BAB 4 DERET Kuliah ke 2

Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Dilihat dari jumlah suku yang membentuknya, deret digolongkan atas deret berhingga dan deret tak berhingga. Deret berhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tertentu, sedangkan deret tak berhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tidak terbatas.

Dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada suku-sukunya, deret bisa dibeda-bedakan menjadi. Deret hitung Deret ukur Deret harmoni

Deret Hitung Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan. Contoh: 7, 12, 17, 22, 27, 32 (pembeda 5) 93, 83, 73, 63, 53, 43 (pembeda -10)

1. Suku ke-n dari deret hitung Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuah rumus, yaitu: Sn = a + (n – 1) b dimana: Sn = Suku ke-n a = suku pertama b = pembeda n = indeks suku

2. Jumlah n suku Untuk menghitung jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu n, terdapat empat bentuk rumus yang bisa digunakan yaitu: Jn =  Si Jn = n/2 (a + Sn ) Jn = n/2 {2a + (n – 1)b} Jn = na + n/2(n – 1)b

B. Deret Ukur Deret ukur ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda. Contoh: 5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda = 2) 512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda = 0,5)

Suku ke-n dari Deret Ukur Sn = apn-1 dengan : Sn = Suku ke-n a = suku pertama p = pengganda n = indeks suku 2. Jumlah n suku a(1 – pn) a(pn – 1) Jn = ---------------- atau Jn = -------------- 1 – p p - 1

C. Penerapan Ekonomi Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung maupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan penad (relevant) diterapkan untuk menganalisisnya.

Model Perkembangan usaha Kasus 1 Perusahaan genteng “suka-suka” menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkan pada bulan ke 5? Berapa buah yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?

Penyelesaian: Suku pertama a = 3.000 Pembeda b = 500 Indeks suku n = 5 Sn = a + (n – 1)b S5 = 3.000 + (5 – 1) 500 = 3.000 + 4 . 500 Jadi jumlah genteng yang dihasilkan pada bulan ke-5 = 5.000 bh = 3.000 + 2.000 = 5.000

Jn = n/2 (a + Sn) = 5/2 (3.000 + 5.000) = 5/2 . 8.000 = 20.000 Jadi jumlah seluruh genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut = 20.000 buah.

Kasus 2 Besarnya penerimaan PT “Cemerlang” dari hasil penjualan barangnya Rp. 720 juta pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penerimaannya per tahun ? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar 460 juta ?

Diket : S5 = Rp. 720 juta S7 = Rp. 980 juta Ditanya : S1 dan n jika Sn = Rp 460 juta Sn = a + (n – 1)b S7 = a + (7 – 1)b 980 = a + 6b ……………(1) S5 = a + (5 – 1)b 720 = a + 4b ……………(2)

Pers. 1 a + 6b = 980 Pers. 2 a + 4b = 720 ------------------- b = 260/2 = 130 2b = 260 Jadi penerimaan per tahun = Rp. 130 juta a + 4b = 720 Jadi penerimaan pada tahun pertama = Rp. 200 juta a + 4 . 130 = 720 a + 520 = 720 a = 720 – 520 = 200

Sn = a + (n – 1)b 460 = 200 + (n – 1) 130 = 200 + 130 n – 130 = 70 + 130 n 130 n = 460 – 70 = 390 n = 390/130 = 3 Jadi penerimaan sebesar Rp. 460 jt diterima pada tahun ke-3

2. Model Bunga majemuk Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung, misalnya, besarnya engembalian kredit di masa datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebalik- nya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah investasi yang akan diterima di masa datang.

Rumus : Fn = P(1 + i)n Dimana : Fn : Jumlah pada tahun ke-n P : Jumlah sekarang i : tingkat bunga pertahun n : jumlah tahun Jika bunga dibayar m kali, maka rumus menjadi: Fn = P(1 +i/m)mn Dimana : m : frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

Suku (1 + i) dan (1 + i/m) dalam dunia bisnis dinamakan “faktor bunga majemuk” (Compounding interest factor), yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah di masa datang dari suatu jumlah sekarang. 1 1 P = ---------- . F atau P = ---------- . F (1 + i)n (1 + i/m)mn Suku 1/(1 + i)n dan 1/(1 +i/m)mn dinamakan “faktor diskonto” (discount factor), yaitu suatu bilangan yang lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang.

Kasus 3 Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2 % per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikannya pada saat pelunasan ?. Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, berapa jumlah yang harus ia kembalikan ?

Penyelesaian: Diket : P = 5.000.000 n = 3 i = 2 % = 0,02 Fn = P(1 + i)n F3 = 5.000.000 (1 + 0,02)3 = 5.000.000 (1,02)3 = 5.000.000 . 1,061208 = 5.306.040 Jadi setelah 3 tahun, nasabah harus melunasi sebesar Rp. 5.306.040,-

Seandainya bunga diperhitungkan dibayar tiap semester, m = 2, maka Fn = P(1 +i/m)mn F3 = 5.000.000 (1 + 0,02/2)2.3 = 5.000.000 (1 + 0,01)6 = 5.000.000 (1,01)6 = 5.000.000 . 1,06152 = 5.307.600,- Jadi jumlah yng harus dibayar = Rp. 5.307.600,-

Kasus 4 Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar Rp. 532.400,- tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10 % per tahun, berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang. Penyelesaian: Diket: F = 532.400 n = 3 i = 10 % = 0,1

1 P = ----------- F (1 + i)n = ----------- . 532.400 (1 + 0,01)3 532.400 = ------------ (1,01)3 = ------------- 1,030301 = 400.000 Jadi besarnya tabungan sekarang adalah Rp. 400.000

3. Model Pertumbuhan penduduk Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Rumus umum : Pt = P1 . Rt-1 R = 1 + r Dimana: P1 : jumlah pada tahun pertama (basis) Pt : jumlah pada tahun ke-t r : persentase pertumbuhan per tahun t : indeks waktu (tahun)

Kasus 5 Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006,pertumbuhannya menurun menjadi 2,5 %, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian R = 1 + r = 1 + 0,04 = 1,04 Penyelesaian: Diket : P1 = 1.000.000 r = 4 % = 0,04

P tahun 2006  P16 Pt = P1 Rt-1 P16 = 1.000.000 (1,04)16-1 = 1.000.000 (1,04)15 = 1.000.000 1,800943 = 1.800.943 jiwa Utk 11 tahun kemudian P1 = 1.800.943 r = 2,5 % = 0,025 R = 1 + r = 1 + 0,025 = 1,025 P 11 tahun kemudian  P11 Pt = P1 Rt-1 P11 = 1.800.943 (1 + 0,025)11-1 = 1.800.943 (1,025)10 = 1.800.943 . 1,280084 = 2.305.359 Jadi jumlah penduduk 11 tahun kemudian = 2.305.359 jiwa.