0. PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT Kuliah 1 0. PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul http://zitompul.wordpress.com

Buku Text dan Silabus Buku teks: Silabus: Kenneth H. Rosen, “Discrete Mathematics and Its Applications”, 6th Edition, McGraw-Hill International Edition, 2007. Silabus: Logika Himpunan Relasi dan Fungsi Induksi Matematik Teori Bilangan dan Kombinatorial Graf dan Pohon

Penentuan Nilai Final Grade = 5% Homework + 30% Quizzes + 30% Midterm Exam + 40% Final Exam + Extra Points Homeworks will be given in fairly regular basis. The average of homework grades contributes 5% of final grade. Homeworks must be written on A4 papers. Homeworks must be submitted on time. If you submit late, < 10 min.  No penalty 10 – 60 min.  –40 points > 60 min.  –60 points There will be 3 quizzes along the semester. The average of the best 2 will be counted. The quizes contribute 30% of final grade. Midterm and final exam schedule will be announced in time. Make up of quizzes and exams will be held one week after the schedule of the respective quizzes and exams.

Jadwal dan Metode Kuliah The lectures will be held every Monday, 17:30 – 18:30 : Class 18:30 – 19:00 : Break 19:00 – 20:15 : Class Lectures will be held in the form of PowerPoint presentations. You are expected to write a note along the lectures to record your own conclusions or materials which are not covered by the lecture slides.

Metode Kuliah New lecture slides will be available on internet. Please check the course homepage regularly. The course homepage is : http://zitompul.wordpress.com You are responsible to read and understand the lecture slides. If there is any problem, you may ask me. Quizzes, midterm exam, and final exam will be open-book. Be sure to have your own copy of lecture slides. Extra points will be given if you solve a problem in front of the class. You will earn 1, 2, or 3 points.

Apakah “Matematika Diskrit” Itu? Matematika Diskrit adalah cabang matematika yang mengkaji obyek-obyek diskrit. Apakah yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)? Sesuatu disebut diskrit bila: Terdiri dari sejumlah berhingga elemen (anggota) yang berbeda; atau Elemen-elemennya tidak bersambungan (unconnected) Contoh: Himpunan mahasiswi IR 2009 Himpunan bilangan bulat (integer)

Apakah “Matematika Diskrit” Itu? Lawan kata diskrit adalah kontinu atau menerus (continuous). All engineers take mathematics through Calculus and differential equations, but IE is different in that it is based on “discrete variable” math, whereas all other engineering is based on “continuous variable” math. The emphasis on discrete mathematics along with linear algebra and difference equation distinguishes Industrial Engineering from other engineering disciplines.

Apakah “Matematika Diskrit” Itu? In IE discipline, Discrete Mathematics can find applications on production systems such as: Sequencing orders Scheduling batches Determining the number of materials handling units Arranging factory layouts Finding sequences of motions etc. Matematika Diskrit adalah matematika dengan aplikasi khas untuk bidang informatika (IT).

Apakah “Matematika Diskrit” Itu? Contoh-contoh persoalan Matematika Diskrit: Berapa banyak kemungkinan jumlah password yang dapat dibuat dari 8 karakter? Bagaimana cara nomor ISBN sebuah buku divalidasi? Berapa banyak kombinasi string biner dengan panjang 8 bit yang mempunyai bit 1 berjumlah ganjil? Bagaimana menentukan lintasan terpendek dari suatu kota A ke kota B? Buktikan bahwa biaya perangko senilai Rp.n (n  8) dapat dibayar dengan menggunakan hanya perangko dengan nominal Rp.3 dan Rp.5 saja! Diberikan dua buah algoritma untuk menyelesaikan sebuah persoalan, algoritma mana yang terbaik?

Apakah “Matematika Diskrit” Itu? Contoh-contoh persoalan Matematika Diskrit: Bagaimana rangkaian logika untuk membuat peraga digital yang disusun oleh 7 buah batang (bar)? Ingat bentuk seven segments. Dapatkah kita melalui semua jalan di sebuah kompleks perumahan tepat hanya satu kali dan kembali lagi ke tempat semula? “Makanan murah tidak enak.” “Makanan enak tidak murah.” Apakah kedua pernyataan tersebut menyatakan hal yang sama?

Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul Kuliah 1 1. LOGIKA (LOGIC) Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul http://zitompul.wordpress.com

Logika dan Proposisi Logika: Proposisi: Logika merupakan dasar dari penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan-hubungan yang terdapat pada proposisi atau pernyataan (statements). Proposisi: Kalimat deklaratif yang dapat bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak kedua-duanya. Nama lain dari proposisi adalah kalimat terbuka.

Proposisi Contoh: (Proposisi) 13 adalah bilangan ganjil. Ir. Soekarno adalah seorang alumnus UGM. 1 + 1 = 2. 8  akar kuadrat 8 + 8. Ada monyet di bulan. Hari ini adalah hari Rabu. Untuk sembarang bilangan bulat n  0, akan didapatkan 2n sebagai bilangan genap. x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil.

Proposisi Contoh: (Bukan Proposisi) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Stasiun Gambir? Kerjakan kuis tanpa bekerjasama! x = 3 + 8. x > 5. Kesimpulan: Proposisi adalah kalimat berita. Kesimpulan: Apabila tersusun dari persamaan matematika, maka persamaan tersebut harus memiliki jawaban sehingga dapat dinilai kebenarannya.

Proposisi Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, … Contoh: p : 13 adalah bilangan ganjil. q : Ir. Soekarno adalah alumnus UGM. r : 2 + 2 = 4.

Mengkombinasikan Proposisi Bila p dan q adalah proposisi, maka: Ingkaran (negation) dari p : tidak p, p Konjungsi (conjunction) : p dan q, p  q Disjungsi (disjunction) : p atau q, p  q p dan q disebut proposisi atomik (atomic proposition). Kombinasi p dan q menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition).

Mengkombinasikan Proposisi Contoh: Diketahui preposisi-preposisi berikut p : Hari ini hujan. q : Mahasiswa diliburkan dari kuliah. p  q : Hari ini hujan dan mahasiswa diliburkan dari kuliah. p  q : Hari ini hujan atau mahasiswa diliburkan dari kuliah. p : Tidak benar hari ini hujan. (atau: Hari ini tidak hujan)

Mengkombinasikan Proposisi Contoh: Diketahui preposisi-preposisi berikut p : Pemuda itu tinggi. q : Pemuda itu tampan. Nyatakanlah kombinasi-kombinasi proposisi berikut ini dalam bentuk simbolik (notasi). Pemuda itu tinggi dan tampan. Pemuda itu tinggi tetapi tidak tampan. Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan. p  q p  q p  q (p  q) p(p  q) (p  q)

Tabel Kebenaran Contoh: T F F Ingkaran Konjungsi Disjungsi p : 17 adalah bilangan prima. q : Bilangan prima selalu ganjil. p  q : 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil. T F F

Operator Proposisi di Google

Operator Proposisi di Google

Proposisi Majemuk Contoh: Bentuklah tabel kebenaran dari proposisi (p  q)  (q  r).

Tautologi dan Kontradiksi Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus. Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus. Contoh: p  (p  q) adalah sebuah tautologi

Tautologi dan Kontradiksi Contoh: (p  q)  (p  q) adalah sebuah kontradiksi

Ekivalensi Proposisi Majemuk Dua buah proposisi majemuk P(p,q,…) dan Q(p,q,…) disebut ekivalen secara logika (logically equivalent) jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang identik. Notasi: P(p,q,…)  Q(p,q,…) Contoh: Hukum De Morgan (p  q)  p  q

Hukum-Hukum Logika

Hukum-Hukum Logika

Ekivalensi Logika Contoh: Tunjukkan bahwa p  ~(p  q) dan p  ~q adalah ekivalen secara logika. p  ~(p  q )  p  (~p  ~q) (Hukum De Morgan)  (p  ~p)  (p  ~q) (Hukum Distributif)  T  (p  ~q) (Hukum Negasi)  p  ~q (Hukum Identitas)

Ekivalensi Logika Contoh: Buktikan kebenaran Hukum Penyerapan (Absorption Law) p  (p  q)  p p  (p  q)  (p  F)  (p  q) (Hukum Identitas)  p  (F  q) (Hukum Distributif)  p  F (Hukum Dominasi)  p (Hukum Identitas)

Disjungsi Eksklusif Kata “atau” (or) dalam operasi logika dapat digunakan dalam dua cara: Inclusive or “atau” dalam artian “p atau q atau keduanya” Contoh: “Tenaga IT yang dibutuhkan menguasai C++ atau Java”. Exclusive or “atau” dalam artian “p atau q tetapi bukan keduanya” Contoh: “Ia dihukum 5 tahun atau denda 10 juta”.

Disjungsi Eksklusif Operator logika untuk disjungsi eksklusif adalah xor, dengan notasi 

Proposisi Bersyarat Proposisi bersyarat disebut juga proposisi kondisional atau implikasi Bentuk proposisi: “jika p, maka q” Notasi: p  q Proposisi p disebut hipotesis, antesenden, premis, atau kondisi Proposisi q disebut konklusi atau konsekuensi

Proposisi Bersyarat Contoh: Tabel kebenaran implikasi: Jika saya lulus ujian, maka saya mendapat hadiah dari ayah dan ibu. Jika temperatur mencapai 80 C, maka alarm akan berbunyi. Jika Anda belum mendaftar ulang, maka nama Anda tidak tercantum pada daftar hadir. Tabel kebenaran implikasi:

Proposisi Bersyarat Penjelasan: Dosen: “Jika nilai UAS Anda 80 atau lebih, maka Anda akan mendapat nilai A untuk kuliah ini.” Kasus 1: Nilai UAS Anda di atas 80 (hipotesis benar) dan Anda mendapat nilai A untuk kuliah tersebut (konklusi benar).  Dosen berkata benar. TRUE Kasus 2: Nilai UAS Anda di atas 80 (hipotesis benar) tetapi Anda tidak mendapat nilai A (konklusi salah).  Dosen berkata bohong. FALSE Kasus 3: Nilai UAS Anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan Anda mendapat nilai A (konklusi benar).  Dosen tidak dapat dikatakan salah/bohong. Mungkin ia melihat TRUE kemampuan dan usaha Anda bagus sehingga tidak ragu memberi A. Kasus 4: Nilai UAS Anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan Anda tidak mendapat nilai A (konklusi salah).

Proposisi Bersyarat Berbagai cara membaca implikasi p  q: Jika p, maka q. Jika p, q. p mengakibatkan q. q jika p. p hanya jika q. p syarat cukup untuk q. Hipotesis menyatakan syarat cukup (sufficient condition). q syarat perlu untuk p. Konklusi menyatakan syarat perlu (necessary condition). q bilamana p.

Proposisi Bersyarat Contoh: Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi dalam berbagai bentuk Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur. Jika pijakan pedal gas diperkuat, mobil melaju kencang. Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik. Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan. Ahmad bisa mengambil matakuliah Basis Data hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok. Syarat perlu bagi Indonesia agar menang Piala Dunia adalah dengan mengontrak pelatih asing kenamaan. !! Ubahlah ke dalam bentuk preposisi “jika p maka q”

Proposisi Bersyarat Contoh: Tunjukkan bahwa p  q ekivalen secara logika dengan ~p  q. “Jika p, maka q”  “Tidak p atau q” Contoh: Tentukan ingkaran (negasi) dari p  q. ~(p  q)  ~(~p  q)  ~(~p)  ~q  p  ~q

Implikasi dalam Bahasa Pemrograman if C then S C : ekspresi logika yang menyatakan syarat/kondisi S : satu atau lebih pernyataan S dieksekusi jika C benar S tidak dieksekusi jika C salah Struktur if-then pada bahasa pemrograman berbeda dengan implikasi if-then yang digunakan dalam logika. Pernyataan if-then dalam bahasa pemrograman bukan proposisi karena tidak ada korespondensi antara pernyataan tersebut dengan operator implikasi (). Interpreter atau compiler tidak melakukan penilaian kebenaran pernyataan if-then secara logika. Interpreter hanya memeriksa kebenaran kondisi C, jika C benar maka S dieksekusi, sebaliknya jika C salah maka S tidak dieksekusi.

Implikasi dalam Bahasa Pemrograman Contoh: Misalkan dalam bahasa pemrograman Pascal dituliskan if x > y then y:=x+10. Tentukanlah nilai y sesudah eksekusi if-then bila x = 2, y = 1 x = 3, y = 5 x = 2 dan y = 1 Ekspresi x > y bernilai benar Pernyataan y:=x+10 dilaksanakan Nilai y sekarang menjadi y = 2 + 10 = 12. x = 3 dan y = 5 Ekspresi x > y bernilai salah Pernyataan y:=x+10 tidak dilakukan Nilai y tetap seperti sebelumnya, yaitu 5.

Pekerjaan Rumah (PR 1) Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan semboyan dagang untuk menarik pembeli. Pedagang pertama mengumbar semboyan “Barang bagus tidak murah”, sedangkan pedagang kedua mempunyai semboyan “Barang murah tidak bagus”. Selidiki apakah kedua semboyan pedagang tersebut menyatakan hal yang sama atau tidak?

Pekerjaan Rumah (PR 1) New Selidikilah apakah kedua pernyataan ini menyatakan hal yang sama atau tidak: S1: Kondisi fisik prima merupakan syarat perlu untuk menjadi seorang tentara. S2: Apabila tidak memiliki kondisi fisik prima, maka seseorang tidak akan bisa menjadi seorang tentara.