STATISTIKA NON PARAMETRIK FAKHRINA FAHMA, STP., MT Lab. Statistika & Pengendalian Kualitas FT - UNS

STATISTIKA NON PARAMETRIK Perhitungan sederhana Data tidak harus kuantitatif (bisa kualitatif, nilai skala ordinal) Asumsi tidak mengikat Jumlah contoh lebih besar

UJI TANDA Paling mudah & cepat Mengganti setiap nilai pengamatan yang melebihi o dengan tanda (+) dan yang lebih kecil o dengan tanda (-) Bila nilai pengamatan = o , harus dikeluarkan dr analisis shg ukuran contohnya berkurang. Statistik uji : peubah acak x yang menyatakan jumlah/banyaknya tanda (+) dalam contoh acak.

Ho :  = o Bila Ho benar dan populasi setangkup maka jumlah (+) = (-) Peluang suatu nilai contoh menghasilkan tanda (+) atau (-) = ½ Statistik uji x memiliki sebaran Binom dengan p = 1/2

Misal Ho :  = o H1 :  < o Tolak Ho → Bila proporsi (+) < ½ (Nilai x bagi peubah acak x itu kecil) P = P(X ≤ x bila p= 1/2) ≤ α Wilayah Kritik terbesar tidak akan melebihi  X ≤ k’ k’ adalah bilangan Bulat terbesar bersifat bahwa : k’ P(x ≤ k’ jika  = o) =  b(x ; n, ½) ≤  x=0

Contoh : misal n =15 x = 3  = 0.05 (Lihat Tabel L1) P = P (x ≤ 3 bila p=1/2) =  b(x ; 15, ½) = 0.0176 x=0 Tolak Ho pada taraf nyata 0,05 ttp tidak pd taraf nyata 0,01 Wilayah Kritis : P(x ≤ 3 jika  = o) =  b(x ; 15, ½) = 0.0176 4 P(x ≤ 4 jika  = o) =  b(x ; 15, ½) = 0.0592 Sehingga wilayah kritisnya adalah x ≤ 3

Misal Ho :  = o H1 :  > o Tolak Ho → Bila proporsi (+) > ½ (x besar) P = P(X ≥ x, bila p = 1/2) ≤ α Wilayah kritis terbesar yang berukuran tidak melebihi  x ≥ k k bilangan bulat terkecil yang bersifat n P(x ≥ k jika = o) =  b(x ; 15, ½) ≤  x=k

Misal Ho :  = o H1 :  ≠ o Tolak Ho → Bila proporsi (+) cukup jauh dr ½ (lebih besar atau lebih kecil). P = 2P(X ≤ x bila p= 1/2) ≤ α  x < n/2 P = P(X ≥ x, bila p = 1/2) ≤ α  x > n/2 Wilayah Kritik X ≤ k’/2 atau x ≥ k/2 K’ dan k → diperoleh dr tabel sebaran binom dgn p= ½ bila ukuran contoh kecil.

Bila n > 10 → Gunakan Dist. Normal Misal Ho :  = o H1 :  < o N = 20 x = 6 tanda plus dengan dist. Normal diperoleh wilayah kritis z < -1.645  = n.p = (20).(0.5) = 10  = √ n.p.q = √(20).(0.5).(0.5) = 2.236 Z = (6-10)/2.236 = -1.79 Kesimpulan : Tolak Ho

Contoh 1 : Data berikut adalah berapa lama (dlm jam) sebuah alat listrik pencukur rambut dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali : 1.5 2.2 0.9 1.3 2.0 1.6 1.8 1.5 2.0 1.2 1.7 Gunakan uji tanda untuk menguji hipotesa pada taraf nyata 0.05 bahwa alat pencukur ini secara rata-rata dapat bekerja 1.8 jam sblm diisi tenaga listrik kembali.

Jawab : Ho :  = 1.8 H1 :  ≠ 1.8  = 0.05 Wilayah kritis X ≤ k’0.025 atau x ≥ k0.025 Dari Tabel L1 diperoleh k’0.025 = 1 dan k0.025 = 9 Perhitungan : (Mengganti setiap nilai pengtn dgn tanda “+” bila > 1.8 dan “-” bila < 1.8 dan membuang yg = 1.8 - + - - + - - + - - n = 10 x =3 P = 2P(X≤3 bila p= 1/2) = 0.3438 >  Keputusan : Karena x = 3 jatuh pada wilayah penerimaan, maka terima Ho (Bahwa lamanya bekerja rata-rata tak berbeda nyata dari 1.8)

UJI PERINGKAT BERTANDA WILCOXON Memanfaatkan besar selisih Buang semua selisih = 0 Berikan peringkat di tanpa melihat tanda Peringkat 1 → untuk di dgn nilai absolut terkecil Peringkat 2 → | terkecil berikutnya | ……. dst Bila ada 2 atau lebih dgn nilai mutlak =, maka beri peringkat rata-rata. Misalnya selisih ke 5 dan ke 6 sama, maka kedua peringkat diberi peringkat 5.5

Jika Ho :  = o atau 1= 2 benar Jmlh total peringkat selisih (+) = Jmlh selisih (-) w+ = w– W → yang terkecil diantara w+ & w- Contoh : Seperti contoh 1 tetapi dgn uji peringkat bertanda Wilcoxon. Jawab : Ho :  = 1.8 dan H1:  ≠ 1.8  = 0.05 W ≤ 8 (untuk n = 10 Tabel L16)

Perhitungan : W+ = 13 w- = 42 w = 13 Keputusan : Terima Ho (Rata-rata lama alat itu bekerja sebelum harus diisi tenaga listrik kembali tidak berbeda nyata dari 1.8) ‘di -0.3 0.4 0.9 -0.5 0.2 -0.2 -0.6 -0.1 Peringkat 5.5 7 10 8 3 9 1

Bila n >15 → Dist. Normal w+ = n(n+1)/4 2w+ = n(n+1)(2n+1)/24 Z =[w+ - w+ ]/ w+

UJI JUMLAH PERINGKAT WILCOXON Membandingkan nilai tengah dua populasi bukan normal yang kontinyu Alternatif bagi uji t dua sampel Disebut juga uji dua contoh wilcoxon Misal Ho : 1 = 2 Tarik contoh acak dari masing-masing populasi N1 → ukuran contoh lebih kecil N2 → ukuran contoh lebih besar

2. Gabungkan kedua contoh dan urutkan pengamatannya dr yang terkecil s/d terbesar 3. Berikan peringkat 1, 2, …., n1+n2 pada setiap pengamatan. 4. Lambangkan Jumlah peringkat pada contoh W1 untuk contoh yang berukuran kecil W2 untuk contoh yang berukuran besar Jika w1 telah dihitung

Ho : 1= 2 ditolak, & terima H1 : 1<2 Bila sampel berukuran n1 dan n2 diambil berulang-ulang  w1 dan w2 bervariasi  peubah acak W1 dan W2 Jika w1 kecil & w2 besar Jika w1 besar & w2 kecil bila w1 kecil dan w2 besar atau bila w1 besar dan w2 kecil. Ho : 1= 2 ditolak, & terima H1 : 1<2 Ho : 1= 2 ditolak, & terima H1 : 1>2 Ho : 1= 2 ditolak, & terima H1 : 1≠2

Dengan kata lain, H1 : 1 < 2 diterima bila w1 cukup kecil, H1 : 1 > 2 diterima bila w2 cukup kecil, H1 : 1 ≠ 2 diterima bila minimum w1 dan w2 cukup kecil  Dasar Keputusan : Tabel L.17

Contoh : Kadar nikotin dua merek rokok A dan B, dalam miligram, adalah sebagai berikut Ujilah hipotesis, pada taraf nyata 0.05, bahwa rata-rata kadar nikotin kedua merek rokok itu sama lawan alternatifnya bahwa kadar nikotin keduanya tidak sama.

Jawab :  mengikuti keenam langkah dgn n1 = 8 dan n2 = 10. 1. H0 : 1 = 2 2. H1 : 1 ≠ 2 3. α = 0.05. 4. Wilayah kritik: u ≤ 17 (dan Tabel L.17). 5. Perhitungan: Susun pengamatannya dan yang terkecil sampai yang terbesar dan berikan peringkat dan 1 sampai 18

Sampel Merk A (sampel kecil)  digaris bawahi sehingga u = 23 6. Keputusan: Terima H0 dan simpulkan bahwa tidak ada beda kadar nikoti rata-rata untuk kedua rokok tersebut.

Bila n1 dan n2 bertambah besar, sebaran penarikan contoh bagi U (atau U menghampiri sebaran normal dengan nilaitengah wilayah kritiknya jatuh di salah satu atau kedua ujung sebaran normal baku, bergantung pada bentuk H1

UJI Kruskal-Wallis disebut juga uji H Kruskal-Wallis, merupakan generalisasi uji dua-contoh Wilcoxon untuk k > 2 rataan populasi menguji hipotesis nol H bahwa k sampel bebas itu berasal dan populasi yang sama. Misalkan ni (i = 1, 2 k) adalah ukuran contoh ke-i. Pertama-tama gabungkan semua contoh susunlah n = n1+ n2 + ... + nk pengamatan itu dan yang terkecil sampai yang terbesar, kemudian tentukan peringkatnya masing-masing

Bila h jatuh dalam wilayah kritik H > χ2α dengan v = k - 1 derajat bebas, maka H0 ditolak pada taraf nyata α Bila h jatuh di luar wilayah kritik, terimalah H  

Contoh : Dalam percobaan untuk menentukan sistem peluru kendali mana yang lebih baik, dilakukan pengukuran pada laju pembakaran bahan bakarnya. Datanya, setelah dikodekan, diberikan dalam Tabel 13.3. Gunakan uji Kruskal Wallis dan taraf nyata = 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem tersebut.

Jawab : 1. H0 : 1 = 2 = 3 2. H1 : Ketiga rataan tidak semua sama 3. α = 0.05. 4. Wil. kritik: h > χ2α= 5,991 (v = 2) 5. Perhitungan: Tabel 13.4  ubah menjadi peringkat dan menjumlahkan semua peringkat untuk masing-masing sistem. n1= 5, n2 = 6, n3 = 8, r1= 61.0, r2 = 63.5, dan r = 65.5 6. Kesimp : Terima Ho

Uji Runtunan Asumsi statistik : datanya diperoleh melalui suatu proses pengacakan. Uji runtunan didasarkan pada urutan bagaimana data pengamatan itu diperoleh merupakan suatu teknik yang bermanfaat bagi pengujian H0 bahwa pengamatan telah diambil secara acak. Ilustrasi : misalkan 12 responden ditanyai apakah Ia menggunakan produk tertentu.

Jika 12 orang itu ternyata berjenis-kelamin sama  sangat meragukan keacakannya. Misalkan : barisan hasil percobaan L L P P P L P P L L L L Rentetan lambang yg sama yg telah dikelompokkan disebut runtunan. DEFINISI Runtunan adalah suatu barisan bagian yang terdiri atas satu atau lebih lambang yang sama yang menyatakan sifat tertentu data tersebut.

Tidak peduli apakah pengamatan kita kuantitatif atau kualitatif, uji runtunan membagi data itu menjadi dua penggolongan yang tidak berpotongan: laki-laki atau perempuan; cacat atau tak cacat; gambar atau angka; di atas atau di bawah median; dan lain sebagainya. Dengan demikian, barisan hasil percobaannya hanya terdiri atas dua lambang. Misalkan bahwa n1 adalah banyaknya lambang yang lebih sedikit, dan n2 adalah banyaknya lambang yang lebih banyak, maka ukuran sampel= n1 + n2

Bila banyaknya runtunan lebih besar atau lebih kecil daripada yang kita harapkan terjadi menurut faktor kebetulan, hipotesis bahwa contohnya bersifat acak harus kita tolak. Misal : hasil hanya dua runtunan, L L L L L L L PP P P P  sangat kecil kemungkinannya dihasilkan dari suatu proses pengambilan yang acak. Urutan di atas menunjukkan bahwa tujuh orang pertama yang diwawancarai adalah laki-laki dan dilanjutkan dengan lima perempuan.

Uji runtunan  untuk memeriksa keacakan didasarkan pada peubah acak V, yaitu banyaknya runtunan total dalam hasil percobaan atau sampel. Dalam Tabel L.18 nilai-nilai P(V ≤ v* bila H0 benar) diberikan untuk v* = 2, 3, … 20 runtunan, dan nilai-nilai n1 dan n2 ≤ 10. Contoh : 5P dan 7L. Jadi n1=5, n2 = 7, v=5 Maka P = 2P(V≥5 bila H0 benar ) = 0,392 > 0,05  terima H0 pada taraf 0,05 bahwa sampel acak.

Contoh : Sebuah mesin diatur sehingga secara otomatis mengeluarkan minyak pengencer cat ke dalam sebuah kaleng. Dapatkah kita mengatakan bahwa banyaknya pengencer yang dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak bila isi 15 kaleng berikut, berturut-turut, adalah 3.6, 3.9, 4.1, 3.6, 3.8, 3.7, 3.4, 4.0, 3.8, 4.1, 3.9, 4.0, 3.8, 4.2, dan 4.1 liter? Gunakan taraf nyata 0.1.

Jawab : 1. H0 : urutan itu acak 2. H1 urutan itu tidak acak. 3. α = 0.1. 4. Uji Statistik : v, jumlah seluruh runtunan 5. Perhitungan: median data sampel x = 3.9. Dengan mengganti setiap pengamatan dengan tanda “+“ bila lebih besar dan 3.9, dan tanda “—“ bila lebih kecil dan 3.9, dan membuang pengamatan yang sama dengan 3.9, maka kita memperoleh banisan : - + - ---++++-++

Diperoleh n1=6, n2 = 7 dan v=6, dari Tabel L18  P = 2P(V≤ 6 bila Ho benar) = 0,592 > 0,1 Keputusan : Terima Ho bahwa urutan pengukuran berubah secara acak.