TURUNAN FUNGSI ALJABAR Media Pembelajaran Matematika SMA XI IPS TURUNAN FUNGSI ALJABAR Persamaan Garis Singgung Oleh : Agus Setiawan, S.Pd

Persamaan Garis Singgung Perhatikan gambar berikut ini. Titik P dan Q terletak pada kurva y = f(x), titik P dan Q berturut-turut mempunyai absis x = a, dan x = a+h, maka ordinat titik P dan Q berturut-turut y = f(a) dan y = f(a+h) Garis PQ mempunyai gradien m yang ditentukan sebagai berikut. Selanjutnya jika Q bergerak mendekati P, maka garis PQ akan menjadi garis singgung kurva y = f(x) Jika Q mendekati P, maka nilai h juga akan mendekati 0, sehingga gradien garis singgung dapat ditentukan sebagai berikut. Berdasarkan definisi turunan fungsi maka gradien garis singgung di titik P(a, f(a)) adalah m Y y = f (x) garis PQ f(a+h) Q(a+h, f(a+h)) f(a+h) – f(a) garis singgung f(a) S P(a, f(a)) x = a x = a+h X h

Persamaan garis singgung kurva y = f (x) di titik (a, b) adalah dengan Ingat ! Diketahui dua garis g dan l , dengan persamaan g : m1x + c, dan l = m2x + c, dengan m1 dan m2 berturut-turut adalah gradien dari garis g dan l . Jika dua garis g dan l sejajar, maka m1 = m2 Jika dua garus g dan l saling tegak lurus, maka m1 . m2 = –1 y – b = m (x – a)

Contoh Soal dan Penyelesaiannya Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f (x) = 3x2 – 4x + 2 di titik (1,1) Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f (x) = 7 + 5x – 3x2 dengan absis 2 Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f (x) = (x – 2)(x + 5) dengan ordinat 8 Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f (x) = x2 – 2x – 3 yang mempunyai gradien 4 Persamaan parabola ditentukan dengan rumus y = 2x2 – ax + b. Garis y = –6x – 4 menyinggung parabola tersebut di titik (–1, 2). Carilah nilai a dan nilai b.

Contoh Soal dan Penyelesaiannya f (x) = 3x2 – 4x + 2 f / (x) = 6x – 4 garis melalui titik (1, 1) titik singgung (1, 1) gradien garis singgung m = = 6.1 – 4 = 2 diperoleh m = 2. persamaan garis singgung dititik (1, 1) dengan gradien m = 2 ditentukan dengan persamaan y – = (x – )  y – 1 = 2 (x – 1) y – 1 = 2x – 2 y = 2x – 2 + 1 y = 2x – 1 Jadi persamaan garis singgung kurva y = 3x2 – 4x + 2 di titik (1, 1) adalah y = 2x – 1 1 f / ( ) 1 1 2 b m a

Contoh Soal dan Penyelesaiannya 2. f (x) = 7 + 5x – 3x2 f / (x) = garis melalui titik berabsis 2 x = 2 titik singgung (2, 5) gradien garis singgung m = f / ( ) = 5 – 6.2 = –7 diperoleh m = –7. persamaan garis singgung di titik (2, 5) dengan gradien m = –7 dapat ditentukan dengan persamaan y – b = m(x – a)  y – 5 = –7(x – 2) y – 5 = –7x + 14 y = – 7x + 14 + 5 y = – 7x + 19 7x + y = 19 Jadi persamaan garis singgung kurva y = 7 + 5x – 3x2 berabsis 2 adalah y = – 7x + 19 5 – 6x 2 5 –7 2 a

Contoh Soal dan Penyelesaiannya 3. f (x) = (x – 2)(x + 5) = ( = f / (x) = garis melalui titik berordinat 8 y = f (x) = 8   (x + 6)(x – 3) = 0  x = –6 atau x = 3 Jadi diperoleh titik singgung (–6, 8) atau (3, 8) Untuk titik singgung (–6, 8) Gradien garis singgung m = f / ( ) = 2(–6) + 3 = –9 Persamaan garis singgung y – b = m(x – a)  y – 8 = – 9(x + 6) y – 8 = – 9x – 54 y = – 9x – 54 + 8 y = – 9x – 46 Untuk titik singgung (3, 8) x2 + 5x – 2x – 10) x2 + 3x – 10 2x + 3 x2 + 3x – 10 = 8 x2 + 3x – 10 – 8 = 0 x2 + 3x – 18 = 0

Contoh Soal dan Penyelesaiannya Untuk titik singgung (3, 8) Gradien garis singgung m = f / ( ) = 2(3) + 3 = 9 Persamaan garis singgung y – b = m(x – a)  y – 8 = 9(x – 3) y – 8 = 9x – 27 y = 9x – 27 + 8 y = 9x – 19 Jadi persamaan garis singgung kurva y = (x – 2)(x + 5) dengan ordinat 8 adalah : y = –9x – 46 untuk titik (–6, 8) atau y = 9x – 19 untuk titik (3, 8)

Contoh Soal dan Penyelesaiannya 4. f (x) = x2 – 2x – 3 f / (x) = 2x – 2 Garis singgung bergradien 4 m = 4  f / (x) = 4  2x – 2 = 4  2x = 4 + 2  2x = 6  x = 3 x = 3 maka y = = 32 – 2.3 – 3 = 9 – 6 – 3 = 0 Titik singgung (3, 0) Persamaan garis singgung y – b = m (x – a)  y – 0 = 4 (x – 3) y – 0 = 4x – 12 y = 4x – 12 Jadi persamaan garis singgung kurva y = x2 – 2x – 3 bergradien 4 adalah y = 4x – 12 f (3) f (x)

Contoh Soal dan Penyelesaiannya 5. y = f (x) = 2x2 – ax – b y / = f /(x) = 4x – a Titik singgung (–1, 2) Gradien garis singgung m = f /(–1) = 4. (–1) – a = –4 – a …… (i) Diketahui persamaan garis singgung y = –6x – 4, maka gradien garis singgungnya m = –6 …… (ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh –4 – a = 6  – a = –6 + 4  a = 2 Parabola y = 2x2 – ax + b melalui titik (–1, 2) dan a = 2, maka y = 2x2 – ax + b 2 = 2.(–1)2 – 2.(–1) + b 2 = 2.1 + 2 + b 2 = 4 + b –b = 4 – 2 –b = 2 b = –2 Jadi a = 2 dan b = –2 Sehingga persamaan parabola dapat ditulis y = 2x2 – 2x + 2

Latihan Soal Kerjakan Soal-soal berikut dengan benar! Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 – 9 di titik (2, –5) Tentukan persamaan garis singgung kurva y = (x2 – 1)(x – 1) yang melalui titik berabsis 2 Tentukan persamaan garis singgung pada f (x) = x2 – x dengan titik berordinat 6 Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 2x2 – x – 3 yang mempunyai gradien 1 Jika diketahui kurva y = f (x) = x3 – 25x + 1 tentukan persamaan garis singgung kurva yang sejajar dengan garis 2x – y + 4 = 0 Tentukan persamaan garis singgung kurva y = (x2 + 4)(2 – x) yang tegak lurus garis 3y – x = 1 Diketahui persamaan kurva y = x2 – ax + b. Jika persamaan garis singgung di titik (1, –5) adalah y = 4x – 9. Tentukan nilai a dan b