Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul Kuliah 10 6. GRAF Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul http://zitompul.wordpress.com

Pekerjaan Rumah (PR9) Graf G Graf G adalah sebuah graf seperti ditunjukkan pada gambar dibawah ini. (a) Tuliskan semua lintasan yang mungkin dari A ke C. (b) Tuliskan semua sirkuit yang ada. (c) Tuliskan minimal 4 himpunan potong (cut-set) yang ada. (d) Gambarkan subgraf G1 = { B,C,X,Y }. (e) Gambarkan komplemen dari subgraf G1. Graf G

Solusi Pekerjaan Rumah (PR9) (a) Semua lintasan yang mungkin dari A ke C. (A,X,Y,C) dan (A,X,B,Y,C) (b) Semua sirkuit yang ada. (B,X,Y,B) (c) Minimal 4 himpunan potong (cut-set) yang ada. { (A,Z) }, { (A,X) }, { (C,Y) }, { (A,Z),(A,X) }, { (B,X),(B,Y) }, { (B,X),(X,Y) } Graf G

Solusi Pekerjaan Rumah (PR9) (d) Subgraf G1 = { B,C,X,Y }. (e) Komplemen subgraf G1. Graf G

Graf Khusus Graf Bipartit (Bipartite Graph) V1 V2 Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2 disebut graf bipartit. Graf bipartit dinyatakan dengan G(V1,V2). V1 V2

Graf Khusus Apakah graf berikut ini merupakan graf bipartit? Ya, karena simpul-simpulnya dapat dibagi menjadi V1 = { a,b,d } dan V2 = { c,e,f,g }.

Graf Isomorfik Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yang saling isomorfik. Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-ke-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduanya, sedemikian sehingga hubungan kebersisian tetap terjaga. Dengan kata lain, misalkan sisi e bersisian dengan simpul u dan v pada G1, maka sisi e’ yang berkorespondensi harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ pada G2. Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, hanya penamaan simpul dan sisinya saja yang berbeda.

Graf Isomorfik Graf (a) isomorfik dengan graf (b) Graf (a) tidak isomorfik dengan graf(c)

2 graf yang saling isomorfik 3 graf yang saling isomorfik Graf Isomorfik 2 graf yang saling isomorfik 3 graf yang saling isomorfik

Graf Isomorfik Dari definisi graf isomorfik dapat dikemukakan bahwa dua buah graf isomorfik memenuhi ketiga syarat berikut: 1. Mempunyai jumlah simpul yang sama. 2. Mempunyai jumlah sisi yang sama. 3. Mempunyai jumlah simpul dengan derajat tertentu yang sama. Namun, ketiga syarat ini hanya merupakan syarat perlu, tidak merupakan syarat cukup. Pemeriksaan secara visual perlu dilakukan.

Graf Planar (Planar Graph) Graf yang dapat digambar pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling bertindihan disebut graf planar. Jika tidak, maka graf tersebut adalah graf tak-planar. Graf planar, sisi yang bertindihan dapat diatur menjadi tidak bertindihan

Graf Planar (Planar Graph) Contoh graf tak-planar

Graf Bidang (Plane Graph) Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling bertindihan disebut graf bidang. Graf (a), (b), (c) adalah graf planar Graf (b), (c) adalah graf bidang

Lintasan dan Sirkuit Euler Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali. Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali. Graf yang mempunyai lintasan Euler disebut juga graf semi-Euler (semi-Eulerian graph). Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut juga graf Euler (Eulerian graph).

Lintasan dan Sirkuit Euler Contoh: Lintasan Euler pada graf (a): 3, 1, 2, 3, 4, 1. Lintasan Euler pada graf (b): 1, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5, 1, 3, 5. Sirkuit Euler pada graf (c): 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1. Graf (a) dan (b) adalah graf semi-Euler. Graf (c) adalah graf Euler.

Lintasan dan Sirkuit Euler Contoh: Sirkuit Euler pada graf (d): a, c, f, e, c, b, d, e, a, d, f, b, a. Graf (e) tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit Euler. Graf (f) mempunyai lintasan Euler. Graf (d) adalah graf Euler. Graf (e) bukan graf semi-Euler atau graf Euler. Graf (f) adalah graf semi-Euler.

Lintasan dan Sirkuit Euler Teorema: Graf tak-berarah G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika terhubung dan memiliki dua buah simpul berderajat ganjil atau tidak ada simpul berderajat ganjil sama sekali. Teorema: Graf tak-berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika terhubung dan setiap simpul berderajat genap. Dengan kata lain: Graf tak-berarah G adalah graf Euler jika dan hanya jika setiap simpul berderajat genap.

Lintasan dan Sirkuit Euler Teorema: Graf berarah G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simpul, yang pertama memiliki derajat-keluar satu lebih banyak dari derajat-masuk, dan yang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih banyak dari derajat-keluar. Teorema: Graf berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar yang sama.

Lintasan dan Sirkuit Euler Contoh: (a) Graf berarah Euler: a, g, c, b, g, e, d, f, a. (b) Graf berarah semi-Euler: d, a, b, d, c, b. (c) Graf berarah bukan Euler maupun semi-Euler.

Lintasan dan Sirkuit Euler Contoh: Mungkinkah melukis graf di bawah ini dengan sebuah pensil, dimulai dari sebuah simpul dan tidak menggambar ulang sebuah garispun? Solusi: Mungkin. Semua simpul pada graf tak-berarah diatas berderajat genap, sehingga dapat dibuat sirkuit Euler.

Jembatan Königsberg (1736) Bisakah orang melalui setiap jembatan tepat satu kali dan kembali lagi ke tempat semula? Solusi: Tidak bisa. Derajat d(A) = 5, d(B) = 3, d(C) = 3, d(D) = 3  4 derajat ganjil. Tidak dapat dibuat sebuah sirkuit Euler.

Lintasan dan Sirkuit Hamilton Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali. Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali. Graf yang memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton. Graf yang memiliki sirkuit Hamilton disebut graf Hamilton.

Lintasan dan Sirkuit Hamilton Contoh: Graf (a) memiliki lintasan Hamilton: misal 3, 2, 1, 4. Graf (b) memiliki sirkuit Hamilton: 1, 2, 3, 4, 1. Graf (c) tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton.

Lintasan dan Sirkuit Hamilton Contoh: Temukan sirkuit Hamilton dari graf berikut ini.

Lintasan dan Sirkuit Hamilton Teorema: Syarat cukup bagi suatu graf G dengan n  3 buah simpul untuk menjadi sebuah graf Hamilton ialah bila derajat tiap simpul v di G paling sedikit n/2, atau d(v)  n/2.

Lintasan dan Sirkuit Sebuah graf dapat mempunyai sirkuit / lintasan Euler dan sekaligus mempunyai sirkuit / lintasan Hamilton. Sebuah graf dapat pula hanya mempunyai sirkuit / lintasan Euler atau sirkuit / lintasan Hamilton. Graf (a) mempunyai lintasan Euler saja. Graf (b) mempunyai lintasan Euler dan sirkuit Hamilton. Graf (c) mempunyai sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton.

Beberapa Aplikasi Graf Persoalan pedagang keliling (Travelling salesman problem). Persoalan tukang pos Cina (Chinese postman problem). Pewarnaan graf (Graph coloring).

Travelling Salesman Problem (TSP) Diberikan sejumlah kota dan diketahui jarak antar kota. Tentukan sirkuit terpendek yang harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal keberangkatan. Merupakan persoalan menentukan sirkuit Hamilton yang memiliki bobot minimum.

Aplikasi TSP Pak Pos mengambil surat di bis surat yang tersebar pada n buah lokasi di berbagai sudut kota. Lengan robot mengencangkan n buah mur pada beberapa buah peralatan mesin dalam sebuah jalur perakitan. Produksi dengan n produk berbeda dalam sebuah siklus.

Aplikasi TSP Contoh: Solusi: Tentukan sirkuit Hamilton terpendek dari graf berikut ini Solusi: Terdapat 3 sirkuit Hamilton pada graf di atas

Aplikasi TSP P1 = (a, b, c, d, a) atau (a, d, c, b, a) Bobot = 12 + 8 + 15 + 10 = 45 P2 = (a, b, d, c, a) atau (a, c, d, b, a) Bobot = 12 + 9 + 15 + 5 = 41 P3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) Bobot = 5 + 8 + 9 + 10 = 32 Sirkuit Hamilton terpendek: P3

Chinese Postman Problem Dikemukakan oleh Mei Gan pada tahun 1962. Persoalan: Seorang tukang pos akan mengantar surat ke alamat-alamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya supaya ia melewati setiap jalan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan? Merupakan persoalan menentukan sirkuit Euler di dalam graf.

Chinese Postman Problem Jika graf dari persoalan adalah graf Euler, maka sirkuit Eulernya mudah ditemukan. Jika graf dari persoalan bukan graf Euler, maka beberapa sisi di dalam graf harus dilalui lebih dari satu kali. Jadi, Pak Pos harus menemukan sirkuit yang mengunjungi setiap jalan paling sedikit satu kali dan mempunyai jarak terpendek. Persoalan tukang pos Cina menjadi: Seorang tukang pos akan mengantar surat ke alamat-alamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya agar: Rute tersebut mempunyai jarak terpendek. Tukang pos melewati setiap jalan paling sedikit satu kali. Tukang pos kembali ke tempat awal keberangkatan.

Chinese Postman Problem Contoh: Tentukan lintasan terbaik yang dapat dipilih oleh tukang pos agar dia dapat melintasi tiap sisi dari graf berikut ini minimal satu kali Solusi: Lintasan yang dilalui tukang pos: A, B, C, D, E, F, C, E, B, F, A Bobot = 2 + 8 + 1 + 2 + 5 + 4 + 4 + 8 + 3 + 6 = 43.

Graph Coloring Pewarnaan simpul: Memberi warna pada simpul-simpul graf sedemikian sehingga dua simpul bertetangga mempunyai warna berbeda.

Graph Coloring Bilangan kromatik: jumlah minimum warna yang dibutuhkan untuk mewarnai peta. Simbol: (G), dibaca “chi g”. Suatu graf G yang mempunyai bilangan kromatik k dilambangkan dengan (G) = k. Graf di bawah ini memiliki (G) = 3.

Aplikasi Graph Coloring Pewarnaan peta Peta terdiri atas sejumlah wilayah. Peta diwarnai sedemikian sehingga dua wilayah yang bertetangga mempunyai warna berbeda.

Aplikasi Graph Coloring Wilayah dinyatakan sebagai simpul, dan batas antar dua wilayah bertetangga dinyatakan sebagai sisi. Mewarnai wilayah pada peta berarti mewarnai simpul pada graf yang bersangkutan. Setiap wilayah bertetangga harus mempunyai warna berbeda  warna setiap simpul yang bertetangga harus berbeda.

Aplikasi Graph Coloring Peta Peta dan representasi graf Representasi graf Pewarnaan simpul 4 warna untuk mewarnai 8 simpul

Aplikasi Graph Coloring Pengaturan jadwal Misalkan terdapat delapan orang mahasiswa IT 2009 (1, 2, …, 8) dan lima buah mata kuliah yang dapat dipilih (A, B, C, D, E). Tabel berikut memperlihatkan matriks lima mata kuliah dan delapan orang mahasiswa. Nilai 1 pada suatu sel (i, j) berarti mahasiswa i memilih mata kuliah j. Nilai 0 menyatakan mahasiswa i tidak memilih mata kuliah j.

Aplikasi Graph Coloring Persoalan: Berapa paling sedikit jumlah hari yang dibutuhkan untuk menjadwal ujian sedemikian sehingga setiap mahasiswa dapat mengikuti ujian dari semua mata kuliah yang diambilnya tanpa bertabrakan waktunya? Penyelesaian: simpul  mata kuliah sisi  menyatakan bahwa ada mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah (sisi menghubungkan kedua simpul)

Aplikasi Graph Coloring Graf persoalan jadwal ujian Hasil pewarnaan graf Bilangan kromatik pada graf adalah 2. Ujian mata kuliah A, E, dan D dapat dilaksanakan bersamaan di suatu hari. Sedangkan ujian mata kuliah B dan C dilakukan bersamaan di hari lain.

Pekerjaan Rumah (PR10), No.1 Perhatikan tiap-tiap graf (a), (b), dan (c) berikut. Tentukan apakah masing-masing graf merupakan graf Euler, graf semi-Euler, graf Hamilton, atau graf semi-Hamilton. Berikan penjelasan secukupnya.

Pekerjaan Rumah Final (PR10), No.2 Sebuah departemen mempunyai 6 kelompok kerja (pokja) yang setiap bulannya masing-masing selalu mengadakan rapat satu kali. Keenam kelompok kerja dengan masing-masing anggotanya adalah: K1 = { Amir, Budi, Yanti } K2 = { Budi, Hasan, Tommy } K3 = { Amir, Tommy, Yanti } K4 = { Hasan, Tommy, Yanti } K5 = { Amir, Budi } K6 = { Budi, Tommy, Yanti } (a) Berapa banyak jadwal rapat berbeda yang harus direncanakan sehingga tidak ada anggota pokja yang mengalami bentrokan jadwal rapat? (b) Gambarkan pula graf yang merepresentasikan persoalan ini lalu jelaskan sisi menyatakan apa dan simpul menyatakan apa.