Eko Aribowo Teknik Informatika Universitas Ahmad Dahlan Analisis dan Perancangan Algoritma Kuliah 3 : Metode Analisis Asymtotic Eko Aribowo Teknik Informatika Universitas Ahmad Dahlan

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Metode Analisis Asymptotic/theoretic/mathematic : berdasarkan pendekatan secara teori atau atas dasar analisa secara matematik Empirical/Practical/Empiris/Praktis : berdasarkan pendekatan praktis yang biasanya didasarkan atas data-data yang telah ada atau data-data yang di-generete / dibangkitkan Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Asymptotic Menggambarkan karakteristik/perilaku suatu algoritma pada batasan tertentu (berupa suatu fungsi matematis) Dituliskan dengan notasi matematis yg dikenal dgn notasi asymptotic Notasi asymptotic dapat dituliskan dengan beberpa simbul berikut Q, O, W, o, w Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Notasi Asymptotic Q, O, W, o, w Didefinisikan untuk fungsi diatas nilai biasa Contoh: f(n) = Q(n2). Menggambarkan bagaimana fungsi f(n) tumbuh pd pembandingan untuk n2. Mendefinisikan himpunan fungsi ; Pada prakteknya untuk membandingan 2 ukuran fungsi. Notasi menggambarkan perbedaan rate-of-growth hubungan antara definisi fungsi dan definisi himpunan fungsi. Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Notasi O (big Oh) Untuk fungsi g(n),kita definisikan O(g(n)) sbg big-Oh dari n, sbg himpunan: O(g(n)) = {f(n) :  konstanta positif c dan n0, sedemikian rupa n  n0, sehingga 0  f(n)  cg(n) }  : ada,  : untuk semua Ada konstanta n Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Lanjt f(n) Secara intuitif : himpunan seluruh fungsi yg rate of growth –nya adalah sama atau lebih kecil dari g(n). g(n) adalah asymptotic upper bound untuk f(n). f(n) = (g(n))  f(n) = O(g(n)). (g(n))  O(g(n)). Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Lanjt 3 (pembulatan ke atas dalah 3) 2.99 = 2.50 = 2.0001 = 3n + 7 = ? (tidak bakal lebih 4n) 2n2 + 5 = ? 3 3 Big Oh  O adalah merupakan Upper bound dari suatu fungsi Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Contoh f(n) = 3n + 4 berapa / apa big oh-nya ? n0 = 2 C =3 3n+4 <= Cn ? 3*2+4 <=3*3  10<=9 ? Tidak akan pernah terpenuhi berapapun nilai n 3n+4 <= cn ? 3*2+4 <=4*2 ? Apa kesimpulannya Bgm dgn n0 = 2 C =4 3n+4 <= cn ? 3*3+4 <=4*3 ? Bgm dgn n0 = 3 C =4 ? Bgm dgn n0 = 4 C =4 3n+4 <= cn ? 3*4+4 <=4*4 ? Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Lanjt Sehingga dari f(n) = 3n+4 akan terpenuhi f(n) <= 4n untuk n >= 4 berarti f(n)=O(4n) untuk n0=4 4n 3n+4 n=4 f(n) n Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Contoh dan Latihan Apa fungsi big Oh dari 4n ? 2n+7 ? n2 ? n2+3 ? Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Notasi  (big Omega) Untuk fungsi g(n),kita definisikan (g(n)) sbg big-Omega dari n, sbg himpunan: (g(n)) = {f(n) :  konstanta positif c dan n0, sedemikian hingga n  n0, maka 0  cg(n)  f(n)} Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Lanjt f(n) Secara intuitif : himpunan dari semua nilai fungsi yang rate of growth-nya adalah sama atau lebih tinggi dari g(n). g(n) adalah asymptotic lower bound untuk f(n). f(n) = (g(n))  f(n) = (g(n)). (g(n))  (g(n)). Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Lanjt 2.0001 = 2.50 = 2.99 = 3n + 7 = 2n2 + 5 = 2 (batas bawah tidak akan kurang dari 2) 2 2 ? ? Big Omega   adalah merupakan Lower bound dari suatu fungsi Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Notasi  (big theta) Untuk fungsi g(n),kita definisikan (g(n)) sbg big-theta dari n, sbg himpunan sprt berikut (g(n)) = {f(n) :  konstanta positif c1, c2 dan n0, sedmikian rupa n  n0, maka 0  c1g(n)  f(n)  c2g(n)} Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Lanjt Big theta   adalah merupakan tight bound dari suatu fungsi f(n) merupakan (g(n)) pada nilai antara c1 smp c2 g(n) adalah asymptotically tight bound untuk f(n). Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Lanjt Secara intuitif : himpunan seluruh fungsi yang rate of growth-nya sama dengan g(n). Secara teknik, f(n)  (g(n)). Penggunan sebelumnya, f(n) = (g(n)). Mana yg akan kita teima … ? f(n) dan g(n) nonnegative, untuk nilai n besar. Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Contoh (g(n)) = {f(n) :  konstanta positif c1, c2, dan n0, yg mana n  n0, 0  c1g(n)  f(n)  c2g(n)} 10n2 - 3n = (n2) Apa nilai konstanta n0, c1, dan c2 sehingga akan terpenuhi fungsi tsb? Buat c1 sedkit lebih kecil dari koefisien utama, dan c2 sedikit lebih besar. Untuk membandingkan tingkat pertumbuhan, lihat term utama. Latihan: Buktikan bahwa n2/2-3n = (n2) Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Relasi antara Q, O, W Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Relasi antara Q, O, W Teorema : untuk 2 fungsi g(n) dan f(n), f(n) = (g(n)) jika f(n) = O(g(n)) dan f(n) = (g(n)). yakni, (g(n)) = O (g(n)) Ç W (g(n)) Dalam prakteknya, nilai  (atau tight bounds) didapat dari asymptotic upper bound dan lower bound. Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Running Time Running time dari suatu algoritma, secara matematis adalah suatu fungsi input n untuk sejumlah n data Misal f(n)=n2  berarti fungsi runing time dari sejumlah n data adalah n2 Running time merupakan fungsi kebutuhan sumberdaya yang diperlukan suatu algoritma (atau implementasinya) untuk memproses sejumlah data n Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Lanjt “Running time-nya O(f(n))”  O(f(n)) adalah sbgWorst case-nya O(f(n)) batasan pd worst-case running time  O(f(n)) batasan pada running time dari setiap input. Q(f(n)) batasan pd worst-case running time  Q(f(n)) batasan pd running time dari setiap input. “Running time -nya W (f(n))”  W(f(n)) sbg Best case-nya Eko Aribowo-ANPAL-UAD

Eko Aribowo-ANPAL-UAD Analisis Empiris ? Eko Aribowo-ANPAL-UAD