Simulasi Rantai Markov Ipung Permadi, S.Si, M.Cs

Rantai Markov Model markov atau Rantai Markov dapat digunakan untuk menjawab masalah yang berkenaan dengan sistem yang dinamis. Model Markov ini telah digunakan untuk menganalisis permasalahan inventori, perubahan merk kesukaan, penggantian alat, pertumbuhan populasi, masalah akuntansi, lokasi pabrik, dan semua permasalahan yang berkenaan dengan sistem dinamis. Kita tertarik untuk menganalisa sistem yang mana state dari sistem mendatang tergantung pada state saat ini dan bebas dari state sistem masa lalu.

Misalkan sebuah sistem dimana seseorang pada suatu saat hanya dapat berada dalam satu tempat dan hanya satu tempat dari sejumlah terbatas tempat yang mungkin. Contoh lain, misal seseorang pada suatu saat memilih merk X ia dikatakan berada di state0, bila ia memilih merk Y ia dikatakan berada di state1, bila ia memilih merk Z ia berada di state2, dan seterusnya. Mungkin akan timbul beberapa pertanyaan Jika pada saat ini sistem berada di state r, berapakah peluang sistem akan berada di state s, n tahap dari sekarang ? Setelah sejumlah besar tahap, berapakah peluang sistem akan berada di state s ? Jika perusahaan saat ini memiliki tingkat “share of the market”, seberapa besar share tersebut n tahap dari sekarang ? Akankah “share of the market”dari kompetitor akan stabil di masa mendatang ?

Anggaplah E1, E2, … , Ej (j = 0, 1, 2, …) mewakili hasil seluruh keadaan dan “mutually exclusive” dari sebuah sistem pada setiap saat. Pada awalnya, pada saat t0, sistem tersebut dapat berada di salah satu keadaan ini. Anggaplah aj(0)(j = 0, 1, 2, …) adalah probabilitas absolut bahwa sistem tersebut berada dalam keadaan Ej pada saat t0. Asumsikan lebih lanjut bahwa sistem ini bersifat Markov Definisikan

Sebagai probalitas transisi satu langkah untuk bergerak dari keadaan i pada saat tn-1 ke keadaan j pada saat tn dan asumsikan bahwa probabilitas ini bersifat stationer (tetap) sepanjang waktu. Jadi probabilitas transisi dari keadaan Ei, ke keadaan Ej dapat diatur secara lebih memudahkan dalam bentuk matriks sebagai berikut :

Matriks P disebut matriks transisi homogen (homogeneous transition) atau matriks stokhastik (stochastic matrix), karena semua probabilitas transisi pij adalah tetap dan independen dari waktu. Disebut homogen karena hanya dari matrik transisi dapat diperoleh peluang untuk waktu-waktu yang akan datang dari suatu kasus atau suatu permasalahan rantai markov. Probabilitas pij harus memenuhi kondisi

Defenisi dari sebuah rantai Markov sekarang sudah lengkap Defenisi dari sebuah rantai Markov sekarang sudah lengkap. Sebuah matriks transisi P bersamaan dengan probabilitas awal {aj(0)} yang berkaitan dengan keadaan Ej secara lengkap mendefinisikan sebuah rantai Markov. Kita dapat memandang sebuah rantai Markov sebagai perilaku transisi dari sebuah sistem di sepanjang interval waktu yang berjarak sama. Tetapi, terdapat situasi di mana jarak waktu tersebut bergantung pada karakteristik sistem dan karena itu kemungkinan tidak setara. Kasus ini disebut sebagai imbedded Markov chains.

Suatu state F dari sebuah discrete-time Markov chain: p menyatakan peluang perubahan kondisi dari state F ke state F (1-p) menyatakan peluang perubahan kondisi dari state F ke state yang lainnya Catatan: jika waktu adalah diskrit maka keputusan untuk tetap pada state F atau berubah ke state yang lain diambil pada akhir time slot

Contoh : Industri personal komputer merupakan industri yang mengalami pergerakan sangat cepat dan teknologi menyediakan motivasi kepeda konsumen untuk mengganti komputer setiap tahunnya. Kepercayaan merek sangat penting dan perusahaan-perusahaan mencoba segala cara untuk menjaga agar konsumen menjadi puas. Bagaimanapun juga, beberapa konsumen mencoba untuk mengganti dengan merek yang lain (perusahaan lain). Tiga merek tertentu Doorway, Bell, Kumpaq yang meguasai pangsa pasar. Orang yang memiliki komputer merek Doorway akan membeli tipe Doorway yg lain 80% dan sisanya membeli 2 merek yang lain dengan peluang sama besar. Pemilik komputer Bell akan membeli Bell lagi 90% dari waktu sementara itu 5% akan membeli Doorway dan 5% akan membeli Kumpaq. Sekitar 70% pemilik Kumpaq akan membeli Kumpaq, 20% akan membeli Doorway. Tiap merk memiliki 200.000 konsumen yang berencana untuk membeli sebuah komputer baru pada tahun depan, berapa banyak komputer dari tiap tipe akan dibeli ?

Penyelesaian : Kasus diatas merupakan kasus rantai Markov Initial Doorway Bell Kumpaq 200000 0.8 0.1 0.05 0.9 0.2 0.7 Untuk tahun depan :

Doorway Bell Kumpaq 200000 0.665 0.18 0.155 0.095 0.82 0.085 0.305 0.515 213000 236000 151000 Pada tahun depan konsumen yang memiliki komputer Doorway akan membeli Doorway lagi 66.5%, membeli Bell 18% dan membeli Kumpaq 15.5%. Untuk konsumen yang memiliki komputer Bell akan membeli Bell lagi 82%, membeli Doorway 9.5% dan membeli Kumpaq 8.5%. Sedangkan untuk konsumen yang memiliki komputer Kumpaq akan membeli Kumpaq lagi 51.5%, membeli Doorway 30.5% dan membeli Bell 18%. Banyaknya komputer yang akan di beli pada tahun depan untuk merek Doorway sebanyak 213000, Bell sebanyak 236000 dan Kumpaq sebanyak 151000.

Pada tahun depan konsumen yang memiliki komputer Doorway akan membeli Doorway lagi 66.5%, membeli Bell 18% dan membeli Kumpaq 15.5%. Untuk konsumen yang memiliki komputer Bell akan membeli Bell lagi 82%, membeli Doorway 9.5% dan membeli Kumpaq 8.5%. Sedangkan untuk konsumen yang memiliki komputer Kumpaq akan membeli Kumpaq lagi 51.5%, membeli Doorway 30.5% dan membeli Bell 18%. Banyaknya komputer yang akan di beli pada tahun depan untuk merek Doorway sebanyak 213000, Bell sebanyak 236000 dan Kumpaq sebanyak 151000.

Latihan Industri handphone merupakan industri yang mengalami pergerakan sangat cepat dan teknologi menyediakan motivasi kepeda konsumen untuk mengganti handphone setiap tahunnya. Kepercayaan merek sangat penting dan perusahaan-perusahaan mencoba segala cara untuk menjaga agar konsumen menjadi puas. Bagaimanapun juga, beberapa konsumen mencoba untuk mengganti dengan merek yang lain (perusahaan lain). Tiga merek tertentu Nokia, Sony Ericson, Siemen yang meguasai pangsa pasar. Orang yang memiliki handphone merk Nokia akan membeli tipe Nokia yg lain 90% dan sisanya membeli 2 merek yang lain dengan peluang sama besar. Pemilik handpone Sony Ericson akan membeli Sony Ericson lagi 75% dari waktu sementara itu 15% akan membeli Nokia dan 10% akan membeli Siemen. Sekitar 70% pemilik Siemen akan membeli Siemen, 5% akan membeli Nokia. Tiap merk memiliki 300.000 konsumen yang berencana untuk membeli sebuah handphone baru pada tahun depan, berapa banyak handphone dari tiap tipe akan dibeli ?