaptif Hal.: 31 PELUANG Dua Kejadian Saling Bebas Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata 3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi. Peluang dua kejadian A dan B yang yang saling bebas adalah: P (A B) = P (A). P(B) Contoh : Misal A = kejadian muncul mata dadu 3 pada pelemparan pertama, maka : n(A) = 1, sehingga P(A) = Misal B = kejadian muncul mata dadu 5 pada pelemparan kedua, maka: n(B) = 1, sehingga P(B) = Peluang A dan B: P( A B) = P(A). P(B) =

Adaptif Hal.: 32 PELUANG 1. Peluang tidak terjadinya A atau P(A’) adalah P(A’) = 1 – P(A) Rangkuman 2. Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka 3. Jika A dan B kejadian yang saling bebas maka

Adaptif Hal.: 33 PELUANG SEKIAN TERIMA KASIH SAMPAI JUMPA LAGI