PROBABILITAS -Asisten Statistika 2013-

Pengantar Probabilitas/peluang merupakan banyaknya kemungkinan-kemungkinan pada suatu kejadian berdasarkan frekuensinya. Jika ada a kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan ada b kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing, maka: peluang bahwa akan terjadi a adalah: P (A) = a/a+b peluang bahwa akan terjadi b adalah: P (A) = b/a+b

Contoh: Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita? Jawab: P (A) = 15/10+15 = 3/5

Rumus Umum P(A) : nilai kemungkinan (peluang) peristiwa A r : banyaknya titik sampel n : ruang sampel

Con’t… Probabilitas disajikan dengan symbol P, sehingga P(A) menyatakan probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi dalam observasi atau percobaan tunggal, dengan 0 ≤ P(A) ≤ 1 Dalam suatu observasi/percobaan kemungkinan kejadian ada 2, yaitu “terjadi (P(A)) atau “tidak terjadi” (P(A)’), maka jumlah probabilitas totalnya adalah P(A) + P(A)’ = 1

Contoh: Suatu baskom terdiri dari 10 bola pingpong yang masing-masing diberi nomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Dari dalamnya diambil satu bola. Tentukanlah nilai kemungkinan terambilnya bola bernomor : Bilangan prima Bilangan yang habis dibagi dua Bilangan yang habis dibagi 3

Jawaban: Misal A adalah Bilangan prima r = 5  {1,2,3,5,7} n = 10 P(A) = r/n = 5/10 = 1/2

Jawaban: Misal A adalah Bilangan yang habis dibagi 2 r = 5  {2,4,6,8,10} n = 10 P(A) = r/n = 5/10 = 1/2

Jawaban: Misal A adalah Bilangan yang habis dibagi 3 r = 5  {3,6,9} P(A) = r/n = 3/10

Operasi Himpunan Peluang Irisan (∩), jika satu atau beberapa peluang pada himpunan A terjadi secara bersama-sama dengan himpunan B. B. Gabungan (U), jika semua peluang pada himpunan A dan semua peluang pada himpunan B terjadi bersama-sama. C. Komplemen (X’) suatu kejadian A relative terhadap S adalah semua himpunan S bukan anggota A.

Jenis Kejadian (Berdasar Peluang Terjadinya) a. Kejadian Saling Meniadakan (Mutually Exclusive), yaitu kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya. Contoh: Hasil Ujian: Lulus vs Tidak lulus Keadaan : Dingin vs Panas Cuaca : Hujan vs Tidak Hujan b. Kejadian Tidak Saling Meniadakan (Non-Mutually Exclusive), yaitu kejadian yang dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya. Keadaan vs Cuaca : Dingin vs Tidak hujan; Dingin vs Hujan Panas vsTidak hujan; Panas vs Hujan

Jenis Kejadian (Berdasar Pengaruh/Hubungannya) a. Kejadian Independen, yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian tidak berpengaruh pada probabilitas/peluang kejadian yang lain. b. Kejadian Dependen, yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian berpengaruh pada probabilitas/peluang kejadian yang lain.

Perhitungan Nilai Peluang

(1) Hukum Penjumlahan Digunakan apabila kita ingin menghitung probabilitas suatu kejadian tertentu atau yang lain (atau keduanya) yang terjadi dalam suatu percobaan/kejadian tunggal. Rumus Penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan: P(A atau B) = P (AUB) = P(A) + P(B)

Con’t.. Rumus Penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan: 1. Dua Kejadian P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B) atau P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 2. Tiga Kejadian P (A atau B atau C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A dan B) – P(A dan C) – P(B dan C) + P(A dan B dan C)  atau  P (AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) – P(B∩C) + P(A∩B∩C)

Contoh: Pemeriksaan fisik rutin dilakukan setiap tahun sebagai bagian dari program pelayanan kesehatan bagi pekerja General Concrete Inc. Ditemukan 6 % pekerja membutuhkan sepatu pengobatan, 20 % membutuhkan perawatan gigi dan 5% membutuhkan keduanya. Berapa probabilitas seorang pekerja yang dipilih secara acak membutuhkan sepatu pengobatan atau perawatan gigi ?

Jawaban: P (A atau B) = P(A) + P (B)- P(A dan B) = 0,06 + 0,2 – 0,05 = 0,21

(2) Hukum Perkalian Hukum perkalian untuk kejadian Independen: P(A dan B) = P(A∩B) = P(A) x P(B) Hukum perkalian untuk kejadian dependen: P(A dan B) = P(A) x P(B) atau P(A dan B) = P(A x P(B|A) P(B dan A) = P(B) x P(A|B)

Contoh: Berdasarkan pengalaman, sebuah produk susu kaleng yang lulus uji dalam hal berat bersih akan diberi nilai 0.95. Lembaga konsumen membuktikan pernyataan tersebut dengan cara mengukur 3 kaleng dengan sebuah alat ukur tertentu. Dengan asumsi bahwa jika kaleng 1 lulus uji, maka kaleng 2 dan 3 belum tentu lulus, maka tentukan: a. Berapa probabilitas bahwa ketiga kaleng tsb lulus uji? b. Berapa probabilitas bahwa hanya dua kaleng yang lulus uji? c. Berapa probabilitas bahwa tidak ada yang lulus uji?

Jawaban: a. P(3 lulus uji) = P(k1 dan k2 dan k3) = 0.95 x 0.95 x 0.95 = 0.86 b. P(2 lulus uji) = P(K1 dan K2 dan K3’)+P(K1 dan K2’ dan K3)+P(K1 dan K2 dan K3’) = (0.95 x 0.95 x 0.05) + (0.09 x 0.05 x 0.95 + (0.05 x 0.95 x 0.95) = 0.14 c. P(tidak ada yang lulus uji) = P(K1’ dan K2’ dan K3’) = 0.05 x 0.05 x 0.05 = 0.000125

Permutasi Merupakan setiap susunan yang berbeda dari sehimpunan obyek (n) nPr = Permutasi dari n obyek yang diambil   di mana : n = banyaknya obyek r =obyek yang diambil

Contoh: 6 karyawan sebuah perusahaan yang harus lulus masa percobaan, 3 diantaranya akan ditugaskan di 3 kota. Berapa kemungkinan susunan yang dapat terjadi berdasarkan 3 kota tersebut. Jawab: Susunan yang berbeda tentang penempatan nPr = 6!/(6-3)! = 129

Combinasi Merupakan himpunan/kumpulan obyek di mana urutan tidak diperhatikan. nCr = Combinasi dari n objek yang diambil di mana : n = banyaknya obyek r =obyek yang diambil

Contoh: 6 karyawan yang lulus uji masa percobaan, 3 diantaranya ditempatkan di bagian pemasaran. Berapa kemungkinan susunan yang dapat terjadi? Jawab: nCr = 6!/3!(6-3)! = 20