Matematika Komputasi Logic Inference + Predicate Quantifier

Intro Sebagai landasan untuk pembuktian dalam matematika Pembuktian matematika terdiri dari argumen yang valid yang menyatakan kebenaran dari pernyataan matematika Argumen berisi beberapa penyataan yang dapat menghasilkan kesimpulan. Dikatakan valid, apabila dari pernyataan-pernyataan yang ada (permis) harus menuju ke sebuah kesimpulan.

Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19

Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19 Single Statement

Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19 Single Statement

Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19 Multiple Statement

Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19 Premis Conclusion

Argument Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19

h1 h2 h1 Λ h2 Λ ... Λ hn → c ... Tautology hn ∴ c Argument is Valid

h1 : Jika Kasino anak gaul penggemar Dewa-19 maka ia penggemar Dewa-19 h2 : Kasino adalah anak gaul ∴ Kasino adalah penggemar Dewa-19 h1: p → h2: p

h1: p → h2: p h1 : Jika Kasino anak gaul penggemar Dewa-19 maka ia penggemar Dewa-19 h2 : Kasino adalah anak gaul ∴ Kasino adalah penggemar Dewa-19 h1: p → h2: p

h1: p → q c: q h2: p h1 : Jika Kasino anak gaul penggemar Dewa-19 maka ia penggemar Dewa-19 h2 : Kasino adalah anak gaul ∴ Kasino adalah penggemar Dewa-19 h1: p → q c: q h2: p

h1: p h2: p → q c: q h1 Λ h2 → c (p → q) Λ p → q

p q pq (pq) ʌ p (pq) ʌ pq 1

Contoh: p → q p ∴ q Contoh 1: Jika Anda punya password, anda bisa login ke network Anda mempunyai password Jadi Anda bisa login ke network Contoh 2: Jika Anda punya akses ke e-learning, Anda bisa submit tugas Anda punya akses ke e-learning Anda bisa submit tugas p → q p ∴ q

RULE OF INFERENCE

Modus Ponen Law of Detachment p → q p VALID ∴ q

Contoh: Contoh 1: Jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bil. genap ∴ 20 adalah bilangan genap Contoh 2: If it snows today, we will go skiing It snows today ∴ We will go skiing

Modus Tollen p → q ¬q ∴ ¬p

Contoh: Contoh 1: Jika n bilangan ganjil, maka n2 bernilai ganjil n2 bernilai genap; keduanya benar ∴ n bukan bilangan ganjil Contoh 2:

Silogisme Silogisme Hipotesis p → q q → r ∴ p → r

Contoh: Jika saya belajar dengan giat maka saya lulus ujian Jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah ∴ jika saya belajar dengan giat, maka saya cepat menikah

Silogisme Disjungtif p V q ¬q ∴ p

Contoh: Saya belajar dengan giat atau saya menikah th. depan Saya tidak belajar dengan giat ∴ Saya menikah tahun depan

Simplifikasi Penyederhanaan Konjungtif p Λ q p Λ q ∴ p ∴ q

Contoh: Hamid adalah mahasiswa UB dan mahasiswa Unmuh Hamid adalah mahasiswa UB Hamid adalah mahasiswa Unmuh

Konjungsi p q ∴ p Λ q

Contoh: Kasino mengambil matakuliah diskrit Kasino mengulang matakuliah algoritma ∴ Kasino mengambil matakuliah diskrit dan mengulang matakuliah algoritma

Addition p ∴ p V q

Contoh: Kasino mengulang matakuliah algoritma ∴ Kasino mengambil matakuliah diskrit atau mengulang matakuliah algoritma

Dilema Konstruktif (p→q)Λ(r→s) pVr ∴ qVs

Dilema Destruktif (p→q)Λ(r→s) ¬qV¬s ∴ ¬pV¬r

Contoh Tunjukkan bahwa: It is no sunny this afternoon and it is colder than yesterday We will go swimming only if it is sunny If we do not go swimming, then we will take a canoe trip If we take a canoe trip, then we will be home by sunset Akan menghasilkan kesimpulan: We will be home by sunset

p: it is sunny this afternoon q: it is colder than yesterday r: we will go swimming s: we will take a canoe trip t: we will be home by sunset Dengan pernyataan yang ada kita dapat dengan mudah membentuk: ¬p ^ q, rp, ¬rs, st dan menghasilkan kesimpulan t Tapi kita harus memberikan argumen yang valid seperti berikut:

Step Alasan ¬p ^ q ¬p rp ¬r ¬rs s st t Premise Simplifikasi (1) Modus tollen (2) dan (3) Modus ponen (4) dan (5) Modus ponen (6) dan (7)

r Latihan 1 p ʌ q (p v q) => r Buktikan apakah argumen berikut valid apa tidak! p ʌ q (p v q) => r r

Latihan 2 Diketahui beberapa kondisi: fakta yang diketahui: p = kacamataku ada di dapur q = aku melihat kacamataku ketika sarapan r = aku membaca koran di ruang tamu s = aku membaca koran di dapur t = kaca mata ku letakkan di meja tamu u = aku membaca buku di ranjang w = kacamataku kuletakkan di meja samping ranjang fakta yang diketahui: p=>q r v s r=>t ~q u=>w s=>p Tentukan letak kacamata itu sekarang !!

Any Questions??

Predicate & Quantifier

Kalimat terbuka Terdiri dari satu atau banyak variable Bukan kalimat, tetapi akan menjadi kalimat jika variable-nya diganti dengan nilai tertentu Contoh: x + 2 merupakan bilangan bulat genap

Kuantor ( Quantifier ) Suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan.

Predikat & Kuantifier Pernyataan “x > 3” punya 2 bagian, yakni “x” sebagai subjek dan “ adalah lebih besar 3” sebagai predikat P. Kita dpt simbolkan pernyataan “x > 3” dengan P(x). Sehingga kita dapat mengevaluasi nilai kebenaran dari P(4) dan P(1). Subyek dari suatu pernyataan dapat berjumlah lebih dari satu. Misalkan Q(x,y): x - 2y > x + y

Kuantifikasi Universal “P(x) benar untuk semua nilai x dalam domain pembicaraan” x P(x). Soal 2. Tentukan nilai kebenaran x (x2  x) jika: x bilangan real x bilangan bulat Untuk menunjukkan x P(x) salah, cukup dengan mencari satu nilai x dalam domain shg P(x) salah. Nilai x tersebut dikatakan contoh penyangkal (counter example) dari pernyataan x P(x).

Contoh : Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5 Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: x, x + 3 > 5 ( bernilai salah )

Kuantifikasi Eksistensi “Ada nilai x dalam domain pembicaraan sehingga P(x) bernilai benar” x P(x). Contoh : Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5 Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: x, x + 3 > 5 ( bernilai benar ) Soal 3. Tentukan nilai kebenaran dari x P(x) bila P(x) menyatakan “x2 > 12” dan domain pembicaraan meliputi semua bilangan bulat positif tidak lebih dari 4.

Negasi “Setiap mhs dalam kelas ini telah mengambil Kalkulus I” [x P(x)] Apakah negasi dari pernyataan ini….? “Ada seorang mhs dalam kelas ini yang belum mengambil Kalkulus I” [ x  P(x)] Jadi,  x P(x)  x  P(x).

Negasi (2) Soal 4. Carilah negasi dari pernyataan berikut: “Ada politikus yang jujur” “Semua orang Indonesia makan pecel lele” Soal 5. Tentukan negasi dari: x(x2 > x) x (x2 = 2)

Kuantifier Bersusun (Nested Quantifier) x y (x+y = y+x) berarti x+y = y+x berlaku untuk semua bilangan real x dan y. x y (x+y = 0) berarti untuk setiap x ada nilai y sehingga x+y = 0. x y z (x+(y+z) = (x+y)+z) berarti untuk setiap x, y dan z berlaku hukum asosiatif x+(y+z) = (x+y)+z.

Soal-soal Soal 6. Artikan kalimat ini dalam bhs Indonesia: x (C(x)  y ( C(y)  F(x,y))), bila C(x) : “x mempunyai komputer”, F(x,y): “x dan y berteman”, dan domainnya adalah semua mhs di kampus. Soal 7. Bagaimana dengan berikut ini: x y z((F(x,y)  F(x,z)  (y  z)  F(y,z)) Soal 8. Nyatakan negasi dari pernyataan x y (xy=1).

Tugas 1 (take home) Buat Rangkuman tentang Predicate Quantifier Maks 5 lembar Soft copy Dikerjakan individu Sertakan referensi Dikumpulkan di ketua kelas. Setelah terkumpul dikirim ke: fitra.bachtiar@ub.ac.id Deadline hari minggu jam 23.00

Tugas 2 (Tugas Kelas) Buatlah soal dan jawaban lain yang mengacu pada slide 30-35 Kerjakan Latihan 2.

Terimakasih Enrollkey: