3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI Kuliah 6 3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul http://zitompul.wordpress.com

Pekerjaan Rumah (PR5) No.1: No.2: Untuk tiap-tiap relasi berikut pada himpunan A = { 1,2,3,4 }, tentukanlah apakah relasi tersebut refleksif, apakah menghantar, apakah simetris, dan apakah anti simetris: (a) R = { (2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4) } (b) S = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4) } (c) T = { (1,2),(2,3),(3,4) } No.2: Representasikan relasi R, S, dan T dengan menggunakan matriks dan graf berarah.

Solusi Pekerjaan Rumah (PR5) No.1: Diketahui: A = { 1,2,3,4 } (a) R = { (2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4) } tidak refleksif, karena (1,1) dan (4,4) bukan anggota R menghantar, dibuktikan dari (2,2) (2,3) (2,3) (2,2) (2,4) (2,4) (2,3) (3,2) (2,2) (2,3) (3,3) (2,3) (2,3) (3,4) (2,4) (3,2) (2,2) (3,2) dst. tidak simetris, karena (4,2)  R tidak anti simetris, karena terdapat (2,3) dan (3,2) pada R padahal 2  3

Solusi Pekerjaan Rumah (PR5) No.1: Diketahui: A = { 1,2,3,4 } (b) S = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4) } refleksif, karena (a,a) adalah anggota R untuk semua a anggota A menghantar, dibuktikan dari (1,1) (1,2) (1,2) (1,2) (2,2) (1,2) simetris, karena bila (a,b)  S maka juga (b,a)  S tidak anti simetris, karena terdapat (1,2) dan (2,1) pada R padahal 1  2

Solusi Pekerjaan Rumah (PR3) No.1: Diketahui: A = { 1,2,3,4 } (c) T = { (1,2),(2,3),(3,4) } tidak refleksif, karena (1,1), (2,2), (3,3) dan (4,4) bukan anggota R tidak menghantar, karena (1,3) dan (2,4) bukan anggota R tidak simetris, karena (2,1), (3,2), dan (4,3)  R anti simetris, karena aturan tidak dilanggar

Solusi Pekerjaan Rumah (PR3) No.2: Representasikan relasi R, S, dan T dengan menggunakan matriks dan graf berarah (a) R = { (2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4) } (b) S = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4) } (c) T = { (1,2),(2,3),(3,4) }

Solusi Pekerjaan Rumah (PR3) No.2: Representasikan relasi R, S, dan T dengan menggunakan matriks dan graf berarah (a) R = { (2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4) } (b) S = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4) } (c) T = { (1,2),(2,3),(3,4) } R S T

Mengkombinasikan Relasi Relasi biner merupakan himpunan dari relasi-relasi yang berpasangan. Oleh sebab itu, operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan selisih simetris antara dua relasi atau lebih akan berlaku pula pada relasi biner. Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi antara himpunan A dan himpunan B, maka R1  R2, R1  R2, R1 – R2, dan R1  R2 adalah juga relasi dari A ke B.

Mengkombinasikan Relasi Contoh: Misalkan A = { a,b,c } dan B = { a,b,c,d }, Relasi R1 = { (a,a),(b,b),(c,c) }, Relasi R2 = { (a,a),(a,b),(a,c),(a,d) }, maka R1  R2 = { (a,a) } R1  R2 = { (a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d) } R1  R2 = { (b,b),(c,c) } R2  R1 = { (a,b),(a,c),(a,d) } R1  R2 = { (b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d) }.

Komposisi Relasi Contoh: Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Maka komposisi relasi R dan S, dinotasikan dengan S ס R, adalah relasi dari himpunan A ke himpunan C yang didefinisikan oleh: S ס R = { (a,c)  a  A, c  C, dan untuk beberapa b  B, (a, b)  R dan (b, c)  S } Contoh: Misalkan R = { (1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8) } adalah relasi dari himpunan { 1,2,3 } ke himpunan { 2,4,6,8 }; dan S = { (2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u) } adalah relasi dari himpunan { 2,4,6,8 } ke himpunan { s,t,u }. Maka komposisi relasi R dan S adalah S ס R = { (1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u) }.

Komposisi Relasi Komposisi relasi R dan S dapat direpresentasikan pula dengan menggunakan diagram panah: R = { (1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8) } S = { (2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u) } S ס R = { (1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u) }

Komposisi Relasi Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi tersebut adalah: MR2 ס R1 = MR1  MR2 Dengan kata lain, matriks komposisi relasi dapat diperoleh dari perkalian antara dua matriks relasi yang menyusunnya, dengan aturan: Nilai 1 dianggap True (T), nilai 0 dianggap False (F) Operasi perkalian diganti operasi logika “dan” () Operasi penjumlahan diganti operasi logika “atau” ()

Komposisi Relasi Contoh: Sebelumnya, R = { (1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8) } S = { (2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u) } S ס R = { (1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u) }

Komposisi Relasi 1 1 1 1 1 1 1

Relasi n-er (n-ary) Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan. Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-er atau n-ary. Jika n = 2, maka relasi tersebut dinamakan relasi biner (bi=2). Relasi n-ary mempunyai terapan penting di dalam Basis Data. Misalkan A1, A2, …, An adalah himpunan. Maka relasi n-ary R pada himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari A1  A2  …  An , atau dengan notasi R  A1  A2  …  An. Himpunan A1, A2, …, An disebut daerah asal relasi dan n disebut derajat.

Relasi n-er (n-ary) Contoh: Misalkan, StudentID = { 001200900023, 001200900091, 001200900007, 001200900038, 001200900069, 001200900070 } Nama = { Amir, Budi, Cora, Dudi, Encep, Florina } Kuliah = { Discrete Mathematics (DM), Data Structure and Algorithm (DSA), State Philosophy (SP), English III (E3) } Nilai = { A, B, C, D, E } Didefinisikan relasi MHS yang terdiri atas 4-tupel (StudentID, Nama, Kuliah, Nilai), dimana MHS  StudentID  Nama  Kuliah  Nilai.

Relasi n-er (n-ary) Maka, salah satu contoh relasi MHS adalah MHS = { (001200900023, Amir, DM, B), (001200900023, Amir, E3, A), (001200900007, Budi, DSA, A), (001200900070, Cora, DSA, B), (001200900070, Cora, SP, A), (001200900070, Cora, E3, A), (001200900069, Dudi, DM, D), (001200900069, Dudi, SP, C), (001200900038, Encep, DM, E), (001200900038, Encep, DSA, E), (001200900038, Encep, SP, E), (001200900038, Encep, E3, E) }

Relasi n-er (n-ary) Relasi MHS dapat pula dituliskan dalam bentuk tabel.

Basis Data Basisdata (database) adalah kumpulan tabel. Salah satu model basisdata adalah model basisdata relasional (relational database), yang didasarkan pada konsep relasi n-ary. Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.

Basis Data Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai sebuah file. Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap atribut menyatakan sebuah field. Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah kumpulan record, dan setiap record terdiri atas sejumlah field. atribut atribut atribut atribut field field field field record

Basis Data Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik anggota relasi disebut kunci (key). Operasi terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut query. Contoh query: “Tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit.” “Tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan StudentID 001200900007.” “Tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas StudentID dan mata kuliah yang diambil.” Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasi n-ary.

PENTING Fungsi Misalkan A dan B himpunan, maka relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap anggota di dalam A dihubungkan dengan tepat satu anggota di dalam B. Notasi fungsi dituliskan dengan f : A  B. Dibaca “f memetakan A ke B.” A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. PENTING Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. Kita menuliskan f(a) = b jika a  A dihubungkan dengan b  B.

Fungsi Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (improper subset) dari B.

Fungsi Fungsi adalah relasi dengan sifat khusus: Tiap anggota di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f. Kalimat “anggota di dalam A dihubungkan dengan tepat satu anggota di dalam B” berarti bahwa jika (a,b)  f dan (a,c)  f, maka b = c. Atau dengan cara lain, bila b = f(a) dan c = f(a), maka b = c.

Fungsi Contoh: Misalkan A = { 1,2,3 } dan B = { u,v,w }, maka relasi berikut: (a) f = { (1,u),(2,v),(3,w) } adalah fungsi dari A ke B. Di sini, f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal f adalah A dan daerah hasil f adalah B. Jelajah f adalah { u,v,w }, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B. (b) f = { (1,u),(2,u),(3,v) } adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua anggota A. Jelajah f adalah { u,v } saja.

Fungsi Contoh: Misalkan A = { 1,2,3 } dan B = { u,v,w }, maka relasi berikut: (c) f = { (1,u),(2,v) } bukan fungsi dari A ke B, karena tidak semua anggota A dipetakan ke B. (d) f = { (1,u),(1,v),(2,v),(3,w) } karena 1 dipetakan ke dua buah anggota B, yaitu u dan v.

Fungsi Satu-ke-satu (Injektif) Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua anggota himpunan A yang memiliki bayangan sama.

Fungsi Satu-ke-satu (Injektif) Contoh: Misalkan A = { 1,2,3 } dan B = { u,v,w,x }, maka relasi berikut: (a) f = { (1,w),(2,u),(3,v) } adalah fungsi satu-ke-satu, karena tidak ada anggota A yang memiliki bayangan sama. (b) f = { (1,u),(2,u),(3,v) } bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2) = u.

Fungsi Pada (Surjektif) Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap anggota himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih anggota himpunan A. Dengan kata lain seluruh anggota B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

Fungsi Pada (Surjektif) Contoh: Misalkan A = { 1,2,3 } dan B = { u,v,w }, maka relasi berikut: (a) f = { (1,u),(2,u),(3,v) } bukan fungsi pada, karena w tidak termasuk jelajah dari f. (b) f = { (1,w),(2,u),(3,v) } adalah fungsi pada, karena semua anggota B merupakan jelajah dari f.

Fungsi Korespondensi Satu-ke-satu (Bijeksi) Fungsi f dikatakan berkorespondensi satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika f adalah fungsi satu-ke-satu dan sekaligus juga fungsi pada. Contoh: Misalkan A = { 1,2,3 } dan B = { u,v,w }, maka relasi f = { (1,w),(2,u),(3,v) } adalah fungsi berkorespondensi satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu dan juga fungsi pada.

Latihan satu-ke-satu, bukan pada bukan satu-ke-satu, pada bukan satu-ke-satu, bukan pada bukan fungsi

Inversi Fungsi Inversi dari fungsi f akan didapatkan jika dan hanya jika f adalah suatu fungsi yang berkorespondensi satu-ke-satu dari A ke B. Inversi fungsi f dilambangkan dengan f –1, yang merupakan fungsi berkorespondensi satu-ke-satu dari B ke A. Misalkan a  A dan b  B, jika f(a) = b maka f –1(b) = a. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu disebut juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena inversi fungsinya dapat didefinisikan. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika fungsi tersebut bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.

Inversi Fungsi Contoh: Misalkan A = { 1,2,3 } dan B = { u,v,w }, maka untuk relasi berikut: (a) f = { (1,u),(2,u),(3,v) } bukan fungsi berkorespondensi satu-ke-satu. f –1= { (u,1),(u,2),(v,3) } bukan fungsi sama sekali inversi tidak terdefinisikan. (b) f = { (1,w),(2,u),(3,v) } adalah fungsi berkorespondensi satu-ke-satu. f –1= { (w,1),(u,2),(v,3) } adalah fungsi  inversi dapat didefinisikan  f adalah fungsi yang invertible

Komposisi Fungsi Misalkan f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan g adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan g ס f, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh: (g ס f)(a) = g(f(a)) Contoh: Diberikan fungsi f = { (1,u),(2,u),(3,v) } yang memetakan A = { 1,2,3 } ke B = { u,v,w }, dan fungsi g = { (u,y),(v,x),(w,z) } yang memetakan B = { u,v,w } ke C = { x,y,z }. Fungsi komposisi dari A ke C adalah: g ס f = {(1, y), (2, y), (3, x) }

Komposisi Fungsi Contoh: Solusi: Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x2 + 1. Tentukan f ס g dan g ס f. Solusi: (a) (f ס g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = (x2 + 1) – 1 = x2 (b) (g ס f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 + 1 = x2 – 2x + 2

Beberapa Fungsi Khusus 1. Fungsi Floor dan Ceiling Misalkan x adalah bilangan riil yang nilainya berada diantara dua bilangan bulat. Fungsi floor dari x, dinotasikan x, menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Fungsi ceiling dari x, dinotasikan x menyatakan nilai bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x.

Beberapa Fungsi Khusus Contoh: Beberapa contoh nilai fungsi floor dan ceiling: 3.5 = 3 3.5 = 4 0.45 = 0 0.45 = 1 4.8 = 4 4.8 = 5 – 0.5 = – 1 – 0.5 = 0 –3.75 = – 4 –3.75 = – 3

Beberapa Fungsi Khusus 2. Fungsi Modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif, maka a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan q adalah sembarang bilangan bulat dan 0  r < m Nilai r dapat dicari dengan rumus: r = a – mq dimana q = a/m

Beberapa Fungsi Khusus Contoh: Beberapa contoh nilai fungsi floor dan ceiling: 25 mod 7 = 4, 25/7 = 3 dan 25 – 73 = 4 15 mod 4 = 3, 15/4 = 3 dan 15 – 43 = 3 3612 mod 45 = 12, 3612/45 = 80 dan 3612 – 4580 = 12 0 mod 5 = 0, 0/5 = 0 dan 0 – 50 = 0 –25 mod 7 = 3, –25/7 = –4 dan –25 – 7(–4) = 3

Pengumuman Ujian Tengah Semester: 22 Juni 2010 Jam 18.30 – 20.15 WIB Bahan: Kuliah 1 - Kuliah 6