Eva Safaah, ST e_safaah@yahoo.co.id KALKULUS Eva Safaah, ST e_safaah@yahoo.co.id.

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
Teori Graf.
Advertisements

Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini
START.
1 ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Drs. Toto’ Bara Setiawan, M.Si. (

Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul
LATIHAN SOAL HIMPUNAN.
MATRIKS Trihastuti Agustinah.
Bab 6B Distribusi Probabilitas Pensampelan
HITUNG INTEGRAL INTEGRAL TAK TENTU.
Assalamualikum wr wb ....
CARA MENYATAKAN HIMPUNAN
Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini
Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Barisan Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat – sifat barisan Barisan Monoton.
Luas Daerah ( Integral ).
PENDAHULUAN : ALJABAR ABSTRAK
PEMINDAHAN HAK DENGAN INBRENG
BAB II HIMPUNAN.
Fungsi Invers, Eksponensial, Logaritma, dan Trigonometri
FUNGSI MATEMATIKA DISKRIT K- 6 Universitas Indonesia
Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini
Peluang.
Dasar Logika Matematika
REVIEW HIMPUNAN PENGERTIAN HIMPUNAN REPRESENTASI HIMPUNAN
Waniwatining II. HIMPUNAN 1. Definisi
Himpunan Pertemuan Minggu 1.
FUNGSI STRUKTUR DISKRIT K-8 Program Studi Teknik Komputer
Himpunan.
MATEMATIKA BISNIS HIMPUNAN.
MATEMATIKA BISNIS by : Dien Novita
Logika Matematika Konsep Dasar
HIMPUNAN Oleh Erviningsih s MTsN Plandi Jombang.
HIMPUNAN.
Matematika Informatika 1
MATEMATIKA BISNIS BY : ERVI COFRIYANTI.
BAB II HIMPUNAN.
Pertemuan ke 4.
DPH1A3-Logika Matematika
MATERI KE-1 MATEMATIKA EKONOMI I
Pertemuan ke 4.
MATEMATIKA DISKRIT PERTEMUAN KE 2 SAFITRI JAYA, S.Kom, M.T.I
LOGIKA MATEMATIKA PERTEMUAN 1 HIMPUNAN I
Logika Matematika Teori Himpunan
MATEMATIKA BISNIS & EKONOMI
HIMPUNAN Loading....
Matematika Diskrit (1) Himpunan.
Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
Disusun Oleh: Novi Mega S
BAB II HIMPUNAN.
PENGERTIAN HIMPUNAN Himpunan merupakan kumpulan objek-objek (benda). Objek-objek yang dimaksud di sini adalah elemen atau anggota himpunan tersebut CARA.
Pertemuan III Himpunan
Mata Kuliah: MATEMATIKA DISKRIT Harni Kusniyati
PENGERTIAN HIMPUNAN Himpunan merupakan kumpulan objek-objek (benda). Objek-objek yang dimaksud di sini adalah elemen atau anggota himpunan tersebut CARA.
BAB II HIMPUNAN.
HIMPUNAN.
MATEMATIKA EKONOMI UT HIMPUNAN dan SISTEM BILANGAN.
PENGERTIAN HIMPUNAN Himpunan merupakan kumpulan objek-objek (benda). Objek-objek yang dimaksud di sini adalah elemen atau anggota himpunan tersebut CARA.
MATEMATIKA EKONOMI Pertemuan 2: Himpunan dan Sistem Bilangan
PENDAHULUAN : ALJABAR ABSTRAK
MATEMATIKA EKONOMI HIMPUNAN dan SISTEM BILANGAN Ir Tito Adi Dewanto.
Logika Matematika Teori Himpunan
HIMPUNAN Materi Kelas VII Kurikulum 2013
HIMPUNAN Loading....
HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI DAN GRAFIK
Logika Matematika Teori Himpunan
01 LOGIKA MATEMATIKA Penyajian Himpunan,operasi-operasi dasar himpunan
PENGERTIAN HIMPUNAN Himpunan merupakan kumpulan objek-objek (benda). Objek-objek yang dimaksud di sini adalah elemen atau anggota himpunan tersebut CARA.
BAB 1 HIMPUNAN.
BAB 1 HIMPUNAN.
HIMPUNAN MATEMATIKA DISKRIT.
Transcript presentasi:

Eva Safaah, ST e_safaah@yahoo.co.id KALKULUS Eva Safaah, ST e_safaah@yahoo.co.id

Himpunan kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangannya yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf kapital seperti A, B, C dsb. Untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Definisi Himpunan Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...). Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Menyatakan Suatu Himpunan Enumerasi: mendaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan didalam sepasang tanda kurung kurawal, dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. ex : A = {a, i, u, e, o} Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. P = himpunan bilangan bulat positif Z = himpunan bilangan bulat R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan komplek Notasi pembentuk himpunan: dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggota. A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat} 4. Diagram Venn: menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yg digambarkan dng segi empat. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Himpunan Kosong Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong. Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai: Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Format Penulisan N = 1, 2, 3, ... Z = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... Q = bentuk m/n R = ..,-1,-¾,-¼,0,¼, ¾,1… C = a + bi Bil. Imajiner = sifatnya i 2 = −1 Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Simbol – Simbol Khusus Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Relasi Antar Himpunan Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Subhimpunan Misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah diambil dari himpunan tersebut. {apel, jeruk} {jeruk, pisang} {apel, mangga, pisang} Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai subhimpunan atau himpunan bagian dari A. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Jadi dapat dirumuskan: B adalah himpunan bagian dari A jika setiap elemen B juga terdapat dalam A. Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai subhimpunannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya. Subhimpunan sejati dari A menunjuk pada subhimpunan dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Superhimpunan Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Kesamaan dua himpunan Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A. Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunan A. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Himpunan Kuasa Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A. { { }, {apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang}, {apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang}, {jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang}, {apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang}, {apel, jeruk, mangga, pisang} } Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Kelas Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya, adalah sebuah keluarga himpunan. Contoh berikut, bukanlah sebuah kelas, karena mengandung elemen c yang bukan himpunan. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Jenis Himpunan Jenis Notasi Keterangan Himp.A yg anggota-anggotanya semua huruf kecil dalam abjad A = { a, b, c, .... } A adalah nama yg diberikan kepada suatu himpunan Himpunan yg anggotanya sama banyak A  B A = { 1,2, 3, 4 } B = { a, b, c, d } Jml anggoota A = 4 ditulis n(a) = 4 Jml anggoota B = 4 ditulis n(b) = 4 Jadi, n(A) = n(B) = 4 Himpunan yg sama A = B Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B, bila setiap anggota A juga menjadi anggota B dan sebaliknya. Himpunan kosong { } atau  Himpunan yg tidak mempunyai anggota sama sekali Himpunan bagian A  B A Himpunan bagian dari himpunan B Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Jenis Notasi Keterangan Himpunan universum, atau semesta pembicaraan U atau S A adalah himpuman dari semua unsur yang dibicarakan Himpunan komplemen A` atau Ac U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } A = { 3, 5 } A` = Ac = Himpunan komplemen dari A = { 1, 2, 4, 6 } Himpunan lepas A // B Himpunan A lepas dari himpunan B, bila tidak ada anggota A yg menjadi anggota B Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Hukum (sifat-sifat) operasi Jenis Operasi Hukum (sifat-sifat) operasi Gabungan A  B = B  A disebut hukum (sifat) komutatif gabungan. ( A  A )  C = A  (B  C). Sifat asosiatif A   = A A  U = U A  A = A A  A` = U disebut sifat komplemen gabungan Irisan A  B = B  A sifat komutatif irisan A  A = A A   =  A  U = A A  A` =  sifat komplemen irisan (A  B)  C = A  (B  C) sifat asosiatif irisan Distributif A  (B  C) = (A  B)  (A  C) disebut sifat distributif gabungan terhadap irisan A  (B  C) = (A  B)  (A  C) disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Hukum (sifat-sifat) operasi Jenis Operasi Hukum (sifat-sifat) operasi Selisih A - A =  A -  = A A - B = A  B` A – (B  C) = (A - B)  (A – C) A – (B  C) = (A - B)  (A – C) Komplemen (A`)` = A U` =  ` = U A  A` = U A  A` =  Banyaknya anggota n(A) + n(B) ≠ n(A  B) n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(B  C) – n(C  A) + n(A  B  C) n(A) + n(B) = n(A  B) + n(A  B) n(A) + n(B) + n(C) = n(A  B  C) + n(A  B) + n(A  C) + n(B  C) - n(A  B  C) Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Diagram Venn Diagram venn digunakan untuk menunjukan kebenaran dari suatu argumen Ex. Terjemahkan tiap pernyataan berikut dalam bentuk diagram venn : Semua Mahasiswa adalah Malas Beberapa mahasiswa adalah malas Tidak ada mahasiswa yang malas Tidak semua mahasiswa adalah malas Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Gambar 3 Gambar 1 Gambar 2 Mahasiswa Orang Malas Mahasiswa Orang Malas Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Diagram Venn U U U A Pernyataan Diagram Himpunan semesta U ● 5 ●9 ● 8 U A Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

U A B A = B U A B C Pernyataan Diagram A  U B  U B  A A = B C  B  A  U U = {bilangan asli} A = { 1, 2, 3, ....... 10 } B = { 1, 3, 5, 9 } C = { 1, 3 } U A B U A = B U A B C Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Fungsi Karakteristik Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah elemen terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak. Jika maka: χA(apel) = 1 χA(durian) = 0 χA(utara) = 0 χA(pisang) = 1 χA(singa) = 0 Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah elemen dalam himpunan tersebut. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Representasi Biner Dlm himpunan semesta S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan Biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing elemen S, sehingga nilai 1 ---- elemen tersebut ada nilai 0 --- elemen tersebut tidak ada. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. ex : jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka: Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Operasi Himpunan Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union, interseksi, dan komplemen, karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya. Union : Operasi gabungan setara dengan A or B Interseksi : Operasi irisan setara dengan A and B Komplemen : Operasi komplemen AC setara dengan not A Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler- kompiler Pascal dan juga Delphi. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Operasi Himpunan Gabungan (Union) Gabungan dua buah himpunan A dan B dinyatakan dengan A  B Himpunan semua elemen dari A dan B A B A B Saling Lepas/Asing Saling Joint/Persekutuan Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Operasi Gabungan Himpunan Ex. A = { a, b, c, d } B = { e, f } Maka, A  B = { a, b, c, d, e, f } E = { x, y, z } F= { x } Maka, E  F = { x, y, z } ●a ●c ●d ●b ●e ●f U ●y ●z E ●x F Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Operasi Gabungan Himpunan Ex. Terdapat 2 himpunan yaitu : A = { 1, 2, 3, 4 } C = = { 3, 4, 5 } Tentukan A  C dan gaambarkan diagram vennnya Penyelesaian : A  C = { 1, 2, 3, 4, 5 } U ●1 ●2 A ●3 ● 5 ●4 C Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Perhatikan himpunan-himpunan berikut : U = { 1, 2, 3, … , 8, 9 }, Ex. Perhatikan himpunan-himpunan berikut : U = { 1, 2, 3, … , 8, 9 }, A = { 1, 2, 3, 4}, B = { 2, 4, 6, 8 }, C = { 3, 4, 5, 6 }, Tentukanlah himpunan penyelesaian dan diagram Venn A  B A  B  C Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Penyelesaian : A  B = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 } = { 1, 2, 3, 4, 6, 8 } A  B  C = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 }  { 3, 4, 5, 6 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 } Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

A  B  C 4 2 6 3 1 8 5 7 9 U A B C A B 2 4 1 3 6 8 7 A B U 5 9 U A  B Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Operasi Himpunan Persekutuan (Irisan) Persekutuan dua buah himpunan A dan B dinyatakan dengan A  B Himpunan yang elemen-elemennya merupakan anggota dari A dan B A  B Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Ex. Mengacu pada himpunan-himpunan berikut : U = { 1, 2, 3, … , 8, 9 }, A = { 1, 2, 3, 4}, B = { 2, 4, 6, 8 }, C = { 3, 4, 5, 6 }, Tentukanlah himpunan penyelesaian dan diagram Venn a. A  B b. A  B  C Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Penyelesaian : A  B = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 } = { 2, 4 } A  B  C = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 }  { 3, 4, 5, 6 } = { 4 } Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

A B U 2 4 1 3 8 6 5 7 9 4 2 6 3 1 8 5 7 9 U A B C A  B A  B  C Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Irisan U Ex. ●a A = { a, b, c, d } ●b B = { c, d, e } Maka, A  B = { c, d } C = { a, b, c, d } D = { a, b } Maka, C  D = { a, b } ●a ●b A ●c ● e ●d B U ●c ●d C ●a ●b D Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Ex. E = { a, b, c } F = { 1, 2, 3 } Maka, E  F =  U ●a ●b ●c E ●1 ●2 ●3 F Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

Operasi Himpunan Selisih (relative component) Selisih dua buah himpunan A dan B dinyatakan dengan A \ B Himpunan dari elemen-elemen yang merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B A \ B Teacher Give you one, Book Give You More

Mengacu pada himpunan-himpunan berikut : Ex. Mengacu pada himpunan-himpunan berikut : U = { 1, 2, 3, … , 8, 9 }, A = { 1, 2, 3, 4}, B = { 2, 4, 6, 8 }, C = { 3, 4, 5, 6 }, Tentukanlah himpunan penyelesaian dan diagram Venn A \ B A \ B \ C Penyelesaian : A \ B = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 } = { 1, 3 } A \ B \ C = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 }  { 3, 4, 5, 6 } = { 1 } Teacher Give you one, Book Give You More

A B U 2 4 1 3 8 6 5 7 9 4 2 6 3 1 8 5 7 9 U A B C A \ B \ C A \ B Teacher Give you one, Book Give You More

Selisih Himpunan U Ex. A = { a, b, c } B = { d, e } Maka, A / B = { a, b, c } C = { 1, 2, 3 } D = { 3, 4 } Maka, C / D = { 1, 2 } ●a ●b ●c A ●d ●e B U ●1 ●2 C ●3 ● 4 D Teacher Give you one, Book Give You More

Selisih Himpunan U C = { 1, 2, 3 } D = { 3, 4 } Maka, D / C = { 4 } ●4 ●3 ● 1 ● 2 C Teacher Give you one, Book Give You More

Operasi Himpunan Complemen (Absolute Component) Komplemen dari himpunan A dinyatakan dengan AC Himpunan dari elemen-elemen yang merupakan anggota semesta tetapi bukan anggota dari A AC Teacher Give you one, Book Give You More

Mengacu pada himpunan-himpunan berikut : Ex. Mengacu pada himpunan-himpunan berikut : U = { 1, 2, 3, … , 8, 9 }, A = { 1, 2, 3, 4}, B = { 2, 4, 6, 8 }, C = { 3, 4, 5, 6 }, Tentukanlah himpunan penyelesaian dan diagram Venn ( A \ B )C ( A  B  C )C Penyelesaian : ( A \ B )C = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 } = { 2, 4 , 6, 7, 8, 9 } ( A  B  C )C = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 }  { 3, 4, 5, 6 } = { 1, 2, 3 , 5, 6, 7, 8, 9 } Teacher Give you one, Book Give You More

A B U 2 4 1 3 8 6 5 7 9 4 2 6 3 1 8 5 7 9 U A B C ( A \ B )C ( A  B  C )C Teacher Give you one, Book Give You More

Himpunan Complement Ex. Diketahui himpunan semesta = {1,2,3,4,5,..,10), A = {1,3,5,7}, B {2,4,6,8} , C = {2,4,7,9}.Tentukanlah Ac , Bc dan Cc Jawab Ac = { 2,4,6,8,9,10 } Bc = { 1,3,5,7,9,10 } Cc = { 1,3,5,6,8,10}

Himpunan Komplemen U A` atau komplemen dari A (A  B)` = A`  B` A U B Teacher Give you one, Book Give You More

A`  B` = (A  B)` U B A Teacher Give you one, Book Give You More

Penyajian himpunan Mendaftar semua anggotanya dan tidak harus berurutan A = {1,2,3,4} Mendaftar sifat yang diperlukan untuk menjadi anggotanya A = {x | x < 0}

1 bukan anggota dari himpunan A 5 adalah anggota himpunan dari B Ex. Tuliskan kembali pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan notasi himpunan : 1 bukan anggota dari himpunan A 5 adalah anggota himpunan dari B A adalah himpunan bagian/ sama dengan (subset) C A bukan himpunan bagian/ sama dengan (subset) D F mengandung semua elemen dari G E dan F mengandung elemen-elemen yang sama Penyelesaian 1  A 5  B A  C A  D G  F atau F ≥ G E = F Teacher Give you one, Book Give You More

Cara untuk menentukan himpunan suatu himpunan tertentu 1. Menentukan elemen-elemennya. ex. A = { a, e, i, o, u } menyatakan himp.A yang mempunyai elemen-elemen a, e, i, o, u. Ingat bahwa elemen-elemen tsb dipisahkan dengan tanda koma dan ditutup dengan { }. Menentukan sifat-sifat yang mencerminkan elemen-elemen dalam himpunan. ex. B = { x: x adalah bil.bulat, x > 0 } “ B adalah himpunan dari x sedemikian hingga x adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 0”, B mempunyai elemen-elemen bilangan bulat positip. sebuah abjad, biasanya x, digunakan untuk menyatakan tipe atau jenis anggota himpunan ; tanda titik dua menyatakan “sedemikian hingga” dan koma menyatakan “dan”. Teacher Give you one, Book Give You More

B = { x: x  N, x bilangan genap, x < 15 } Ex. Tuliskan elemen-elemen dari himpunan-himpunan berikut; dalam hal ini N = { 1, 2, 3, ... } a. A = { x: x  N, 3 < x < 12 } B = { x: x  N, x bilangan genap, x < 15 } C = { x: x  N, 4 + x = 3 } Penyelesaian : A terdiri dari bilangan bulat positip antara 3 dan 12 ; sehingga: A = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 } Terdiri dari bilangan bulat genap positip yang kurang dari 15; sehingga: B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 } c. Tidak ada bilangan bulat positip yang memenuhi syarat 4 + x = 3; sehingga C tidak mempunyai elemen. Dengan kata lain, C = , himpunan kosong Teacher Give you one, Book Give You More

Operasi Himpunan Selisih Simetris Selisih Simetris dari himpunan A dan B dinyatakan dengan A  B Himpunan dari elemen-elemen yang merupakan anggota A dan B tetapi bukan anggota persukutuan/irisan A dan B A  B Teacher Give you one, Book Give You More

Untuk himpunan-himpunan berikut : Ex. Untuk himpunan-himpunan berikut : U = { 1, 2, 3, … , 8, 9 }, A = { 1, 2, 3, 4}, B = { 2, 4, 6, 8 }, C = { 3, 4, 5, 6 }, Tentukanlah himpunan penyelesaian dan diagram Venn A  B A  B  C Penyelesaian : A  B = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 } = { 1, 3, 6, 8 } A  B  C = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 }  { 3, 4, 5, 6 } = { 1, 2, 3, 5, 6, 8 } Teacher Give you one, Book Give You More

A B U 2 4 1 3 8 6 5 7 9 4 2 6 3 1 8 5 7 9 U A B C A  B A  B  C Teacher Give you one, Book Give You More

Himpunan Berhingga Terdapat m elemen/anggota berbeda dimana m menyatakan suatu bilangan bulat non negatif (positip) Notasi menyatakan jumlah elemen n(A) Teacher Give you one, Book Give You More

Tunjukan manakah himpunan berikut yang berhingga : Ex, Tunjukan manakah himpunan berikut yang berhingga : A = { Musim dalam Setahun } B = { Negara bagian Amerika } C = { Bilangan Postif kurang dari 1} D = { Faktor dari 12} Penyelesaian : A berhingga karena 4 musim dalam setahun, maka n(A) = 4 B berhingga karena ada 50 negara bagian di amerika, n(B) = 50 Tidak ada bilangan bulat positip yang kurang dari 1, maka C =  dan n(C) = 0 faktor pembagi 12 D = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }, maka D berhingga n(D) = 6 Teacher Give you one, Book Give You More

Himpunan Tak Berhingga Terdapat m elemen/anggota berbeda dimana m menyatakan suatu bilangan bulat negatif Tidak bisa terhitung jumlah elemen Teacher Give you one, Book Give You More

Tunjukan manakah himpunan berikut yang tak berhingga : Ex. Tunjukan manakah himpunan berikut yang tak berhingga : A = { Bilangan bulat negatif } B = { Garis Melalui Titik Pusat } C = { angka 1 di bagi 0 } Penyelesaian : A tak berhingga, ada jumlah tak hingga banyaknya bilangan bulat negatif B tak berhingga, banyak garis yang melalui titik pusat C tak berhingga, 1 / 0 = ~ Teacher Give you one, Book Give You More

n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) Theorema n(A  B) = n(A) + n(B) n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) - n(A  C) - n(B  C) + n(A  B  C) Teacher Give you one, Book Give You More

A B A B C A B n(A  B  C) = n(A  C) n(B) = n(B  C) = n(A  B) Teacher Give you one, Book Give You More

Aljabar Himpunan No Keterangan Rumus 1. Hukum Idempotent A  A = A 2. Hukum Asosisatif A  ( B  C ) = (A  B)  C A  ( B  C ) = (A  B )  C 3. Hukum Distributif A  (B  C) = ( A  B )  ( A  C ) A  (B  C) = ( A  B )  ( A  C ) 4. Hukum Identitas A  Ø = A A  Ø = Ø A  U = U A  U = A 5. Hukum Involusi (Ac) c = A 6. Hukum Komplemen A  Ac = U A  Ac = Ø Uc = Ø Øc = A 7. Dalil Demorgan ( A  B)c = Ac  Bc ( A  B)c = Ac  Bc Teacher Give you one, Book Give You More

Gunakan hukum-hukum aljabar untuk membuktikan identitas berikut : Ex. Gunakan hukum-hukum aljabar untuk membuktikan identitas berikut : ( A  Ø )  ( B  A ) = A Penyelesaian : ( A  Ø )  ( B  A ) ( A  Ø )  ( A  B ) Hukum Assosiatif A  (Ø  B) Hukum Distributif A  Ø Hukum Identitas A -----Terbukti ( A  Ø )  ( B  A ) = A----- Teacher Give you one, Book Give You More

Perhatikan himpunan-himpunan berikut : A = { jas, topi, payung } B = { sepatu, jas, sarung tangan, syal } C = { baju, topi, sarung tangan, syal } D = { jas, sepatu } Tentukan A  B dan B  C (A  C)  (B\ C) B \ (A  D) C \ B A` Teacher Give you one, Book Give You More

Mengacu pada himpunan-himpunan berikut : A = { M, W, F, S } B = { S, SU } C = { M, T, W, TH, F } D = { W, TH, F, S } Dimana himpunan semesta U = { M (mon), T (tues), W (wed), TH (thurs.), F (fri.), S (Sat.), SU (Sun.) } Tentukan A  B dan A  C B  C dan B  D A` dan B` C` dan D’ A \ B dan (A\B)  D (C  D) Teacher Give you one, Book Give You More

Tugas Perhatikan asumsi-asumsi berikut ini : S1 = semua ahli matematika adalah orang yang menarik S2 = hanya orang-orang yang tidak menarik yang menjadi penjual asuransi S3 = setiap orang jenius adalah ahli matematika Tunnjukkan kebenaran dari setiap kesimpulan berikut dengan diagram venn Orang penjual asuransi bukan ahli matematika Beberapa orang jenius adalah penjual asuransi Beberapa orang jenius adalah orang yang menarik Teacher Give you one, Book Give You More

S1 S3 Orang Yang menarik Ahli matematika Orang jenius S2 Orang Yang tidak menarik Penjual asuransi

a) b) c) Penjual asuransi Ahli matematika Orang jenius Penjual menarik

a) S2 S1 S3 Penjual asuransi Orang jenius Ahli matematika Orang Yang tidak menarik Orang Yang menarik

b) S1 S2 S3 Orang Yang tidak menarik Ahli matematika Penjual asuransi Orang jenius Orang Yang menarik

c) S1 S2 S3 Orang Yang tidak menarik Ahli matematika Penjual asuransi Orang jenius Orang Yang menarik