Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang DERET HITUNG & DERET UKUR Syahirul Alim Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

DERET HITUNG: Deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu Contoh : 5,10,15,20,25,30 (pembeda 5) 100,90,80,70,60,50 (pembeda -10)

Sn = a + (n-1)b a : suku pertama b : pembeda n: indeks suku 5 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30 S1,, S2, S3,S4, S5, S6 S1 = 5 = a S2 = 10 = a + b = a +(2-1)b S3 = 15 = a + 2b = a + (3-1)b Dan seterusnya, sehingga : Sn = a + (n-1)b a : suku pertama b : pembeda n: indeks suku

Contoh Soal: 1. RIM (Research in Motion) menghasilkan 300.000 buah Blackberry pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peneingkatan produktivitasnya, RIM mampu menambah produksinya sebanyak 50.000 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa banyak Blackberry yang dihasilkan pada bulan kelima? Dan berapa banyak Blackberry yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?

Jawab: Diketahui: a= 300.000 b = 50.000 n = 5 S5 = 300. 000 + ( 5 – 1) 50.000 = 500.000 J5 = 5/2 ( 300.000 + 500.000) = 2.000.000 Jadi jumlah produksi BB pada bulan kelima 500.000 buah dan jumlah keseluruhan yang dihasilkan sampai bulan tersebut adalah 2.000.000 buah

2. Besarnya penerimaan PT 2. Besarnya penerimaan PT. Astra International, tbk dari hasil penjualan Toyota Avanza Rp. 720 Milyar pada tahun kelima dan pada tahun ke tujuh berhasil mencatatkan Rp. 980 Milyar dari penjualannya. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut seperti deret hitung,, berapa perkembangan penerimaanya per tahun? Berapa besar penerimaannya pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 Milyar?

Sn = a + ( n – 1 ) b → 460 = 200 + ( n – 1 ) 130 Jawab: Diketahui: Dalam Milyaran: S7 = 980 → a + 6b = 980 S5 = 720 → a + 4b = 720 2b = 260 → b = 130 Perkembangan penerimaan per tahun sebesar Rp. 130 Milyar a + 4b = 720 → a = 720 – 4b = 720 – 4 (130) = 200 Perkembangan penerimaan tahun pertama sebesar Rp. 200 Milyar Sn = a + ( n – 1 ) b → 460 = 200 + ( n – 1 ) 130 460 = 200 + 130 n – 130 390 = 130 n n = 3 Penerimaan sebesar Rp. 460 Milyar diterima pada tahun ketiga

DERET UKUR: Deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu Contoh : 5,10, 20, 40, 80 (pengganda = 2) 1000, 500, 250,125 (pengganda = 0, 5)

Sn = ap n-¹ a : suku pertama p : pengganda n: indeks suku S1 = 5 = a S2 = 10 = a.p ap ²ˉ¹ S3 = 20 = a.pp ap2 = ap ³ˉ¹ Sn = ap n-¹ a : suku pertama p : pengganda n: indeks suku

Model Bunga Majemuk: Model Bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus Investasi. Dengan model ini bisa dihitung pengembalian kredit dimasa kan datang berdasarkan tingkat bunganya. Modal Pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku bunga per tahun setingkat i, maka jumlah akumulatif modal tersebut di masa datang setelah n tahun (Fn) dapat di hitung sebagai berikut:

Fn= P (1 + ) mn Setelah 1 tahun : F1 = P + P.i = P (1+i) Setelah 2 tahun : F2 = P (1+i) + P (1+i) = P (1 + i )2 Setelah 3 tahun : F3 = P (1 + i )2 + P (1+i)2 i = P (1 + i )3 Dengan demikian, jumlah masa datang dari jumlah sekarang adalah: Fn= P (1 + i )n P = Jumlah sekarang I = tingkat bunga per tahun n = jumlah tahun Bila menggunakan pembayar per termin, maka rumusnya: Fn= P (1 + ) mn m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

Suku (1+i) dan ( 1 + i/m) Dalam dunia bisnis dinamakan “ Faktor Bunga Majemuk” (compounding interest factor), yaitu suatu bilangan terdiri dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa datang dari suatu jumlah sekarang

Contoh soal: 1. Nadhia meminjam uang di BCA sebanyak Rp. 5 milyar untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah uang yang dikembalikan pada saat pelunasan? Seandainya perhitungan pembayar bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, Berapa jumlah yang harus dikembalikan Nadhia?

Jawab: P = 5.000.000.000 N = 3 i = 2 % = 0,02 Fn= P (1 + i )n F3 = 5.000.000.000 P (1 + 0,02 )3 = 5.000.000.000 (1,061208) = 5.306.040.000 Jadi pada saat pelunasan, setelah 3 tahun Nadhia harus membayar Rp. 5.306.040.000

Jadi jumlah yang harus dibayar lebih besar yaitu Rp. 5.307.600.000 Jika bunga di perhitungkan tiap semester, m = 2 maka: Fn = (1 + i/m) mn F3 = 5.000.000.000 (1 + 0,002)2³ = 5.000.000.000 (1,06152) = 5.307.600.000 Jadi jumlah yang harus dibayar lebih besar yaitu Rp. 5.307.600.000

2. Tabungan Arumi Bachsin di BNI akan menjadi sebesar Rp. 532. 400 2. Tabungan Arumi Bachsin di BNI akan menjadi sebesar Rp. 532.400.000 tiga tahun akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10 % per tahun, berapa tabungan Arumi Bachsin tersebut pada saat sekarang ini?

JAWAB: F = 532.400.000 n = 3 I = 10 % = 0,1 P = 1 / (1 + n ) ⁿ . 532.400.000 = 1 / ( 1 + 0,1) ³ . 532.400.000 = Rp. 400.000.000 Jadi Tabungan Arumi Bachsin di BNI sebesar Rp. 400.000.000

Model Pertumbuhan Penduduk Penerapan Deret Ukur yang paling sering digunakan dalam perekonomian adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Secara matematik, hal ini dapat dirumuskan:

Pt = P1 .Rt-1 Dimana ; R = 1 + r P1 = Jumlah pada tahun pertama (basis) Pt = jumlah pada tahun ke-t r = presentase pertumbuhan per tahun t = indeks waktu (tahun)

Contoh Soal: Penduduk Kota Malang pada tahun 2001 berjumlah 1.000.000 orang. Tingkat pertumbuhannya 4 % per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota Malang pada tahun 2016. Jika mulai tahun 2016 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5%, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian?

Diketahui; P1 = 1.000.000 r = 0,04 R = 1,04 P tahun 2016 = →P16 = 1.000.000 (1,04)15 = 1.000.000 (1,800943) = 1.800.943 jiwa P1 = 1.800.943 r = 0,025 R = 1,025 P 11 tahun kemudian →P11 = 1.800.943 (1,025)10 = 1.800.943 (1,2800843) = 2.305.359 jiwa

Atau dengan memanfaatkan kaidah logaritma P11 = 1.800.943 (1,025)10 Log P11 = log 1.800.943 (1,025)10 Log P11 = log 1.800.943 + 10 log 1,025 Log P11 = 6,255499 + 0,017239 Log P11 = 6,362738 P11 = 2.305.359

Latihan Soal: Penduduk Kabupaten Nganjuk pada tahun 2012 sebesar 1.880.450 jiwa. Pertumbuhan penduduk meningkat 5% tiap tahunnya diakibatkan banyaknya warga Nganjuk melakukan Pernikahan Dini, Berapa jumlah penduduk Kabupaten Nganjuk pada tahun 2022? Kemudian pada tahun 2022 terjadi penurunan jumlah penduduk sebesar 2%, Berapa besar jumlah penduduk 10 tahun kemudian?

Diketahui; P1 = 1.880.450 r = 0,05 R = ( 1 + 0,05) ≈ 1,05 P tahun 2012 = →P22 = 1.880.450 (1,05)11-1 = 1.880.450 (1,05)10 = 1.880.450 (1,628894627) = 3.063.054, 901 = 3.063.055 jiwa P1 = 3.063.055 r = 0,02 R = ( 1 + 0,02) ≈ 1,05 1,02 P 10 tahun kemudian →P10 = 3.063.055 (1,02)10-1 = 3.063.055 (1,02)9 = 3.063.055 (1,195092569) = 3.660.634, 151 = 3.660.634 jiwa

Penduduk Indonesia pada tahun 2030 sebesar 300. 050. 000 jiwa Penduduk Indonesia pada tahun 2030 sebesar 300.050.000 jiwa. Pertumbuhan penduduk meningkat 5% tiap tahunnya dimulai tahun 2000 diakibatkan banyaknya warga Indonesia melakukan Pernikahan Dini, Seks Bebas, dan gagalnya Program KB (Keluarga Berencana) Berapa jumlah penduduk Penduduk Indonesia pada tahun 2000? Kemudian pada tahun 2004 terjadi penurunan jumlah penduduk sebesar 1.250.255 jiwa karena banyaknya penduduk yang meninggal akibat gempa bumi, tsunami, bencana alam dan kerusuhan antar etnis. Berapa besar jumlah penduduk Indonesia pada tahun 2004 ?

Diketahui; P30 = 300.050.000 r = 0,05 R = ( 1 + 0,05) ≈ 1,05 Ditanyakan: P tahun 2000 = →P30 = P1 (1+ 0,05)30-1 = P1 (1,05)29 = P1 (4,116135595) 300.050.000 = P1 (4,116135595) P1 = 300.050.000 / 4,116135595 = 68.013.662, 92 = 68.013.663 jiwa