Distribusi probabilitas DISKRIT DAN kontinu Resista Vikaliana Distribusi probabilitas DISKRIT DAN kontinu 4/6/2013

Hasil menghitung sesuatu Contoh VARIABEL ACAK DISKRET VARIABEL ACAK KONTINU Sebuah variabel acak diskret hanya dapat berisi nilai yang terpisah dengan jelas Hasil menghitung sesuatu Contoh Jumlah mahasiswa yang mendapat nilai A di kelas ini Jumlah iklan 30 detik di RCTI dari jam 20-23 malam ini Sebuah variabel acak yang dapat bersi satu dari sekian banyak nilai yang jumlahnya tak hingga dalam batas tertentu Hasil suatu pengukuran Contoh Berat setiap mahasiswa di kelas ini Panjang setiap lagu pada album terbaru Noah Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DISTRIBUSI DISKRIT DISTRIBUSI BINOMIAL DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK DITRIBUSI POISSON Resista Vikaliana 4/6/2013

DISTRIBUSI BINOMIAL DISTRIBUSI DISKRIT Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. BINOMIAL - 1 Dist. Binomial → Banyaknya X yang sukses dari n usaha/proses Bernoulli. Syarat proses Bernoulli: Percobaan terdiri dari n usaha yang berulang Tiap usaha memberi hasil yang dapat dikelompokkan menjadi sukses atau gagal Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke usaha berikutnya Tiap usaha bebas dengan usaha yang lainnya. Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. BINOMIAL - 2 Perhatikan: Tiga bahan diambil secara acak dari suatu hasil pabrik, diperiksa dan kemudian yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Bahan yang cacat akan disebut sukses. → X adalah banyaknya bahan yang cacat dan S={TTT, TCT, TTC, CTT, TCC, CTC, CCT, CCC} [C=cacat; T=tak cacat]. Resista Vikaliana, S.Si. MM Hasil TTT TTC TCT CTT TCC CTC CCT CCC x 1 2 3 3/30/2013

DIST. BINOMIAL - 3 Misalkan ada info bahwa bahan tersebut dipilih secara acak dari proses yang dianggap menghasilkan 25% bahan yang cacat, p = 0.25, maka P(CTT) = (0.25)(0.75)(0.75) = 0.141 dengan cara yang sama didapatkan dist. peluang X adalah Resista Vikaliana, S.Si. MM x 1 2 3 f(x) 0.422 0.141 0.016 Dist. Binomial 3/30/2013

DIST. BINOMIAL - 4 Definisi: Suatu usaha Bernoulli dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1-p, maka dist. peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha Bernoulli adalah Teorema: Distribusi binomial b(x;n,p) mempunyai rata-rata dan varians μ = np dan σ2 = npq Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. BINOMIAL - 5 Perhatikan contoh lalu: Ini, dapat juga ditulis sebagai x 1 2 3 f(x) 0.422 0.141 0.016 Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. BINOMIAL - 6 Contoh: Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang ¾. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak! Solusi: n = 4; p = ¾ → q = ¼. Berapa P(X=2)? Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. BINOMIAL - 7 Berapa P(X < x) atau P(x1 < X < x2)? → Tabel Binomial: b(x;n,p) = ∑nx=0b(x;n,p). Contoh: Peluang untuk sembuh seorang penderita penyakit darah yang jarang adalah 0.4. Bila diketahui ada 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapakah peluangnya: a) paling sedikit 10 akan sembuh; b) antara 3 sampai 8 yang sembuh; c) tepat 5 yang sembuh! Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. BINOMIAL - 8 Solusi: X = # penderita yang sembuh; n = 15; p = 0.4; q = 0.6. a). P(X ≥ 10) = 1 – P(X ≤ 9) = 1 – ∑9x=0b(x;15,0.4) = 1 – 0.9662 = 0.0338 Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. BINOMIAL - 9 b). P(3 ≤ X ≤ 8) = P(X ≤ 8) – P(X ≤ 3) = ∑8x=0b(x;15,0.4) – ∑3x=0b(x;15,0.4) = 0.9050 – 0.0271 = 0.8779 c). P(X = 5) = P(X ≤ 5) – P(X ≤ 4) = ∑5x=0b(x;15,0.4) – ∑4x=0b(x;15,0.4) = 0.4032 – 0.2173 = 0.1859 Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. BINOMIAL - 10 Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK DISTRIBUSI DISKRIT Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. HIPERGEOMETRIK - 1 Perhatikan: Misal diambil 5 kartu secara acak dari 52 kartu bridge (13 diamond, 13 heart, 13 spade, dan 13 club). Ingin diketahui peluang terambil 3 dari kartu berwarna merah dan 2 warna hitam. Ada sebanyak 26C3 cara untuk mengambil 3 kartu merah Ada sebanyak 26C2 cara untuk mengambil 2 kartu hitam Ada sebanyak 52C5 cara untuk mengambil 5 kartu dari semua kartu bridge. Maka peluang terambil 3 merah dan 2 hitam adalah Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

Distribusi Diskrit DIST. HIPERGEOMETRIK - 2 Definisi: Dist. peluang hipergeometrik X, yaitu banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal, ialah Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. HIPERGEOMETRIK - 3 Kalimat verbalnya: Yakni banyaknya macam sampel ukuran n yang dapat diambil dari N benda ialah NCn. Sampel ini dianggap mempunyai peluang sama. Ada sebanyak kCx cara memilih x sukses dari sebanyak k yang tersedia, dan untuk tiap cara ini dapat dipilih n-x gagal dalam N- kCn-x cara. Jadi semuanya ada kCx.N-kCn-x macam sampel dari NCn sampel yang mungkin diambil. Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. HIPERGEOMETRIK - 4 Teorema: Rata-rata dan varians distribusi hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah Contoh: Suatu kotak berisi 40 suku cadang dikatakan memenuhi syarat penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 yang cacat. Cara sampling kotak ialah dengan memilih 5 suku cadang secara acak dari dalamnya dan menolak kotak tersebut bila di antaranya ada yang cacat. Berapakah peluang mendapatkan tepat satu yang cacat dalam sampel berukuran 5 bila kotak tersebut berisi 3 yang cacat? Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. HIPERGEOMETRIK - 5 Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. HIPERGEOMETRIK - 6 Jika N → ∞ maka dist. Hipergeometri dapat dihampiri dengan dist. Binomial. Contoh: Suatu pabrik ban melaporkan bahwa dari pengiriman sebanyak 5000 ban ke suatu toko tertentu terdapat 1000 yang cacat. Bila seseorang membeli 10 ban ini secara acak dari toko tersebut, berapakah peluangnya mengandung 3 yang cacat → h(3; 5000, 10, 1000) = 0.201478 atau peluang mendapat ban cacat (p) = 1000/5000 = 0.2; maka h(3; 5000, 10, 1000) ≈ b(3; 10, 0.2) = ∑3x=0b(x;10,0.2) – ∑2x=0b(x;10,0.2) = 0.8791 – 0.6778 = 0.2013 Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

Distribusi Poisson DISTRIBUSI DISKRIT Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. POISSON - 1 Definisi: Dist peluang p.a Poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan dengan t, diberikan oleh λt menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu atau daerah tersebut. e = 2.71828… Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. POISSON - 2 Contoh: Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker sehari. Berapakah peluang pada suatu hari tertentu tanker terpaksa ditolak karena pelabuhan tak mampu melayani? P(X > 15) = 1 – P(X ≤ 15) = 1 – ∑15x=0 p(x;10) = 1 – 0.9513 = 0.0487 Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. POISSON - 3 Teorema: Misalkan X p.a binomial dengan dist peluang b(x;n,p). Bila n → ∞, p → 0 dan (λt) = np tetap sama, maka b(x;n,p) → p[x; (λt)] Contoh: Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang kadang-kadang menyebabkan barang tersebut sulit dipasarkan, Diketahui bahwa rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapakah peluang bahwa dalam sampel acak sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung? Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. POISSON - 4 n = 8000; p = 1/1000 = 0.001 → (λt) = np = (8000)(0.001) = 8. Jika X = # barang yang bergelembung, maka P(X < 7) = P(X ≤ 6) = ∑6x=0 b(x;8000,0.001) ≈ ∑6x=0 p(x;8) = 0.3134 Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DIST. POISSON - 5 Resista Vikaliana, S.Si. MM 3/30/2013

DISTRIBUSI KONTINU DISTRIBUSI SERAGAM DISTRIBUSI NORMAL DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Resista Vikaliana 4/6/2013

Distribusi Kontinu Distribusi kontinu merupakan salah satu macam distribusi probabilitas, Hasil dari pengukuran sesuatu Berat badan setiap orang Jumlah bonus yang diterima CEO 4/6/2013 Resista Vikaliana

4/6/2013 Resista Vikaliana

Distribusi Probabilitas Seragam Distribusi Probabilitas Normal Distibusi Probabilitas Eksponensial Resista Vikaliana 4/6/2013

Distribusi Seragam Resista Vikaliana 4/6/2013

DIST. SERAGAM-1 Definisi: Bila peubah acak X mandapat nilai X1, X2, …, Xk, dengan peluang yang sama, maka distribusi seragam diskrit diberikan oleh: Lambang f(x;k) merupakan pengganti f(x) untuk menunjukkan bahwa distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter k. Resista Vikaliana 4/6/2013

DIST. SERAGAM-2 Teorema: Rata-rata dan varians untuk distribusi seragam diskrit f(x;k) adalah Bila sebuah bola lampu dipilih secara acak dari sekotak bola lampu yang berisi 1 yang 40-watt, 1 yang 60-watt, 1 yang 75-watt, dan 1 yang 100-watt, maka tiap unsur ruang sampel S={40, 60, 75, 100} muncul dengan peluang ¼. Jadi distribusinya seragam dengan … Resista Vikaliana 4/6/2013

DIST. SERAGAM-3 Resista Vikaliana 4/6/2013

DIST. SERAGAM-4 Resista Vikaliana 4/6/2013

Distribusi Normal Resista Vikaliana 4/6/2013

1. Distribusi Normal 4/6/2013 Resista Vikaliana

Resista Vikaliana 4/6/2013

Contoh:1 Resista Vikaliana 4/6/2013

Resista Vikaliana 4/6/2013

Distribusi Eksponensial Resista Vikaliana 4/6/2013

Distribusi Eksponensial Resista Vikaliana 4/6/2013

Resista Vikaliana 4/6/2013

Latihan Soal 1. Sebuah perusahaan ingin menilai cara pemeriksaan yang sekarang dalam pengiriman 50 barang yang sama. Cara ini dengan mengambil sampel sebesar 5 dan lolos pemeriksaan bila berisi tidak lebih dari 2 yang cacat. Berapa proporsi yang mengandung 20% cacat akan lolos pemeriksaan? 2. Dalam pengujian sejenis ban truk melalui jalan yang kasar ditemukan bahwa 25% truk mengalami kegagalan karena ban pecah. Dari truk yang diuji selanjutnya, hitung peluang bahwa : a. 3 sampai 6 mengalami ban pecah b. kurang dari 4 yang mengalami ban pecah c. lebih dari 5 yang mengalami ban pecah Resista Vikaliana 4/6/2013

3. Mesin pesawat terbang bekerja bebas satu dari yang lain dalam penerbangan dan rusak dengan peluang 0,4. Bila dimisalkan bahwa sebuah pesawat terbang melakukan penerbangan dengan selamat jika paling sedikit setengah mesinnya bekerja, tentukan apakah pesawat bermesin empat atau bermesin dua yang lebih tinggi keselamatan penerbangannya? Resista Vikaliana 4/6/2013

3. Diameter sebelah dalam suatu cincin torak berdistribusi normal dengan rataan 10 cm dan simpangan baku 0,03 cm. a. Berapa proporsi cincin yang mempunyai diameter dalam melebihi 10,075 cm? b. Berapa peluang suatu cicncin torak berdiameter dalam antara 9,97 dan 10,03 cm? c. Di bawah nilai diameter dalam berapakah terdapat 15% dari seluruh cincin torak? Resista Vikaliana 4/6/2013