Metode Numerik PENDAHULUAN

Komputer, Manusia, dan Persoalannya Membantu manusia menanggulangi persoalan : Dalam kerja rutin (perkantoran, perbankan, dsb.) Dalam lingkungan (pencemaran, ramalan cuaca, dsb.) Dalam industri (sirkuit elektrik, kimia, perminyakan, dsb.) Dalam sains (pergerakan benda ruang angkasa, dsb.) Dng. modelling, persoalan tsb. dapat dituliskan dlm. bentuk formula matematis. Manusia perlu jawaban formula matematis tsb., misal : Bagaimana keadaan cuaca pada hari tertentu, kapan perembesan air laut mencapai titik tertentu pada suatu daratan, bagaimana penyebaran suatu wabah penyakit, bagaimana perilaku badan pesawat jika melewati kawasan yg. buruk, dsb. Utk. dapat jawaban perlu metoda. Model sederhana : jawaban eksak/dlm. simbol dapat dicari. Model rumit : harus dicari jawaban dlm. bentuk numerik (angka) pada titik-titk tertentu dng. metode numerik.

Beberapa Model Matematis Sistem Persamaan Linear (SPL) Bentuk Umum : Cari vektor x berukuran N yg. memenuhi : Ax = b A : matriks berukuran N X N b : vektor berukuran N Contoh : Cari x yang memenuhi : x1 + x2 + 0x3 + 4x4 = 3 2x1 - x2 + 5x3 + 0x4 = 2 5x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 5 -3x1 + 0x2 + 2x3 + 6x4 = -2 Untuk matriks A dng. sifat-sifat tertentu, metode pencarian solusinya berbeda. Perbedaan ini mempertimbangkan : efisiensi waktu & pemakaian memori.

Beberapa Model Matematis Sistem Persamaan Non-Linear (SPNL) Bentuk Umum : Cari x yg. memenuhi : f1(x1,x2,...,xN) = 0 f2(x1,x2,...,xN) = 0 ... = ... fN(x1,x2,...,xN) = 0 Contoh : x2 – x + y2 + z2 – 5 = 0 x2 + y2 – y + z2 – 4 = 0 x2 + y2 + z2 + z = 0 Persamaan Diferensial Parsial (PDP) A, B, C : konstan

Beberapa Model Matematis Contoh : Model penyebaran temperatur steady-state pada bidang segiempat : Uxx(x,y) + Uyy = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1 Syarat batas : x = 0 : u(0,y) = f3(y) ; y = 0 : u(x,0) = f1(x) x = 1 : u(1,y) = f4(y) ; y = 1 : u(x,0) = f2(x) Solusinya diberikan dalam bentuk counter berikut :

Beberapa Model Matematis Sistem persamaan Diferensial Biasa (PDB) Bentuk Umum : y’ = f(x,y), y(x0) = y0 didefinisikan pada interval [x0, xend], y dan f vektor berukuran N (besar sistem). Contoh : Model dinamika populasi dan sistem persamaan non-linier : ; Nilai awal : untuk Solusinya diberikan dalam bentuk gambar berikut :

Beberapa Model Matematis PDB ada 2 macam : PDB Stiff : beberapa komponen jawabannya mempunyai perbedaan nilai absolut yg. besar dibanding komponen lainnya. PDB non-stiff : komponen solusinya satu dng. yg. lain besarnya tidak terlalu berbeda jauh. PDB stiff memerlukan metode di mana setiap langkah proses memerlukan jawaban sistem persamaan non-linier. Pemecahan suatu model bisa menghasilkan model lain, misal : PDP bisa menjadi PDB SPNL harus melalui proses SPL

Metode Numerik Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya angka. Jadi metode numerik secara harafiah berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka.

Metode Numerik Pada umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan Karena itu diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakannya

Motivasi Kenapa diperlukan? Pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika Persamaan ini sulit diselesaikan dengan “tangan”  analitis sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan  numerik

Persoalan matematika Bagaimana cara menyelesaikannya ? Tentukan akar2 persamaan polinom 23.4x7 - 1.25x6+ 120x4 + 15x3 – 120x2 – x + 100 = 0 2. Selesaikan sistem persamaan linier 1.2a – 3b – 12c + 12d + 4.8e – 5.5f + 100g = 18 0.9a + 3b – c + 16d + 8e – 5f - 10g = 17 4.6a + 3b – 6c - 2d + 4e + 6.5f - 13g = 19 3.7a – 3b + 8c - 7d + 14e + 8.4f + 16g = 6 2.2a + 3b + 17c + 6d + 12e – 7.5f + 18g = 9 5.9a + 3b + 11c + 9d - 5e – 25f + 10g = 0 1.6a + 3b + 1.8c + 12d - 7e + 2.5f + g = -5

Metode Analitik versus Metode Numerik Pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka. Bandingkan dengan metode analitik yang biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi mateamatik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka. Kedua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approxomation) atau solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error).

Metode Analitik versus Metode Numerik Kebanyakan persoalan matematika tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Metode analitik disebut juga metode exact yang menghasilkan solusi exact (solusi sejati). Metode analitik ini unggul untuk sejumlah persoalan yang terbatas. Padahal kenyataan persoalan matematis banyak yang rumit, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik.

Metode Analitik vs Metode Numerik Kalau metode analitik tidak dapat diterapkan, maka solusi dapat dicari dengan metode numerik. Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (+, - , / , *)

Perbedaan Metode Numerik dan Metode Analitik Solusi selalu berbentuk angka Solusi yang dihasilkan solusi pendekatan sehingga terdapat error Metode Analitik Solusi dapat berupa fungsi matematik Solusi yang dihasilkan solusi exact

Contoh kasus Metode Numerik Pemodelan tumpahan minyak, peringatan dini penanggulangan, dan analisis tingkat kerusakan lingkungan di indonesia Prakiraan cuaca Pergerakan benda-benda langit

MOTIVASI METODE NUMERIK VS ANALITIK

Contoh Selesaikan integral di bawah ini Metode Analitik

Contoh Metode Numerik Error = |7.25-7.33| = 0.0833

Motivasi Metode Numerik di Bidang Rekasaya Termodinamika Contoh Sebuah bola logam dipanaskan sampai pada suhu 100C, kemudian pada saat t=0, bola itu dimasukkan ke dalam air yang bersuhu 30C. Setelah 3 menit, suhu bola berkurang menjadi 70C. Tentukan suhu bola setelah 22,78 menit. Diketahui tetapan pendinginan bola logam tersebut adalah 0,1865 Hukum pendinginan Newton, laju pendingian bola setiap detiknya DT/dt = -k(T-30) Dengan k=tetapan pendinginan bola logam

Metode analitis matematikawan Penyelesaian = metode kalkulus diferensial Solusi umum T t =c 𝑒 −𝑘𝑡 +30 Nilai awal yang diberikan adalah T(0) = 100, dengan menggunakan nilai awal solusi khusus persamaan diferensial adalah T t =70 𝑒 −0.1865𝑥22.78 +30 = 31 C Jadi suhu bola setelah 22.78 menit adalah 31 C

Motivasi Dari Persamaan Non Linear 2 Dari suatu perhitungan tentang kebutuhan akan produksi optimal suatu komponen struktur didapat persamaan biaya yang dibutuhkan untuk pengadaaan produksi dalam satu hari sebagai berikut: dengan C = biaya per hari N = jumlah komponen yang diproduksi

Motivasi Dari Persamaan Non Linear 3

Contoh Suatu pengiriman barang yang memproduksi coklat dengan campuran krem, cofee dan kacang, dengan berlapis coklat cerah dan pekat. Bila sebuah kotak diambil secara acak , serta X dan Y masing-masing menyatakan proporsi campuran krem berlapis coklat cerah dan pekat dengan fungsi padat gabungannya adalah : a. Tunjukkan b. Cari P[(X,Y)єA] jika A daerah {(x,y)/ 0 < x < ; < y < }

Jawab: a. b. P[(X,Y)єA] = P ( 0 < x < ; < y < )

Motivasi untuk interpolasi Sejumlah uang didepositokan dengan tingkat bunga tertentu. Tabel berikut menguraikan perkiraaan uang deposito pada masa yang akan datang, berupa nilai uang pada 20 tahun mendatang dibandingkan dengan nilai sekarang. Tingkat suku bunga F/P (n = 20 tahun) 15 16,366 20 38,337 25 86,736 30 190,050

Motivasi Interpolasi Jika Rp. 100.000.000,- didepositokan sekarang dengan suku bunga 23,6%, berapa nilai uang tersebut pada 20 tahun yang akan datang. Gunakan interpolasi linear, kuadratik, dan Lagrange bagi penyelesaian, kemudian bandingkan hasil perhitungan ketiga metode tersebut.

Peranan Komputer dalam Metode Numerik Program = FORTRAN, PASCAL, C, C++, BASIC, dan sebagainya. aplikasi = MathLab, MathCad, Maple, Mathematica, Eureka, dan sebagainya

Penyelesaian persoalan numerik Identifikasi masalah Memodelkan masalah ini secara matematis Menyederhanakan model Formulasi Numerik - Identifikasi metode numerik yang diperlukan untuk menyelesaikannya dengan taksiran analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah) Pertimbangan memilih metode : apakah metode tersebut teliti, mudah diprogram? Menyusun algoritma dari metode yang dipilih Pemrograman=Implementasi metode ini dalam komputer Operasional=uji coba Evaluasi

Metode Numerik VS Analisis Numerik Analisis Numerik = kajian baru setelah metode numerik  analisis untuk mengetahui metode numerik yang digunakan apakah sudah memberikan solusi hampiran yang paling tepat Metode = algoritma persoalan masalah secara numerik Analisis = analisa metode