Lecture #3 LOGIKA PROPOSISI MATEMATIKA DISKRIT TKE 072107 Lecture #3 LOGIKA PROPOSISI Ari Fadli, S.T. Program Studi Teknik Elektro, UNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN

Outline Terminologi Dasar Logika Proposisi Contoh Logika Proposisi Jenis Proposisi Jenis Kata Penghubung Tabel Kebenaran

Terminologi Dasar Logika Proposisi

Terminologi Dasar Logika Proposisi Definisi Proposisi Setiap pernyataan yang hanya memiliki satu nilai benar atau salah. Disimbolkan menggunakan huruf Pernyataan yang memiliki makna/arti Disebut juga sebagai kalimat deklaratif Bukan merupakan kalimat perintah atau tanya Definisi Logika Proposisi Logika yang menangani, memproses atau memanipulasi penarikan kesimpulan secara logis dari proposisi Pernyataan = suatu kalimat yang memiliki arti Ditulis dengan huruf besar/kecil A,B,c,d Nilai pernyataan tersebut bisa bernilai benar atau salah

Terminologi Dasar Logika Proposisi (Cont …) Contoh Proposisi : 2 + 2 = 4 Bilangan bulat yang membagi habis 23 adalah 1 dan 23. Bukan Proposisi : A + B  5 Silahkan ambil makanan ini Dimana rumah budi ? Kapan Budi bermain bola ?

Terminologi Dasar Logika Proposisi (Cont …) Variable Proposisi A = Bilangan bulat yang membagi habis 23 adalah 1 dan 23. A atau lainnya yang menggantikan atau mewakili proposisi disebut sebagai variable proposisi Konstanta Proposisi True/False/T/F kemudian disebut sebagai konstanta proporsisional

Latihan Proposisi atau bukan ? Dewi belajar Budi adalah seorang mahasiswa yang pandai pada matakuliah Matematika Diskrit Angka 13 adalah angka sial Tati, cepat kerjakan tugasmu ! Tari, apakah anda sudah menyelesaikan final report

Latihan (Cont …) Pernyataan ke-3 menimbulkan perdebatan karena tidak setiap orang setuju ada juga yang tidak perduli, atau tidak juga memiliki arti (bukan proposisi) Pernyataan ke-1 dan 2 (merupakan proposisi) Pernyataan ke-4 dan ke-5 (bukan proposisi karena merupakan kalimat perintah dan kalimat tanya)

Latihan (Cont …) Pernyataan Jawaban “Gajah lebih besar daripada kucing” Jawaban Ini suatu perrnyataan ?  Ini suatu proposisi ?  Apa nilai kebenarannya ? benar

Latihan (Cont …) Proposisi atau bukan ? 1. “1089 < 101” 2. “y > 16” 3. “Bulan ini Februari” 4. “Jangan Tidur dikelas” 5. “Jika gajah berwarna hijau mereka dapat berlindung dibawah pohon bambu” 6. “x < y jika dan hanya jika y > x”

Latihan (Cont …) Ini pernyataan ? ya Ini proposisi ? ya “1089 < 101” Ini pernyataan ? ya Ini proposisi ? ya Apa nilai kebenaran dari proposisi ini ? salah

Latihan (Cont …) Ini pernyataan ? ya Ini proposisi ? bukan Nilai kebenarannya bergantung pada nilai y, tapi nilai ini tidak spesifik. Kita katakan tipe pernyataan ini adalah fungsi proposisi atau kalimat terbuka.

Latihan (Cont …) Ini pernyataan ? ya Ini proposisi ? ya “Bulan ini februari” Ini pernyataan ? ya Ini proposisi ? ya Apa nilai kebenaran dari proposisi ini ? salah

“Jangan tidur di kelas” Latihan (Cont …) “Jangan tidur di kelas” Ini pernyataan ? bukan Ini proposisi ? bukan Hanya pernyataan yang dapat menjadi proposisi.

Latihan (Cont …) Ini pernyataan ? Ya Ini proposisi ? Ya “Jika gajah berwarna merah, mereka dapat berlindung di bawah pohon bambu” Ini pernyataan ? Ya Ini proposisi ? Ya Apa nilai kebenaran proposisi tersebut ? probably false

“x < y jika dan hanya jika y > x” Latihan (Cont …) “x < y jika dan hanya jika y > x” Ini pernyataan ? Ya Ini proposisi ? Ya … sebab nilai kebenarannya tidak bergantung pada nilai x dan y. Apa nilai kebenaran dari proposisi tsb ? true

Macam Logika Proposisi Proposisi tunggal (atomic) Proposi yang hanya berisi satu variable atau satu konstanta proporsisional Proropisi majemuk (compound) Penggabungan proposisi atomik menggunakan kata penghubung (connectives) Contoh : Setiap mahasiswa teknik elektro pandai Bono kaya raya dan memiliki banyak harta

Kata Penghubung Logika Macam Tidak/Not/Negasi Simbol  Dan/And/Konjungsi Simbol  Atau/Or/Disjungsi Simbol  Implikasi Simbol  Bi-Implikasi Simbol  Exclusive OR (XOR) Simbol   Tidak Dan Simbol | Tidak Atau Simbol 

Kata Penghubung Logika (Cont..) Hirarki Penghubung : Hirarki ke - Simbol Nama 1  Negasi tidak …. 2  Konjungsi …. dan …. 3  Disjungsi (XOR) .... atau …. 4  Implikasi / Conditional .... jika …. Maka 5  Ekuivalensi / Bi Implikasi / Bi Conditional .... bila dan hanya bila ….

Tabel Kebenaran Definisi Merupakan satu tabel yang menunjukan secara sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi- proposisi yang sederhana.

Tabel Kebenaran (Cont ..) Tabel Kebenaran Negasi Contoh: p = Budi seorang mahasiswa p = Budi bukan seorang mahasiswa p 1

dan jika lainnya pasti salah Tabel Kebenaran (Cont ..) Tabel Kebenaran Konjungsi p q p  q 1 P : Harimau adalah binatang buas q : Malang adalah ibukota Jawa Timur p  q : Harimau adalah binatang buas dan Malang adalah ibukota Jawa Timur Definisi : p  q akan benar jika dan hanya jika keduanya bernilai benar dan jika lainnya pasti salah

dan jika lainnya pasti salah Tabel Kebenaran (Cont ..) Tabel Kebenaran Disjungsi p q p v q 1 p : Bono seorang mahasiswa q : Wira seorang sarjana teknik p v q : Bono seorang mahasiswa atau Wira seorang sarjana teknik Definisi : p  q akan benar jika dan Salah satu diantaranya adalah benar dan jika lainnya pasti salah

antecendent  consequent hipotesis  kesimpulan Tabel Kebenaran (Cont ..) Tabel Kebenaran Implikasi p : Bono seorang mahasiswa q : Wira seorang sarjana teknik p  q : jika Bono seorang mahasiswa maka Wira seorang sarjana teknik p q p  q 1 antecendent  consequent hipotesis  kesimpulan Definisi : p  q akan salah jikanilai p bernilai benar dan nilai q bernilai salah dan jika lainnya pasti benar

Tabel Kebenaran (Cont ..) Cara Penyebutan Implikasi if p then q whenever p then q p is sufficient for q p only if q p implies q

Tabel Kebenaran q if p q whenever p q is neccesarry for p Cara Penyebutan Implikasi q if p q whenever p q is neccesarry for p q is implied by p

Tabel Kebenaran Syarat Implikasi adalah perlu dan Cukup, perhatikan contoh berikut ini : Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi. Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa. Perlu = necessary; Cukup = sufficient Contoh: Jika Bono seorang mahasiswa maka Wira seorang sarjana teknik Kondisi perlu : Wira seorang sarjana teknik Kondisi cukup : Bono seorang mahasiswa

Tabel Kebenaran (Cont ..) Tabel Kebenaran Bi Implikasi p q p  p 1 Definisi : Proposisi yang bernilai benar Jika p bernilai benar dan q bernilai benar Jika p bernilai salah dan q bernilai salah Dan lainnya pasti salah

P  q dapat pula disebut sebagai not or Tabel Kebenaran (Cont ..) Tabel Kebenaran Tidak Atau p q p  q 1 P  q dapat pula disebut sebagai not or Dan akan bernilai benar jika p bernilai salah dan q bernilai salah, dan jika lainnya pasti salah

p | q dapat pula disebut sebagai not and Tabel Kebenaran (Cont ..) Tabel Kebenaran Tidak Dan p q p | q 1 p | q dapat pula disebut sebagai not and Akan bernilai salah jika p bernilai benar dan q bernilai benar dan jika lainnya pasti benar

Logika Proposisi Contoh Penerapan : p  q p : motor itu bannya kurang angin q : motor itu kehabisan bahan bakar Motor itu bannya kurang angin dan kehabisan bahan bakar dapat disimbolkan dengan p  q

Logika Proposisi Tabel Kebenaran : p q  p p  q p  q p  q p  q T F

Latihan Misalkan kondisinya seperti ini : A = Budi sakit flu B = Budi test SPMB C = Budi lulus Buatlah pernyataan dan tabel kebenarannya berikut ini : A   B 3. (A  B)  C B   C 4. (A  B)  C

Latihan (Cont..) A = Budi sakit flu B = Budi test SPMB C = Budi lulus Jika Budi sakit flu maka budi tidak test SPMB Oleh karena budi sakit flu maka budi tidak test SPMB Budi tidak test SPMB jika Budi sakit flu Budi tidak test SPMB oleh karena budi sakit flu A B A  B 1

Latihan (Cont..) B   C A = Budi sakit flu B = Budi test SPMB C = Budi lulus B   C Jika Budi test SMPB maka budi tidak test lulus B C B  C 1

Latihan (Cont..) (A  B)  C (A  B)  C A = Budi sakit flu B = Budi test SPMB C = Budi lulus (A  B)  C (A  B)  C A B C A  B (A  B ) C 1 A B C A  B (A  B ) C 1

Ekuivalensi Proposisi Tautologi, proposisi yg memuat nilai true untuk variabel hasilnya. p v p Kontradiksi, proposisi yg memuat nilai false untuk variabel hasilnya. p   p Kontingensi, proposisi yg memuat campuran dari true dan false utk kolom hasilnya.  p  q

Ekuivalensi Proposisi (Cont ..) Tautologi (Disimbolkan oleh) = Excluded Middle Law p v p p p v  p T F

Ekuivalensi Proposisi (Cont ..) Contoh Kontradiksi p   p p p   p T F

Ekuivalensi Proposisi (Cont ..) Contoh Kontingensi  p  q p q  p  q T F

Ekuivalensi Proposisi (Cont ..) Konversi q  p disebut konversi dari p  q Inversi dari p  q adalah  p   q Kontraposisi q  p disebut kontrapositif dari p  q