Analisa Data Statistik Chap 8: Sampling Distribution Agoes Soehianie, Ph.D

Daftar Isi Random Sampling, Populasi dan Sampel Mean dan Variansi Sampel Grafik Tampilan Data Distribusi Sampel Kesimpulan (Inferences) Tentang Mean Populasi

Random Sampling Suatu proses untuk mengambil sampel secara acak dari populasi. Secara teknis letak kerumitannya adalah pada proses untuk menjamin ke-random-an, terutama bilamana sampel berasal dari populasi yg berunsur manusia. Ada beberapa teknik sampling yg dikenal: 1. Probabilistik sampling Setiap anggota populasi memiliki kesempatan yg sama untuk terpilih. Variasinya: Simple Random Sampling, Sistematik Random Sampling, Stratified Random Sampling, Multistage Area Random Sampling. 2. Non Probabilistik Sampling Bilamana kesempatan anggota populasi terpilih tidak sama Variasinya: Quota Sampling, Booster Sampling, Judgement Sampling, Convenience Sampling, Snow-Ball sampling etc Proses analisa statistik hanya berlaku untuk probabilistik sampling

Populasi dan Sampel Keseluruhan obyek atau kejadian yg menjadi sasaran observasi disebut populasi. Contoh: penduduk Indonesia, mahasiswa ITB, sekrup diameter 5mm produksi pabrik X, pengguna HP di Bandung, Penderita AIDS di Indonesia, umur batuan, tekanan udara di Bandung, curah hujan di Jawa Barat, dll Macam populasi : Diskrit vs Kontinu Finite vs Infinite Setiap observasi di populasi adalah NILAI dari variabel random X yg memiliki distribusi probabilitas tertentu f(x). Pada banyak kasus sulit/mahal/tidak mungkin untuk melakukan observasi untuk seluruh anggota populasi, sehingga diperlukan sampel. Sampel : himpunan bagian dari populasi.

Statistik Pada Statistik Inferential ingin diambil kesimpulan tentang parameter-parameter populasi (mean, variansi) dari studi terhadap parameter-parameter sampel. Statitik adalah sebuah fungsi berdasarkan pada variabel random yg dihitung dari sampel. Contoh : mean dan variansi serta STD Mean sampel Jika X1, ..,Xn adalah nilai variabel random dari sampel berukuran n maka mean dari sampel didefinisikan sbg: dengan maka

Statistik Variansi sampel Jika X1, ..,Xn adalah nilai variabel random dari sampel berukuran n maka mean dari sampel didefinisikan sbg: Contoh. Harga 1kg kopi di empat toko adalah 12,15,17 dan 20. Hitunglah rata-rata sampel dan variansinya. Jawab   X (X-X) (X-X)^2 1 12 -4 16 2 15 -1 3 17 4 20 Sum 64 34 average 11.33333

Statistik Variansi sampel (alternative) Jika X1, ..,Xn adalah nilai variabel random dari sampel berukuran n maka variansi dari sampel didefinisikan sbg: atau Contoh Hitung ulang variansi contoh sebelumnya dengan rumus ini.   X X^2 1 12 144 2 15 225 3 17 289 4 20 400 Sum 64 1058

Statistik Standard Deviasi sampel Standard Deviasi sampel S adalah akar positif dari variansi! Soal Berikut ini adalah IP mahasiswa angkatan 200X dari Prodi Fisika : 3.2 1.9 2.7 2.4 2.8 2.9 3.8 3.0 2.5 3.3 Hitunglah Mean dan variansi sampel Standard deviasi sampel

Ukuran Sebaran (Dispersi)- Quartile Quartile adalah data yg membawa seluruh sampel menjadi 4 bagian sama besar. Dikenal 3 quartile: Quartile bawah atau Quartile pertama Q1 Misal Q1 adalah Quartile bawah berarti 25% data ≤ Q1 Quartile tengah atau Quartile kedua Q2 = Median Misal Q2 adalah Median berarti 55% data ≤ Q2 Quartile atas atau Quartile ketiga Q3 Misal Q3 adalah Quartile atas berarti 75% data ≤ Q4 Inter Quartile Range (IQR) = Q3-Q1 Cara menentukan Quartile Q1: Urutkan data Xk dari nilai terendah hingga tertinggi Hitung nomor urut data untuk Q1, yaitu k=n/4 Jika k bilangan bulat maka Q1 = (Xk+Xk+1)/2 Jika k tidak bulat, definisikan k’ adalah bilangan bulat terdekat di atas k, maka Q1 = Xk’

Ukuran Sebaran (Dispersi)- Quartile Cara menentukan Quartile Q2: Urutkan data Xk dari nilai terendah hingga tertinggi Hitung nomor urut data untuk Q2, yaitu k=n/2 Jika k bilangan bulat maka Q2 = (Xk+Xk+1)/2 Jika k tidak bulat, definisikan k’ adalah bilangan bulat terdekat di atas k, maka Q2 = Xk’ Cara menentukan Quartile Q3: Hitung nomor urut data untuk Q3, yaitu k=3n/4 Jika k bilangan bulat maka Q3 = (Xk+Xk+1)/2 Jika k tidak bulat, definisikan k’ adalah bilangan bulat terdekat di atas k, maka Q3 = Xk’

Quartile - Contoh Contoh. Misalkan data nilai Fisika 16 anak adalah sbb: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 34 45 51 56 60 61 64 70 71 73 76 82 83 90 99 n=16 Q1: k=n/4 = 16/4 =4, maka Q1 = (X4+X5)/2 = (51+56)/2 = 53.5 Q2: k=n/2 = 16/2 =8, maka Q2 = (X8+X9)/2 = (64+70)/2 = 67 Q3: k=3n/4 = 3*16/4 =12, maka Q3 = (X12+X13)/2 = (76+82)/2 = 79 IQR = Q3-Q1 = 79-53.5 = 25.5

Outliers Outliers adalah data yg berbeda jauh dari data kebanyakan atau jauh dari mean atau median. Ada beberapa kebiasaan dalam menentukan outliers misalkan: data di luar x ±3S di anggap outliers data X > Q3 +1.5 IQR atau X < Q1 - 1.5 IQR dianggap outliers Titik ekstrem X disebut titik extrem jika > Q3 + 3 IQR, atau X disebut titik extrem jika < Q1 -d 3 IQR

Persentile Pα Jika C adalah persentile ke α (Pα) , artinya sebanyak α data ≤ C. Jadi P0.5 = Median, P0.25=Q1 dan P0.75 =Q3. Cara mencari Pα dari n buah data Urutkan data Hitung k = αn Jika k bulat maka Pα = (Xk+Xk+1)/2 Jika k tak bulat, definisikan k’ bilangan bulat terdekat diatas k, maka Pα=Xk’

Box-Whisker Plot - Contoh Example Berikut ini adalah kadar Nikotin dalam 40 sampel rokok yg dipelajari. Quartile k = 40/4 = 10 Q1 = (X10+X11)/2=1.485 k = 40/2 = 20 Q2 = (X20+X21)/2=1.86 k = 3*40/4 = 30 Q3 = (X30+X31)/2=2.14 IQR = Q3-Q1 =0.655 P0.025 =(X1+X2)/2=0.765 P0.975 = (X39+X40)/2=2.69 No Nikotin 1 0.68 11 1.49 21 1.92 31 2.16 2 0.85 12 1.5 22 32 2.18 3 0.9 13 23 1.97 33 2.22 4 1.14 14 1.52 24 1.98 34 2.24 5 1.15 15 1.56 25 1.99 35 2.32 6 1.2 16 1.64 26 36 2.35 7 1.23 17 1.67 27 2.01 37 2.5 8 1.28 18 1.79 28 2.08 38 2.62 9 1.38 19 1.82 29 2.09 39 2.68 10 1.48 20 1.84 30 2.12 40 2.7 0.765 1.485 1.86 2.14 2.69

Box-Whisker Plot - Perbandingan

Quantile Plot Quantile dari sampel dinyatakan oleh q(f) adalah batas nilai q yang menyatakan sebanyak fraksi f dari data bernilai kurang dari atau sama dengan q. Jadi: q(0.25)= Q1 q(0.5) = Q2=median q(0.75) = Q3 dst Quantile Plot memplot nilai data di sumbu tegak thd nilai quantile-nya

Quantile Plot - Example Data untuk Quantile plot. Berikut ini data dari 30 sampel @5 data tentang ketebalan cat. Sampel   Sample 1 29 36 39 34 16 35 30 37 2 28 32 31 17 40 38 3 18 33 4 41 19 5 20 6 21 7 22 8 23 9 24 10 25 11 26 12 27 13 14 15

Quantile Plot - Example Untuk membuat Quantile Plot. Urutkan 1-150 data tsb Buat frequency kumulatif dari data tsb Plot Kumulatif freq vs data tsb Tabel disamping menunjukkan sebagian Bagian awal distribusi kumulatif. Freq Kum Data 0.006667 28 0.013333 0.02 0.026667 0.033333 29 0.04 0.046667 0.053333 0.06 0.066667 0.073333 0.08 0.086667

Quantile Plot Q1 Q2 Q3

Deteksi Penyimpangan dari Normal Normal Quantile-Quantile Plot Quantile plot dipakai untuk membandingkan distribusi sebuah sampel dengan distribusi teoretik. Normal quantile-quantile plot adalah plot dari data terurut yi dengan standard normal quantile q(fi), yg didefinisikan: q(fi) = 4.91[ f0.14 – (1-f)0.14] Dengan fi adalah dimana i adalah nomor urut data:   fi i (i-3/8)/(n+1/4) q Data 1 0.00416 -2.6281 28 2 0.010815 -2.2973 3 0.017471 -2.11174 4 0.024126 -1.97829 5 0.030782 -1.87247 29 6 0.037438 -1.78396 7 0.044093 -1.70739 8 0.050749 -1.63958 9 0.057404 -1.57849 10 0.06406 -1.52272 11 0.070715 -1.4713 12 0.077371 -1.42347

Normal Q-Q Plot

Menarik Kesimpulan Ttg Populasi Dari Sampel Ketika sebuah sampel random diambil dari populasi dengan rata-rata populasi μ, maka rata-rata yg diperoleh dari sampel akan berfluktuasi di sekitar rata-rata populasi. Statistik inferensial berusaha untuk mengambil kesimpulan tentang parameter-parameter populasi berdasarkan informasi yg diperoleh dari sampel. Distribusi Sampling Yg dimaksud distribusi sampling adalah distribusi probabilitas dari sebuah statistik. Jadi distribusi probabilitas dari rata-rata sampel dinamakan distribusi sampling dari rata-rata sampel

Distribusi Sampling dari Rata-Rata Dari populasi terdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ2 diambil sampel random berukuran n. Misal diperoleh rata-rata sampel tsb Bilamana diambil sampel berkali-kali masing-masing berukuran n, akan diperoleh distribusi rata-rata sampel: Rata-rata sampel ini akan terdistribusi normal juga dengan rata-rata = μ: yaitu rata-rata populasi dan variansi distribusi rata-rata sampelnya:

Contoh Bolam lampu yg diproduksi sebuah pabrik terdistribusi normal dengan rata-rata umur 800 jam dan standard deviasi 40 jam. Carilah probabilitasnya bahwa sampel random 16 bolam akan memiliki rata-rata umur lampu kurang dari 775 jam. Jawab. Distribusi rata-rata sampel akan terdistribusi normal dengan rata-rata dan standard deviasi Untuk Sehingga probabilitas P(x<775) = P(z<-2.5) = 0.0062 (tabel)

Teori Limit Pusat Jika x adalah rata-rata dari sebuah sampel random berukuran n yg ditarik dari populasi dengan rata-rata μ dan variansi σ2, maka bentuk limit dari distribusi variabel dengan n ∞ adalah distribusi normal standard n(z;0,1) Ini berarti tanpa harus mengetahui bagaimanakah bentuk distribusi dari populasi, distribusi rata-rata sampelnya akan mendekati bentuk distribusi normal! Jika populasinya mengikuti distribusi normal, tak peduli ukuran sampel distribusi rata-rata sampel akan mengikuti distribusi normal. Tetapi jika distribusi populasinya tidak normal maka distribusi rata-rata sampel akan bagus mendekati normal jika n≥30 pada umumnya

Ilustrasi: Teori Limit Pusat (Normalitas) n besar (hampir normal) Distribusi rata-rata sampel n=1 n kecil ke moderate rata-rata sampel

Aplikasi : Taksiran Rata-Rata Populasi Jika xs adalah rata-rata dari sebuah sampel random berukuran n yg ditarik dari populasi dengan rata-rata μ dan variansi σ2, maka bentuk limit dari distribusi variabel dengan n ∞ adalah distribusi normal standard n(z;0,1) Ini berarti tanpa harus mengetahui bagaimanakah bentuk distribusi dari populasi, distribusi rata-rata sampelnya akan mendekati bentuk distribusi normal! Jika populasinya mengikuti distribusi normal, tak peduli ukuran sampel distribusi rata-rata sampel akan mengikuti distribusi normal. Tetapi jika distribusi populasinya tidak normal maka distribusi rata-rata sampel akan bagus mendekati normal jika n≥30 pada umumnya

Taksiran Rata-Rata Populasi Contoh. Sebuah pabrik sparepart mobil, yg berupa silinder harus memproduksi silindernya dengan diameter rata-rata 5.0mm. Dalam sebuah studi 100 silinder yg diproduksi dipilih secara random. Ternyata didapati rata-rata diameter sampelnya xs = 5.027mm. Diketahui bahwa standard deviasi populasi untuk diameter adalah 0.1mm. Apakah hasil dari sampel tsb mendukung statement bahwa rata-rata diameter di populasi 5.0mm? Jawab. Pertanyaan ini akan dijawab dg jalan pemikiran demikian, jika benar rata-rata populasi μ=5 berapakah probabilitasnya untuk mendapatkan rata-rata sampel yg berukuran 100 buah lebih dari atau sama dengan 5.027? P(xs≥5.027) =? Zs = (Xs-μ)/(σ/√n) = (5.027-5)/(0.1/ √100) = 0.027/0.01=2.7 P(xs≥5.027) = P(Zs ≥ 2.7) =1- P(Z<2.7)= 0.0035 (dari tabel normal) Jadi probabilitasnya menemukan rata-rata sampel ≥ 5.027 hanya 0.35%. Berarti hasil studi thd sampel sangat tidak mendukung konjecture bahwa rata-rata populasi 5.0. Menurut Anda kemungkinan rata-rata populasi lebih kecil atau lebih besar dari 5.0?

Distribusi Sampling Selisih Dua Buah Rata-rata Dalam membandingkan dua buah populasi maka yg dipelajari adalah selisih rata-rata dua buah populasi tsb μ1 – μ2. Populasi 2 Populasi 1 μ2, σ2 μ1, σ1 Xs2 , S2, n2 Xs1 , S1, n1

Distribusi Sampling Selisih Dua Buah Rata-rata Distribusi rata-rata sampel xs1 akan hampir normal dengan rata-rata μ1 dan variansi σ1x2 =σ12/n1 Distribusi rata-rata sampel xs2 akan hampir normal dengan rata-rata μ2 dan variansi σ2x2 =σ22/n2 Maka distribusi variabel selisih rata-rata sampel xs1-xs2 akan terdistribusi hampir normal juga dengan rata-rata: μx1-x2 = μ1 – μ2 dan variansi: σ2x1-x2 = σ1x2 + σ2x2 = σ12/n1 + σ22/n2 Sehingga variabel standard Z: Akan terdistribusi normal standard

Contoh Waktu pengeringan dua buah jenis cat disurvei. Cat jenis A diambil sampel acak 18 buah, demikian juga cat B juga diambil 18 sampel. Asumsi yg dipercaya adalah rata-rata populasi waktu pengeringan kedua jenis cat tsb adalah sama. Diketahui standard deviasi waktu pengeringannya sama yaitu 1 jam. Berapakah probabilitas mendapati bahwa waktu pengeringan sampel A akan lebih lama dari 1 jam dibandingkan sampel B dalam kasus ini? Jawab: Populasi: μA = μB σA = σB = 1 Sampel: nA = nB = 18 P(xsA-xsB > 1)? Batasnya xsA-xsB =1, nilai Z yg terkait: P(xsA-xsB > 1)= P(Z>3.0)=1-P(Z<3.0)=1-0.9987=0.0013

Soal Waktu hidup tabung televisi Merk A 6.5tahun, dengan standard deviasi 0.9 tahun. Sedangkan Merk B umur rata-ratanya 6.0 tahun dan standard deviasi 0.8 tahun. Berapakah probabilitasnya sampel random sebanyak 36 tabung merk A akan memiliki rata-rata umur tabung paling tidak 1 tahun lebih lama dibandingkan umur tabung yg dihitung dari sampel random merk B sebanyak 49 buah?

Distribusi Sampling Variansi S2 Bilamana ingin dipelajari variasi dari data maka fokus studi adalah pada distribusi variansi sampel S2 untuk mendapatkan kesimpulan tentang variansi populasi σ2. Sampel random berukuran n diambil dari populasi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ2. Diperolah bahwa variansi sampel S2. Maka statistik : Akan memiliki distribusi chi-squared dengan derajat kebebasan ν=n-1.

Distribusi Chi-Squared Ditabelkan nilai variabel χ2 yang terkait dengan luas (α) ekor kanan dari distribusi chi-squared untuk berbagai derajat kebebasan. χ2 χα2 α

Tabel Distribusi Chi-Squared Tabel nilai kritikal χ2α yang terkait dengan luas (α) ekor kanan dari distribusi chi-squared untuk berbagai derajat kebebasan (v)

Contoh. Pabrik aki menggaransi bahwa aki-nya tahan rata-rata 3 tahun dengan standard deviasi 1 tahun. Misalkan bahwa umur aki mengikuti distribusi normal. Diambil sampel acak 5 buah aki, dan ternyata umurnya 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 dan 4.2 tahun. Periksalah apakah klaim pabrik bahwa standard deviasinya 1 tahun valid? Jawab. Pertama hitung variansi sampel: Pabrik aki menggaransi bahwa aki-nya tahan rata-rata 3 tahun dengan standard deviasi 1 tahun. Misalkan bahwa umur aki mengikuti distribusi normal. Diambil sampel acak 5 buah aki, dan ternyata umurnya 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 dan 4.2 tahun. Periksalah apakah klaim pabrik bahwa standard deviasinya 1 tahun valid? Jawab. Pertama hitung variansi sampel: X X2 1.9 3.61 2.4 5.76 3 9 3.5 12.25 4.2 17.64 SUM 15 48.26 Sum^2 225   S2= (nSxx- Sx^2)/(n*n-1) 0.815

Contoh. Dari tabel kita melihat bahwa jika derajat kebebasan v=4, maka 95% dari nilai-nilai χ2 akan berada diantara : χ2 χ0..9752 2.5% χ0..0252 95% Dari tabel χ20.025 (v=4) = 11.143 Dari tabel χ20.975 (v=4) = 0.484 Dengan σ2=1 dan v=4 ternyata terdapat probabilitas 95% bahwa S2 akan terletak antara 0.484 dan 11.143. Ternyata perhitungan menghasilkan sampel kita memiliki nilai χ2=3.26, Jadi sampel mendukung klaim bahwa variansi populasi =1.

Sampel Kecil: Student’s t Distribution Pada banyak kasus sering dijumpai tidak tersedia informasi tentang varia,nsi populasi, sehingga dipergunakan variansi yg berasal dari sampel sebagai pengganti S. Bilamana sampel berukuran besar (n≥30) maka penggantian σ dengan S cukup baik dan kita bisa mempergunakan variabel normal Z spt biasa dalam perhitungan: Jikalau sampel kecil (n<30) maka S2 akan berfluktuasi cukup besar dari sampel ke sampel sehingga perlu statistik yg lebih baik. Jika sampel kecil akan tetapi berasal dari distribusi normal, maka statistik T berikut ini:

Sampel Kecil: Student’s t Distribution Variabel T tsb akan mengikuti distribusi probabilitas yg disebut Distribusi Student T (Student adalah nama samaran dari penemu distribusi ini yg bernama Gosset), dengan derajat kebebasan v=n-1. Distribusi ini bentuknya serupa sekali dengan distribusi normal: rata-rata=0 dan bentuknya simetrik. Akan tetapi untuk sampel kecil maka ekor distribusinya lebih tinggi dibandingkan distribusi normal, jadi bentuknya ditentukan oleh derajat kebebasan. t ν=∞ ν=2

Tabel Student’s t Distribution Tabel distribusi student diberikan untuk nilai kritis t yg terkait dengan luas ekor kanan dari distribusi t, untuk berbagai nilai derajat kebebasan yg berbeda.

Contoh. Seorang peneliti menyatakan rata-rata hasil panen setelah diberi pupuk adalah 500 gram per mm pupuk yg diberikan. Dia kemudian mengambil sampel 25 batch panen, dan memutuskan dia akan puas dengan klaimnya jikalau ternyata nilai t dari sampel terletak antara –t0.05 s/d t0.05. Peneliti tsb mengasumsikan bahwa bobot hasil panen mengikuti distribusi normal. Ternyata sampelnya memiliki rata-rata 518 gram dengan standard deviasi sampel 40. Apakah dia akan puas dengan klaimnya? Jawab. Ini adalah persoalan distribusi student t. Ukuran sampel n=25, sehingga derajat kebebasan ν=n-1=25-1=24. Dari tabel diketahui bahwa untuk v=24, maka t0.05 = 1.711, sedangkan hasil sampelnya memberikan

Kegunaan Distribusi Student t Distribusi student t biasanya digunakan dalam: Kesimpulan ttg rata-rata populasi Perbandingan antara dua buah rata-rata sampel dll

Distribusi F Salah satu perbandingan yg dilakukan dalam statistik adalah perbandingan variabilitas atau variansi dari dua buah sampel. Statistik yg dipergunakan dalam membandingkan variansi 2 buah sampel dinamakan distribusi F. Jika S12 dan S22 adalah variansi dari 2 buah sampel random yg tak saling bergantung (independen) dengan ukuran n1 dan n2 yg diambil dari populasi normal dengan variansi σ12 dan σ22, maka statistik F: Mengikuti distribusi F dengan derajat kebebasan v1=n1-1 dan v2=n2-1. Distribusi F bersifat asimetrik . bentuknya bergantung pada derajat kebebasannya

Perbandingan Variansi: Distribution F α f ν=(10,30) ν=(6,10) Jika fα (v1,v2) menyatakan nilai kritis f dengan luas ekor kanan α untuk derajat kekebasan v1,v2, maka: (perhatikan urutan v1 dan v2)

Tabel Distribusi F Karena ada dua derajat kebebasan yg menentukan bentuk Distribusi F maka, tabel distribusi lebih terbatas, hanya ditabelkan nilai kritis F untuk beberapa nilai luas ekor kanan yg populer dipakai (misalnya α=5%)

Kegunaan Distribusi F Nanti distribusi F akan dipakai untuk memeriksa kesamaan rata-rata dari beberapa grup sampel yg diambil secara independen. Ada dua faktor yg akan menentukan apakah perbedaan rata-rata sampel memang nyata atau tidak yaitu: Variasi di dalam sampel (within) Variasi antar sampel (between) X1 X2 X3 X