Frequency Domain

Fourier Transform Fourier transform mengubah fungsi pada spatial (time) domain menjadi fungsi pada frequency domain. Bila fungsi f(x) kontinyu dan dapat diintegralkan, maka Fourier transform dapat didefinisikan sbb: Invers dari Fourier transform adalah:

FT adalah fungsi bil. kompleks FT dari fungsi real adalah fungsi kompleks, yang biasa ditulis sebagai: Persamaan FT di atas lebih mudah ditulis sebagai: spectrum phase

Contoh Fourier Transform

Fourier Transform 2 Dimensi Konsep FT bisa dikembangkan untuk 2 dimensi (atau lebih)… spectrum phase

Contoh Fourier Transform 2D

Discrete Fourier Transform (DFT) Konsep FT bisa dikembangkan untuk fungsi-fungsi diskrit DFT penting bagi PCD karena citra adalah fungsi diskrit 2 dimensi! Kerjakan aja contoh soal DFT di buku Gonzales p.90-92! Mama aku bingung!

DFT Sifat-sifat Fourier Transform Domain Waktu Domain Frekuensi 1. Kelanjaran af(t)+bg(t) aF(u) + bG(u) 2. Penskalaan f(at) 1/|a| F(u/a) 3. Pergeseran f(t-a) F(u-a) 4. Modulasi ei2Πat f(t) F(u)e-i2Πua 5. Konyugasi f * t F * (-u) 6. Konvolusi h(t)=f(t)*g(t) H(u)=F(u)G(u)

Lanjut 7. Perkalian h(t)=f(t)g(t) H(u)=F(u)*G(u) 8. Diferensiasi dnf(t) / dtn (i2Πu)n F(u) 9. Simetri F(t) f(-u) 10. Hasil kali dalam ∫ f(t) g*(t)dt ∫ F(u) G*(u)du

Lanjut Bila f(x) yang menerus dibuat diskrit dgn mengambil N buah sampling sejarak Δx, yaitu himpunan nilai {f(x0),f(x0+ Δx),f(x0 +2Δx),…..,f(x0+(N-1)Δx)} Jadi, fx=f (x0+ Δx), x = 0.1.2.3….N-1 Pasangan Transformasi Fourier Diskrit utk fungsi 1 peubah Fu = 1/N ∑ fxe-i2Πux/N , u=0,12,3,…N-1 fx = ∑ Fuei2Πux/N , x=0,12,3,…N-1 Dengan kesamaan euler = e±ix = cos(x) ± i sin(x) Maka : Fu = 1/N ∑ [fxcos(2Πux/N)-ifxsin(2 Πux/N)] fx = ∑ [Fucos(2Πux/N)-iFusin(2 Πux/N)]

Karakteristik DFT 2 Dimensi

Yang kiri itu citranya, yang kanan adalah spectrumnya Pengaruh Ukuran Yang kiri itu citranya, yang kanan adalah spectrumnya Spatial semakin besar, frekuensi semakin kecil dan sebaliknya!

Spectrum dalam bentuk 3D

Spectrum dalam bentuk 3D

Spectrum dalam bentuk 3D

Spectrum dalam bentuk 3D

Pure Cosine Yang atas citra, yang bawah spektrum Perhatikan pengaruh frekuensi dan orientasi!

Gabungan Vertikal & Horizontal Pikirkan, apa efeknya?

Kenapa posisi tidak berpengaruh? Pergeseran Posisi Kenapa posisi tidak berpengaruh?

Kenapa spektrum jauh berbeda??? Efek Rotasi Kenapa spektrum jauh berbeda???

Sifat Periodik FT Hmm..? Hmm..? Menjelaskan kenapa efek rotasi sangat besra pengaruhnya (spektrum jadi jauh berbeda). Pada gambar kanan atas border ditrim, sehingga bila image diwrapping, efek ‘sharp border’ dikurangi (lihat hasil spektrumnya di gambar kanan bawah).

Contoh Efek Periodic Component Hmm..? Hmm..? Hmm..?

Perhatikan komponen horisontal & vertikal! Contoh Lain Perhatikan komponen horisontal & vertikal!

Gambar sebuah pellet juga akan menghasilkan spektrum yang sama! Contoh Lain Gambar sebuah pellet juga akan menghasilkan spektrum yang sama! Kenapa???

Contoh Lain No comment! Garis akan menghasilkan spektrum garis, random akan menghasilkan spektrum random

HEIII!!! Goofy! Lagi ngapain! Efek Blurring pd Citra HEIII!!! Goofy! Lagi ngapain!

Antara Spectrum dan Phase(1) citra spectrum

Antara Spectrum dan Phase(2) Fourier spectrum dan phase angle ditukar saling silang Rice spectrum camera phase Camera spectrum rice phase

Konvolusi

Convolution / Konvolusi Konvolusi adalah salah satu dasar penting bagi pengolahan citra digital (baik dalam domain frekuensi maupun domain spatial). Konvolusi dari dua fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai: Duh, kenapa muncul itungan lagi?

Contoh Konvolusi (1)

Contoh Konvolusi (2) Lihat gambar di atas: g(x-a) posisinya bergeser dari kiri ke kanan sesuai nilai x. hasil perkalian (area bukan nol) akan membentuk hasil konvolusi, yaitu grafik yang di bawah.

Konvolusi Fungsi 2 Dimensi Konsep konvolusi juga bisa diterapkan pada fungsi 2 dimensi Contoh fungsi (diskrit) dua dimensi adalah citra digital… Baca Gonzales hal. 107-108!!!

Image Enhancement dalam Domain Frekuensi

Perbaikan Citra pd Domain Frekuensi Juga menggunakan teknik konvolusi Dalam domain spatial akan berbentuk: g(m,n)=h(m,n)*f(m,n) Tapi perhitungan akan berat!!! Dalam domain frekuensi dimodelkan dengan: G(u,v) = H(u,v) F(u,v) Citra output Citra input Transfer function

Citra asli dan hasil lopass dg r0=57, 36 dan 26 Ideal Lowpass Filter Perhatikan ringing Filter fungsi transfernya : H(u,v) = 1 jika D(u,v)D0 0 jika D(u,v)>D0 Citra asli dan hasil lopass dg r0=57, 36 dan 26

Citra asli dan hasil hipass dg r0=18, 36 dan 26 Ideal Highpass Filter Perhatikan ringing Filter fungsi transfernya : H(u,v) = 0 jika D(u,v)D0 1 jika D(u,v)>D0 Citra asli dan hasil hipass dg r0=18, 36 dan 26

Butterworth Filter

Persamaan Butterworth Filter Butterworth Lowpass Filter, filter fungsi transfernya : H(u,v) = 1 --------------------- 1+[D(u,v)/D0]2n atau H(u,v) = 1 ----------------------------- 1+[2-1][D(u,v)/D0]2n Butterworth Highpass Filter, filter fungsi transfernya : H(u,v) = 1 ---------------------- 1+[D0 / D(u,v)]2n ----------------------------------- 1+[2-1][D0 / D(u,v)D0]2n