Nilai dan Vektor Eigen Selamat datang di Modul 7 dengan judul Nilai dan Vektor Eigen Masalah nilai eigen amat penting dalam matematika dan banyak aplikasinya pada ilmu lain dan penyelesaian masalah di berbagai bidang. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Mengingat kembali: perkalian matriks Diberikan matriks A2x2 dan vektor-vektor u, v, dan w Hitunglah Au, Aw, Av. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor yang sejajar dengan vektor semula Jawab: v dan Av sejajar w dan Aw sejajar Perkalian vektor dengan matriks hasilny sama dengan perkalian skalar Jika A adalah matriks persegi nxn, x vektor di Rn, maka Ax adalah vektor di Rn. Dalam kasus tertentu, Ax mempunyai interpretasi geometris yang sederhana. Ax nilainya sama dengan hasil kali skalar dengan x. Pada contoh terlihat, Au = u dengan u bukan vektor nol. u disebut vektor eigen untuk A yang bersesuaian dengan nilai eigen . u dan Au TIDAK sejajar Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Mengingat kembali: SPL homogen dan determinan A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian trivial saja. Apa kesimpulanm tentang A? 2. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK trivial. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(A)? Jawaban: A mempunyai inverse. Det(A) ≠ 0 Perkalian vektor dengan matriks hasilny sama dengan perkalian skalar Jika A adalah matriks persegi nxn, SPL homogen Ax=0 mempunyai penyelesaian trivial saja. Tidak ada penyelesaian lain, apa kesimpulanmu tentang A? Jawabannya adalah sbb: A adalah matriks yang mempunyai inverse dan det(A) tidak sama dengan nol 2. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK trivial. Jadi SPL tersebut mempunyai tak hingga banyak penyelesaian. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(A)? Jawabannya adalah: A tidak mempunyai inverse dan deteminannya sama dengan nol. Jika kamu tidak dapat menjawab pertanyaan tersebut dengan baik, dianjurkan untuk mengulang kembali topik mengenai kaitan determinan dan inverse matriks. Jawaban: A tidak mempunyai inverse. Det(A) = 0 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Perkalian vektor dengan matriks x = λ x Ax x x Perkalian vektor dengan matriks hasilny sama dengan perkalian skalar Jika A adalah matriks persegi nxn, x vektor di Rn, maka Ax adalah vektor di Rn. Dalam kasus tertentu, Ax mempunyai interpretasi geometris yang sederhana. Ax nilainya sama dengan hasil kali skalar dengan x. Jika x adalah vektor pada bidang, maka x dan Ax adaklah dua vektor yang sejajar. Ax x dan Ax sejajar Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Perkalian vektor dengan matriks = 2 = 1 = k Au = 2u Av = v Aw ≠ kw y y y 10 24 2 8 1 4 4 Sebagai contoh, Diberikan matriks A, kemudian dikalikan dengan dua vektor berbeda. Perhatikan hasilnya. Pertama Au = 2u, Av = 2v, Aw bukan kelipatan w. Au dan Av adalah kelipatan sekalar u dan v. Bayangkan jika matriks berukuran besar, akan sangat menguntungkan jika hasil kali vektor dengan matriks dapat dinyatakan sebagai hasil dengan skalar 5 4 x x x Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Definisi: Nilai dan Vektor Eigen Diberikan matriks A nxn, vektor tak nol v di Rn disebut vektor eigen dari A jika terdapat skalar sedemikian hingga Av = λv. λ disebut nilai eigen, x adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ . Syarat perlu: v ≠ 0 Definisi nilai dan vektor eigen Berikut ini adalah definisi formal nilai dan vektor eigen: Jika A adalah matriks persegi n kali n, vektor tak nol u di Rn sedemikian hingga Au = λ u, untuk suatu skalar λ, maka u disebut vektor eigen untuk A yang bersesuaian dengan λ, dan λ disebut nilai eigen dari A. Mengapa disyaratkan x tidak boleh nol? Perhatikan bahwa jka x = 0 maka Ax = λx berlaku untuk matriks persegi A yang manapun dan skalar λ yang manapun. Sehingga tidak ada informasi penting yang dapat kita petik. Ada 4 kemungkinan nilai lambda. (1) λ ≥ 1, Ax searah dan lebih panjang dari x (2) 0 ≤ λ ≤ 1, Ax searah tetapi lebih pendek dari x (3) -1 ≤ λ ≤ 0, Ax berlawanan arah dan lebih pendek dari x (4) λ ≤ - 1, Ax berlawanan arah tetapi lebih panjang dari x (1) λ ≥ 1 (2) 0 ≤ λ ≤ 1 (3) -1 ≤ λ ≤ 0 (4) λ ≤ - 1 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Masalah Vektor Eigen A sejajar x x A = λ x x Diberikan matriks persegi A, A sejajar x x A = λ x x Temukan semua vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax adalah kelipatan skalar x (Ax sejajar dengan x). atau Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu skalar λ Diberikan sembarng matriks persegi A. Masalah nilai dan vektor eigen adalah: temukan semua vektor tak nol x sedemikian Ax adalah kelipatan skalar x, atau temukan semua vektor tidak nol x yang memenuhi persamaan Ax = lambda x, untuk suatu skalar lambda. Dari pelajaran yang lalu mengenai SPL homogen, kita tahu bahwa persamaan Ax = lambda x mempunyai penyelesaian tidak nol sama sja dengan mengatakan Persamaan linier homogen (A-lamba I)x = 0 mempunyai penyelesaian tidak nol, dan ini dipenuhi jika dan hanya jika matriks koefisiennya, Yaitu determinan matriks (A- lambda I) = 0. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Masalah Nilai Eigen A x = λ x Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol Diberikan matriks persegi A. A x = λ x x vektor tak nol Temukan semua skalar λ sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu vektor tak nol x. atau Temukan semua vektor skalar λ sedemikian hingga persamaan Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol Diberikan sembarng matriks persegi A. Masalah nilai eigen adalah menemukan semua skalar lambda, sedemikian hingga persamaan Ax = lambda x untuk suatu vektor tak nol x. Dengan kata lain, persamaan Ax = lambda x mempunyai penyelesaian yang tidak nol. Persamaan Ax = λx dapat dinyatakan sebagai persamaan Ax – λx =0 Ax = λx Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Pernyataan-pernyataan ekuivalen Jika A matriks persegi nxn, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen  nilai eigen A 2. terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = x SPL (A – I)x = 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial) 4.  adalah penyelesaian persamaan det(A – I) = 0 Marilah kita ulangi lagi makna dari definisi nilai dan vektor eigen. Jika A matriks persegi nxn, mk kalimat berikut ini mempunyai nilai kebenaran yang sama (ekuivalen) 1. nilai eigen A 2.terdpt vector tak nol x sdmkn hg Ax = x 3.SPL (I –A)x = 0 memp solusi non-trivial 4. adalah penyelesaian persm karakteristik det(I- A) =0 Berdasarkan pernyataan ke empat, mencari nilai eigen sama saja dengan mencari penyelesaian persamaan determinan (A- lambda I) = 0 atau determinan (lambda I –A) = 0. Mencari nilai eigen A sama saja mencari penyelesaian persamaan det(I-A) = 0 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Persamaan Karakteristik Jika diuraikan, det((A - λI) merupakan suku banyak berderajat n dalam λ, p(λ ) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 suku banyak karakteristik Persamaan det((A - λI) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0 disebut persamaan karakteristik A λI A-λI - = persamaan karakteristik Ingat dari pelajaran yang lalu bahwa jika v tidak sama I dengan 0 merupakan penyelesaian(A - I)x = 0, maka pasti (A - λ I) tidak mempunyai inverse, atau det(A - λI ) = 0. Persamaan ini disebut persamaan karakteristik. det((A - λ I) merupakan suku banyak dalam λ yang berderajat n. Penyelesaian persamaan ini merupakan nilai-nilai eigen dari A. Jadi, nilai-nilai eigen dari A dapat diperloleh dengan menyelesaiakan persamaan tersebut. Karena suku banyak berderajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian berbeda, maka matriks persegi nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen berbeda. A-λI det = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0 Persamaan dengan derajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi matriks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Contoh Mencari semua nilai eigen A= det 2 - λ = 0 4 1 - λ 2 - λ = 0 4 1 - λ 2 - λ Mencari semua penyelesaian persamaan 4 1 - λ Mencari penyelesaian persamaan karakteristik ( )( ) = 0 2 - λ 1 - λ Diberikan matriks A. tentukan semua nilai eigen dari A. Pertama, bentuklah matrik A-lambda I, dan hitunglah determinannya. Uraikan determinan tersebut ke dalam persamaan karakteristik. Nilai-nilai eigen dari A adalah penyelesaian dari persamaan karakterstik tersebut. Nilai eigen A adalah Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Prosedur: menentukan nilai eigen Diberikan matriks persegi A. Nilai-nilai eigen A dapat diperoleh sebagai berikut: Tentukan persamaan karakteristik det((A - λI) = 0 tuliskan A dan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi λ 2. (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik: λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0 3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah di atas. Nilai-nilai eigen merupakan penyelesaian persamaan tersebut. Dari uraian tadi, kita dapat membuat prosedur untuk menentukan nilai eigen matriks persegi sebagai berikut: Pertama, tentukan persamaan karakteristiknya yaitu dengan membentuk matriks A, dengan terlebih dahulu membentuk matriks A-lambda I. Kemudian hitung nilai determinannya. Determinan matriks tersebut merupakan persamaan berderajat n dalam λ. Selesaiakan persamaan tersebut dalam λ untuk mendapatkan nilai-nilai eigennya. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Contoh: Menentukan nilai eigen Diberikan matriks persegi Tentukan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0 Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik: Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen Sebagai contoh, marilah kita terapkan prosedur di atas pada matriks berikut ini. Diberikan matriks A. Kita tentukan determinan matriks A – λI. Menyelesaiakn persamaan karakteristik akan menghasilkan 3 nilai eigen yatu 0, 2, 3. Nilai-nilai eigen A: λ1 = 0 λ2 = 2 λ3 = 3 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Nilai eigen matriks diagonal Diberikan matriks diagonal Persamaan karakteristik: Untuk menentukan nilai eigen matriks, kita tidak selalu harus melalui prosedur yang panjang tadi. Untuk matriks-matriks tertentu, nilai eigennya mudah sekali diperoleh, meskipun ukuran matriknya besar. Sebagsi contoh, untuk matriks diagonal A, maka persamaan karakteristiknya hanya merupakan hasil kali diagonal utama matriks A - λI) Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1 (merupakan entri diagonal utama) Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal utamanya. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Bagaimana menentukan apakah suatu skalar merupakan nilai eigen? Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen A. Jawab: Bentuk det(A-λI) untuk λ = 2, 0, 4. Jika det(A-λI) ≠ 0, maka merupakan nilai eigen, kalau = 0, maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen A, 0 bukan nilai eigen A. 2 adalah nilai eigen A 0 bukan nilai eigen A 4 nilai eigen A Masalah nilai eigen bisa muncul dalam bentuk pertanyaan, apakah suatu skalar merupakan nilai eigen suatu matriks. Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita menghitung determinan (A-λI) . Jika nilainya nol, maka λ adalah nilai eigen A, jika determinan (A-λI) tidak sama dengan nol maka detλ bukan nilai eigen A. Sebagai contoh, untuk menentukan apakah 2 adalah nilai eigen A, maka kita hitung determinan det(A-2I) Ternyata, determinannya sama dengan nol. Jadi, 2 adalah nilai eigen untuk A. demikian juga 4. Sedangkan 8 bukanlah nilai eigen untuk A. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Kelipatan skalar vektor eigen Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai eigen 2. Selidiki apakah 1/2x, 10x, 5x juga vektor-vektor eigen A Ax = 2 x A(10x) = 2 (10x) Himpunan vektor2 eigen Ambil A dan vektor eigen x, tunjukkan bahwa kelipatan skalar dari vektor eigen juga vektor eigen, ambil contoh2 2x, 5x, 10x ds, tunjukkan persamaan A(2x) = 1(2x) dsb. Dapat disimpulkan bahwa: jika x adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan niali eigen . Maka kelipatan skalar yang tidak nol dari x juga merupakan vektro eigen dari A yang bersesuaian dengan . Himpunan semua kelipatan skalar dari , (yaitu semua vektor eigen dan vektor nol) memmbentuk ruang eigen E. A x = λ x A x = λ x (10) (10) Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Kelipatan skalar vektor eigen Ax = 2 x A(1/2 x) = 2 (1/2 x) A A x = λ x (1/2) x = λ (1/2) x Himpunan vektor2 eigen Perhatikan contoh berikut. Apa kesimpulanmu? Jika x adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan niali eigen . Maka kelipatan skalar yang tidak nol dari x juga merupakan vektro eigen dari A yang bersesuaian dengan . Himpunan semua kelipatan skalar dari , (yaitu semua vektor eigen dan vektor nol) membentuk ruang eigen E. Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalah vektor eigen terhadap nilai eigen yang sama Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Menentukan semua vektor eigen Eλ Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 3 dapat diperoleh dengan menyelesaikan SPL (A - λ I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A - λ I) Himpunan semua penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0 Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 3 dapat diperoleh dengan menyelesaikan SPL (A - λ I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A - λ I) Tetapi tidak semua anggota ruang Null(A - λ I) merupakan vektor eigen. Satu-satunya anggota Null(A - λ I) yang bukan vektor eigen adalah vektor nol. Himpunan semua vektor eigen bersesuaian dengan λ Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Ruang penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0 Ruang Eigen Ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ terdiri atas semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ dan vektor nol Ruang penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0 Null(A - λ I)x Ruang Eigen Eλ Ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ terdiri atas semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ dan vektor nol. Jadi, Ruang eigen Elambda sama dengan Null(A - λ I). Null(A - λ I) = Eλ Menentukan Eλ sama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Menentukan ruang eigen Eλ Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ = 3. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3. SPL (A - 3 I)x = 0 Diberikan matriks a dan salah satu nilai eigen lambda, tentukan ruang eigen yang berssuaian dengan lambda. Caranya adalah sebagai berikut: Bentukalah SPL homogen (A-lambda I)x = 0, atau SPL dengan (A - λ I) matriks koefisien. Ruang eigen adalah ruang penyelesaian SL tersebut. Pada contoh ini, setiap penyelesaian dapat dituliskan sebagai hasil kali vektor [ 1 2 0]. Jad, Ruang eigen E lambda adalah himpunan semua vektor di R3 yang memenuhi syarat keanggotaan tersebut. Penyelesaian Himpunan penyelesaian Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ =3 : Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Nilai eigen matriks pangkat Nilai eigen dari A adalah 0, 2, dan 3. Tentukan nilai eigen untuk Diberikan sembarang matriks A dan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya. Maka terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx kalikan kedua ruas dengan matriks A A.Ax = A λx A2x = λ(Ax) substitusi Ax dengan λx A2x = λ2x jadi, λ2 merupakan nilai eigen A2 Teorema: Jika n adalah bilangan bulat positif, λ nilai eigen matriks A, maka λn adalah nilai eigen An Telah kita ketahui bahwa matriks A memiliki nilai eigen 0, 2, dan 3. Berapakah nilai eigen untuk A2, A13, A20? Tentu saja kita bisa mendapatkannya dengan memangkatkan matriks, membentuk persamaan karakteristiknya dan menyelesaikannya. Namun ada cara yang lebih elegan. Inilah indahnya matematika. Kita akan mengembangkan rumus umum yang bisa diterapkan secara luas. Diberikan sembarang matriks A dan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya. Maka terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx kalikan kedua ruas dengan matriks A, maka akan diperoleh A kuadrat xx sama dengan lambda kuadrat x. Berdasarkan definisi nilai eigen, disimpulkan bahwa Jika n adalah bilangan bulat positif, λ nilai eigen matriks A, maka λn adalah nilai eigen An Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Nilai eigen matriks singular Misalkan  = 0 merupakan nilai eigen dari A. Maka 0 merupakan penyelesaian persamaan karakteristik: dengan menganti  dengan 0, diperoleh c0 = 0. Padahal det(A- I) = 0, dengan = 0, maka det(A) = c0 = 0. Karena det(A) = 0 maka A tidak mempunyai inverse. Sebaliknya, det(A) = det(A - I) dengan mengambil  = 0.Jadi det(A) = c0. Jika A tidak mempunyai inverse, maka det(A) = 0 = c0. Sehingga  = 0 merupakan salah satu penyelesaian persamaan karakteristik;  = 0 merupakan salah satu nilai eigen dari A. Nilai eigen nol Jika A tidak mempunyai inverse, maka salah satu nilai eigennya adalah 0. Sebaliknya, jika 0 adalah nilai eigen Anxn, maka A tdak mempunyai inverse. A mungkin memiliki nilai eigen lain. 0 adalah nilai eigen A jika dan hanya jika A tidak mempunyai inverse. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Nilai eigen matriks transpose det(B) = det(BT) (A-  I)T = (AT- I) Misalkan  = 0 merupakan nilai eigen dari A,  maka det(A-  I)= 0 Karena matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama,  maka det(A-  I)T= 0 Karena (A-  I)T = (AT- I) ,  maka det(AT-  I)= 0 Jadi,  adalah nilai eigen dari AT A dan AT mempunyai nilai eigen yang sama Telah kita pelajari pada modul 3 bahwa A dan AT mempunyai deteminan yang sama. Misalkan diketahui bahwa  = 0 merupakan nilai eigen dari A. maka det(A-  I)= 0 Karena matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama, maka det(A-  I)T= 0 Karena (A-  I)T = (AT- I) , maka det(AT-  I)= 0 Jadi,  adalah nilai eigen dari AT Kesimpulannya: A dan AT mempunyai nilai eigen yang sama A dan A-1 mempuyai nilai eigen yang sama Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Diagonalisasi Definisi: Matriks persegi A dapat didiagonalkan jika terdapat matriks yang mempunyai inverse sedemikian hingga P-1AP = D adalah matriks diagonal. Contoh: Diagonalisasi Perhitungan dengan matriks diagonal lebih sederhana. Determinannya dapt dihitung dengan mengalikan elemen diagonal utama. Nilai eigennya merupakan elemen-elemen diagonal utama. Ada prosedur untuk mengalikan matriks A dengan matriks tertentu untuk memperoleh matriks diagonal. Dikatakan A dapat didiagonalkan (ada matriks yang mempunyai inverse P sedemikian hingga P-1AP = D. P-1AP= Matriks diagonal A dapat didiagonalkan Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Kapan matriks A dapat didiagonalkan? Teorema: Jika A adalah matriks nxn, maka kalimat-kalimat berikut ini ekuivalen: 1. A dapat didiagonalkan 2. A mempunyai n vektor-vektor eigen yang bebas linier Bukti (1)  (2) Diberikan A Misalkan A dapat didiagonalkan, maka terdapat matriks P yang mempunyai inverse Sedemikian hingga P-1AP = D matriks diagonal Teorema: Jika A adalah matriks nxn, maka kalimat-kalimat berikut ini ekuivalen: 1. A dapat didiagonalkan 2. A mempunyai n vektor-vektor eigen yang bebas linier Bukti teorema di atas sekaligus menunjukkan prosedur bagaimana menentukan matriks yang mendiagonalkan A dan hasil diagonalisasinya. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Kapan matriks A dapat didiagonalkan? (lanjt) P-1AP = D, kalikan dengan P-1, AP = PD AP = PD, jadi Karena P mempunyai inverse, maka kolom-kolmnya bukan kolom nol. Berdasarkan deinisi nilai eigen, maka λ1, λ2, λ3, …,λn merupakan nilai-nilai eigen A, dan kolom-kolom P adalah vektor-vektor eigen A yang bebas linier (karena P mempunya inverse) Bukti untuk (2)  (1) kerjakanlah sebagai latihan untuk memperdalam pemahaman. P-1AP = A, kalikan kedua sisi dengan P-1 di depan AP = PD AP = PD, maka Ap = lambda p Karena P mempunyai inverse, maka kolom-kolmnya bukan kolom nol. Berdasarkan deinisi nilai eigen, maka λ1, λ2, λ3, …,λn merupakan nilai-nilai eigen A, dan kolom-kolom P adalah vektor-vektor eigen A yang bebas linier (karena P mempunya inverse) Bukti untuk (2)  (1) kerjakanlah sebagai latihan untuk memperdalam pemahaman. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Prosedur mendiagonalkan matriks Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D. Prosedur Tentukan n vektor eigen A yang bebas linier, misalkan p1, p2, p3, …, pn 2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah p1, p2, p3, …, pn 3. Mariks D = P-1AP adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2, λ3, …,λn dengan λj adalah nilai eigen bersesuaian dengan pj untuk j = 1, 2, 3, …, n Berdasarkan penjelasan sebelumnya, D adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah nilai-nilai eigen. P adalah matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian. Sehingga, untuk menentukan matriks yang mendiagonalkan A, yaitu P dan matriks hasil diagonalisasinya, yaitu D, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1. Tentukan n vektor eigen A yang bebas linier, misalkan p1, p2, p3, …, pn 2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah p1, p2, p3, …, pn Mariks D = P-1PA adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2, λ3, …,λn dengan λj adalah nilai eigen bersesuaian dengan pj untuk j = 1, 2, 3, …, n Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Contoh: mendiagonalkan matriks Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D. Prosedur Tentukan 2 vektor eigen A yang bebas linier. Pertama kita tentukan nilai-nilai eigennya yaitu λ1= 2 dan λ2= -1 (telah dihitung sebelumnya). Tentukan vektor eigen bersesuaian dengan nilai eigen, dengan menyelesaiakn SPL (A - λ I)x =0. Diperoleh Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen di atas. 3. Matriks D = P-1A P adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2 berturut-turut Diberikan matriks bberikut ini, marilah kita mendiagonalkan matriks A. Tentukan nilai-nilai eigen dari A, dengan menyelesaikn persamaan karakteristik. Diperoleh dua nilai eigen yaitu 2 dan 1. untuk masing-masing nilai eigen, tentukan satu vektor eigen dengan cara menyelesaiakan SPL homogen. Langkah ke dua, bentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor2 eigen yang diperoleh sebelumnya. Matriks diagonal D adalah hasil kali Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Masalah Diagonalisasi dan masalah vektor eigen Diberikan matriks Anxn, apakah terdapat basis di Rn terdiri atas vektor-vektor eigen? Masalah diagonalisasi Diberikan matriks Anxn apakah terdapat matriks yang mempunyai inverse P sedemikian hingga nP-1AP adalah matriks diagonal? Teorema: Anxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat n vektor eigen yang bebas linier. Padahal, setiap n vektor yang saling bebas linier di Rn merupakan basis Rn. Kesimpulan: masalah vektor eigen sama dengan masalah diagonalisasi Masalah vektor eigen Diberikan matriks Anxn, apakah terdapat basis di Rn terdiri atas vektor-vektor eigen? Masalah diagonalisasi Diberikan matriks Anxn apakah terdapat matriks yang mempunyai inverse P sedemikian hingganP-1AP adalah matriks diagonal? Teorema: Anxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat n vektor eigen yang bebas linier. Padahal, setiap n vektor yang saling bebas linier di Rn merupakan basis Rn. Kasimpulan: masalah vektor eigen sama dengan masalah diagonalisasi Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia