Konsep Dasar Probabilitas Dr Adi Setiawan

Eksperimen probabilitas (probability experiment) : segala kegiatan di mana suatu hasil (outcome), tanggapan (response) ataupun ukuran (measurement) diperoleh. Ruang sampel : himpunan yang memuat seluruh kemungkinan hasil, tanggapan atau ukuran dari eksperimen tersebut. Peristiwa/kejadian (event) : himpunan bagian dari ruang sampel Hubungan antara kejadian dan ruang sampel  dinyatakan dalam diagram Venn.

Contoh : Jika kita memeriksa 3 buah sekering satu per satu secara berurutan dan mencatat kondisi sekering tersebut dengan memberikan notasi B untuk sekering yang baik dan P untuk sekering yang putus  ruang sampel pada eksperimen probabilitas pemeriksaan tersebut : S = { BBB, BBP, BPB, PBB, PPB, BPP, PBP, PPP}. Kejadian A : kejadian bila diperoleh satu buah sekering yang putus, A = { BPB, PBB, BBP}.

Probabilitas : sebuah bilangan anggota interval [0,1] yang berkaitan dengan suatu kejadian tertentu. - jika peristiwa itu pasti terjadi maka probabilitas terjadinya 1, - jika peristiwa itu mustahil terjadi maka probabilitas terjadinya 0, - jika peristiwa itu mungkin terjadi maka probabilitas terjadinya antara 0 dan 1.

Sebuah kejadian A dapat terjadi dengan fA cara dari sejumlah N cara yang mutually exclusive dan memiliki kesempatan yang sama untuk terjadi  probabilitas terjadinya peristiwa A dinotasikan dengan P(A) dan didefinisikan sebagai sedangkan probabilitas tidak terjadinya peristiwa A dinyatakan sebagai :

Contoh : Misalnya dalam satu set kartu bridge yang terdiri dari 52 kartu terdapat 4 buah kartu As,  probabilitas pengambilan satu kartu akan mendapatkan kartu As : P(As) = 4 /52 = 1 /13. Seandainya pada sebuah eksperimen yang dilakukan sebanyak N kali terjadi kejadian A sebanyak fA kali  eksperimen tersebut dilakukan tak terhingga kali banyaknya,  nilai limit dari frekuensi relatif didefinisikan sebagai probabilitas kejadian A atau

Contoh : Probabilitas mendapatkan sebuah motor merek “X” yang cacat saat seseorang membelinya mungkin sulit diketahui dengan menggunakan definisi klasik probabilitas Secara teoritis probabilitas tersebut dapat diketahui jika dapat diketahui jumlah seluruh populasi produk motor baru “X” dan jumlahnya yang cacat

Jika menggunakan definisi frekuensi relatif maka perlu dilakukan pemeriksaan terhadap sampel motor “X” sebanyak mungkin (menuju tak hingga) Karena sangat sulit untuk mengkaji jumlah tak terhingga banyaknya maka dapat digunakan jumlah sampel yang memadai dan dapat dipercaya namun cukup ekonomis untuk menentukan frekuensi relatif tersebut

Kejadian majemuk (compound event) : kejadian yang merupakan irisan atau gabungan dari dua atau lebih kejadian sederhana Probabilitas bersyarat (conditional probability) : probabilitas dari sebuah kejadian yang akan terjadi  jika kejadian yang lainnya telah terjadi lebih dahulu

Probabilitas bersyarat kejadian A akan terjadi  jika kejadian B telah terjadi didefinisikan asalkan P(B) > 0

Contoh : Sebuah perusahaan pembuat personal computer melengkapi produk terbarunya dengan program-program siap pakai Jika dihitung dari jumlah seluruh produk terbaru itu, 60 % dilengkapi dengan program word processor, 40 % dilengkapi dengan program spreadsheet dan 30 % dilengkapi dengan kedua program siap pakai tersebut Misalkan seseorang membeli komputer buatan perusahaan tersebut dan didefinisikan A = { komputer yang dilengkapi dengan program word processor }, B = { komputer yang dilengkapi dengan program spreadsheet } P(A) = 0,6, P(B) = 0,4 dan P(A  B) = 0,3

Jika komputer yang dibeli oleh orang tersebut telah dilengkapi dengan program spreadsheet  probabilitas komputer itu juga dilengkapi dengan program word processor adalah probabilitas bersyarat : Dengan kata lain, dari seluruh komputer yang dilengkapi dengan program spreadsheet, 75 %-nya dilengkapi pula dengan program word processor

Kejadian A dan kejadian B saling bebas (independent)  apabila terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya Hal itu berarti P(A | B) = P(A), dan P(B | A) = P(B) Kejadian A dan kejadian B tidak saling bebas (dependent)  apabila terjadinya kejadian A mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya Kejadian A dan kejadian B dikatakan saling asing (disjoint events-mutually exclusive)  jika kejadian A dan kejadian B tidak mungkin terjadi secara bersamaan sehingga P( A  B) = 0 

Hukum Perkalian (multiplication law) Jika A dan B adalah kejadian-kejadian yang saling bebas maka P( A  B) = P(A) P(B) Secara umum : Jika Ai kejadian-kejadian yang saling bebas maka

Contoh : Diketahui bahwa 30 % mesin cuci buatan pabrik X memerlukan perbaikan selama masih dalam masa garansi, sementara hanya 10 % mesin pengering buatan pabrik yang sama membutuhkan perbaikan Jika seseorang membeli satu set yang terdiri dari satu mesin cuci dan satu mesin pengering, probabilitas kedua mesin tersebut memerlukan perbaikan selama masih dalam masa garansi dapat ditentukan dengan hukum perkalian

Misalkan C adalah kejadian mesin cuci memerlukan perbaikan, K adalah kejadian mesin pengering memerlukan perbaikan, P( C ) = 0,3 dan P( K ) = 0,1 Dengan anggapan bahwa mesin cuci dan mesin pengering berfungsi secara saling bebas satu sama lainnya  probabilitas keduanya memerlukan perbaikan selama masa garansi : P( C  K ) = P( C ) P(K) = (0,3) (0,1) = 0,03

Contoh : Jika ditetapkan kejadian X = { pemeriksaan pertama memperoleh blok tidak rusak } Y = { pemeriksaan kedua memperoleh blok tidak rusak } maka P(X) = 3/4 Jika pada pengecekan pertama sang mekanik memperoleh blok tidak rusak maka dari tiga blok rangkaian yang belum diperiksa masih terdapat dua blok yang tidak rusak sehingga P(Y | X) = 2/3 Jadi pemeriksaan ketiga harus dilakukan setelah pemeriksaan pertama dan kedua memperoleh blok yang tidak rusak  sehingga dari hukum perkalian diperoleh P( X  Y) = P(Y | X ) P(X) = (2/3) (3/4) = 6/12 = 0,5

Jika A, B dan C adalah kejadian-kejadian maka P(A  B  C ) = P( C | A  B ) P( B | A) P( A ) Hukum Penjumlahan (Addition Law) Hukum penjumlahan pada probabilitas kejadian majemuk dinyatakan sebagai P( A  B ) = P(A) + P( B) - P( A  B ) Jika kejadian A dan kejadian B saling asing maka P( A  B ) = P(A) + P( B)

Contoh : Sebuah perusahaan konsultan computer baru-baru ini mengajukan penawaran dua buah proyek Misalkan Ai = { proyek i yang disetujui } untuk i =1, 2 Misalkan P(A1) = 0,2, P(A2) = 0,25 dan jika proyek ke 1 disetujui saling bebas terhadap proyek ke 2 disetujui Akan ditentukan paling sedikit satu proyek disetujui yaitu P(A1  A2 ) = P(A1) + P(A2) - P(A1  A2 ) = 0,2 + 0,25 – (0,2)(0,25) = 0,45 – 0,05 = 0,4

Analisis Kombinatorial 1 Prinsip Dasar Jika sebuah peristiwa dapat terjadi dengan salah satu dari n1 cara berlainan dan apabila masing-masing cara bisa terjadi dengan n2 cara yang berlainan pula maka banyaknya cara yang mungkin bagi peristiwa tersebut untuk bisa terjadi adalah n1 n2 cara 2 Permutasi Suatu permutasi dari n obyek yang berbeda di mana pada setiap pemilihan diambil sebanyak r obyek  suatu cara penyusunan r obyek dari n obyek tersebut dengan memperhatikan urutan susunannya

3 Kombinasi Suatu kombinasi dari n obyek yang berbeda di mana pada setiap pemilihan diambil sebanyak r obyek  suatu cara penyusunan r obyek dari n obyek tersebut dengan tanpa memperhatikan urutan susunannya

Contoh : Sepuluh buah katup akan digunakan dalam sebuah sistem pemipaan Namun diketahui 3 di antaranya rusak Kemudian secara acak dipilih 3 katup tersebut, sehingga probabilitas bahwa yang terpilih sekurang-kurangnya 2 katup rusak dapat ditentukan berikut ini Banyak cara memilih 3 katup dari 10 katup yang ada (urutan tidak diperhatikan) merupakan banyak titik dalam ruang sampel : n(S) = cara

Kejadian A = { terpilih sekurang-kurangnya dua katup rusak }, B = { terpilih 3 katup rusak dan 0 katup baik }, C = { terpilih 2 katup rusak dan 1 katup baik } Banyak cara memilih 3 katup rusak dan 0 katup baik  artinya memilih 3 katup yang rusak dari 3 katup dan 0 katup dari 7 katup yang baik merupakan banyaknya titik sampel dalam kejadian B : n(B) = cara

Banyak cara memilih 2 katup rusak dan 1 katup baik  artinya memilih 2 katup yang rusak dari 3 katup dan 1 katup dari 7 katup yang baik merupakan banyaknya titik sampel dalam kejadian C : n(C) = cara Probabilitas yang terpilih sekurang-kuranya 2 katup rusak adalah (dengan B dan C disjoint event ) : P(A) = P( B  C) = P( B ) + P( C ) – P( B  C ) =

Terima kasih