MODUL 2 OPTIMISASI EKONOMI Ari Darmawan, Dr. , S.AB, M.AB aridarmawan_fia@ub.ac.id

Pendahuluan Adanya kebutuhan manusia yang tidak terbatas dan terbatasnya sumber daya, telah menyebabkan individu dan masyarakat terpaksa untuk memiliih kebutuhan yang menjadi prioritas pertama Sebagai manusia ekonomi, individu dan masyarakat berusaha untuk memenuhi kebutuhannya secara optimal berdasarkan sumber daya yang dimilikinya

Pendahuluan Ekonomi manajerial  pilihan yang optimal merupakan solusi yang efisien (berhasil guna) dan efektif (berdaya guna) Efektif jika tingkat output produksi mencapai tingkat yang maksimal berdasarkan pada tingkat penggunaan input yang telah ditetapkan Efisien ketika tingkat output produksi mencapai tingkat yang maksimal telah mencapai tingkat yang maksimal dan dengan penggunaan input yang minimal

Pendahuluan Terminologi optimalisasi ekonomi adalah maksimalisasi output dan minimalisasi input Pilihan yang optimal merupakan solusi yang efisien (berhasil guna) dan efektif (berdaya guna) merupakan hasil akhir dari pengambilan keputusan.

Teknik dalam optimasi ekonomi Persamaan fungsi merupakan persamaan matematis yang menyatakan hubungan antara dua hal Metode tabel merupakan salah satu metode yang yang menyatakan hubungan antara dua hal dengan menggunakan tabel Metode grafik merupakan salah satu metode yang yang menyatakan hubungan antara dua hal dengan menggunakan grafik

Contoh Diketahui: Fungsi persamaan TR = 200Q Tabel: Jumlah Unit Terjual Total Revenue 25 5.000 30 6.000 35 7.000 40 8.000

Contoh

OPTIMISASI EKONOMI TANPA KENDALA Optimisasi ekonomi tanpa kendala  manajer perusahaan diasumsikan tidak akan menghadapi berbagai kendala di dalam keputusan optimisasi

Hubungan antara nilai total, rata-rata dan marjinal Salah satu analisis yang dapat digunakan untuk perusahaan untuk dapat memaksimalkan perusahaan adalah analisis hubungan biaya total, biaya rata-rata dan biaya marjinal Biaya total merupakan jumlah total biaya secara keseluruhan yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi suatu produksi (TC = TFC + TVC)

Hubungan antara nilai total, rata-rata dan marjinal Biaya rata-rata merupakan jumlah biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi satu unit produk

Hubungan antara nilai total, rata-rata dan marjinal Biaya marjinal (MC) merupakan tambahan biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan yang dikarenakan adanya pertambahan produk yang diproduksi

Contoh Jumlah produk (Q) Biaya total (TC) 30 1 150 2 200 3 250 4 300 5 30 1 150 2 200 3 250 4 300 5 350

Pembahasan Jumlah produk (Q) Biaya total (TC) Biaya rata-rata (AC) Biaya marjinal (MC) 30 - 1 150 120 2 200 100 25 3 225 75 4 240 60 15 5 250 50 10

Contoh Diketahui: TC = 180 + 50Q Jumlah produk (Q) Biaya total (TC) Biaya rata-rata (AC) Biaya marjinal (MC) 180 - 1 230 50 2 280 140 3 330 110 4 380 95 5 430 86

Fungsi dan Diferensiasi Fungsi merupakan bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan suatu variabel dengan variabel lain. Komponen-komponen yang membentuk suatu fungsi adalah: a) Koefisien, b) Konstanta, dan c) Variabel

Fungsi dan Diferensiasi Variabel merupakan komponen penting yang membentuk suatu fungsi. Terdapat dua jenis variabel, yaitu: a. Variabel bebas (independent variable), merupakan variabel yang tidak dipengaruhi oleh variabel lain. b. Variabel terikat (dependent variable), merupakan variabel yang dipengaruhi oleh variabel lain. Notasi untuk menyatakan suatu fungsi adalah: Y = f(x)

Contoh 1) Fungsi linear  Y = 86 - 0,67X, atau dapat dinyatakan,  f(x) = 86 - 0,67X 2) Fungsi non linear  Y = 10 + 5X + X2, atau dapat dinyatakan,  f(x) = 10 + 5X + X2

Turunan fungsi Turunan fungsi merupakan perubahan dari suatu fungsi yakni bagaimana variabel terikat mengalami perubahan terkait dengan perubahan variabel bebas. Notasi untuk menyatakan suatu fungsi adalah: atau Y’ atau f’(x)

Turunan fungsi Syarat utama dari turunan fungsi, adalah sebagai berikut:

Aturan diferensiasi Untuk menurunkan suatu fungsi, terdapat beberapa kaidah-kaidah untuk menurunkan suatu fungsi, atau dikenal sebagai Aturan Diferensiasi (Rules of Differentiation). Berikut ini merupakan beberapa kaidah-kaidah atau aturan untuk menurunkan suatu fungsi, antara lain:

Aturan diferensiasi 1. Turunan dari fungsi y = C (konstanta) Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi y = C adalah:

Aturan diferensiasi 2. Turunan dari fungsi pangkat Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi pangkat adalah:  Fungsi pangkat Y = aXb

Aturan diferensiasi 3. Turunan dari penjumlahan atau pengurangan Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi penjumlahan atau pengurangan adalah:  Fungsi penjumlahan (pengurangan): Jika Y = u (X) ± v (X)

Aturan diferensiasi 4. Turunan dari perkalian Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi perkalian adalah:  Jika Y = u (X) × v (X)

Aturan diferensiasi 5. Turunan dari pembagian Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi pembagian adalah:  Jika Y = u (X) : v (X)

Aturan diferensiasi 6. Turunan dari fungsi berantai Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi berantai adalah: Jika Y = f(u) dimana u = g(x), maka

Menentukan maksimasi dan minimasi dengan kalkulus Perusahaan berkepentingan terhadap perhitungan maksimasi dan minimasi dikarenakan perusahaan ingin mengetahui jumlah pendapatan maksimal yang dapat diperoleh perusahaan dan seberapa besar biaya minimal yang harus dikeluarkan untuk memproduksi produk perusahaan  Laba maksimum Untuk memaksimalkan labanya, perusahaan berusaha untuk memaksimalkan pendapatanya dan berusaha untuk meminimalkan biaya produksinya

Contoh Diketahui: 1. TR = 120Q – 10Q2 2. TC = 200 + 25Q Hitung: Laba yang optimal (∏) ∏ = TR – TC = (120Q – 10Q2) – (200 + 25Q) = 120Q – 10Q2 – 200 – 25Q = – 10Q2 + 95Q – 200 = – Q2 + 9,5Q – 20

Contoh ∏ = – Q2 + 9,5Q – 20 Y’ = – 2Q + 9,5 2Q = 9,5 Q = 4,75 = 5 unit (pembulatan) ∏ = – 10Q2 + 95Q – 200 = – 10 (5)2 + 95 (5) – 200 = – 250 + 475 – 200 = 25

Contoh Q TR TC Laba 200 -200 1 110 225 -115 2 250 -50 3 270 275 -5 4 320 300 20 5 350 325 25 6 360 10 7 375 -25 8 400 -80 9 425 -155 450 -250

Memaksimumkan fungsi dengan banyak variabel Hubungan lebih dari dua variabel dapat dirumuskan sebagai berikut: ∏ = f(X, Y). Intepretasi dari ∏ = f(X, Y) adalah laba yang optimal dipengaruhi atau tergantung oleh variabel X dan variabel Y. Untuk menentukan dampak marjinal pada variabel terikat (misalnya laba yang optimal) yang disebabkan karena adanya perubahan variabel X dan variabel Y, maka analisis perubahan variabel X dan variabel Y akan di analisis secara terpisah. Untuk menghitung dampak marjinal dari perubahan variabel X dan variabel Y, dapat menggunakan metode turunan parsial.

Contoh Diketahui: ∏ = f(X,Y) = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y Hitung: Laba yang optimal (∏) Turunan parsial variabel X  turunan dari ∏ = f(X,Y) = 100X – 4X2 – XY Turunan parsial variabel Y  turunan dari ∏ = f(X,Y) = XY – 5Y2 + 120Y

Contoh Untuk memaksimumkan fungsi laba, kita harus membuat setiap turunan parsial sama dengan nol.

Contoh Langkah selanjutnya adalah kalikan persamaan pertama dengan -10 dengan tujuan nilai Y menjadi nol, sehingga perhitungan akan sebagai berikut: –1000 + 80X + 10Y = 0 120 – X – 10Y = 0 – 880 + 79X = 0 79X = 880 X = 11,14 = 11 (pembulatan) 100 – 8X – Y = 0 100 – 8 (11) – Y = 0 100 – 88 – Y = 0 12 – Y = 0 Y = 12

Contoh Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat diketahui perusahaan akan memperoleh laba yang optimal ketika perusahaan menjual produk X sebesar 11 unit dan menjual produk Y sebesar 12 unit. Laba optimal yang akan diperoleh perusahaan adalah sebagai berikut: ∏ = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y = 100 (11) – 4 (11)2 – (11) (12) – 5 (12)2 + 120 (12) = 1100 – 484 – 132 – 720 + 1440 = 1204

OPTIMISASI EKONOMI DENGAN KENDALA Optimisasi ekonomi dengan kendala perlu kita perhatikan dikarenakan pada umumnya manajer perusahaan akan menghadapi berbagai kendala di dalam keputusan optimisasi. Beberapa kendala yang dihadapi oleh manajer perusahaan di dalam keputusan optimisasi, antara lain: a) terbatasnya kapasitas produksi, b) terbatasnya bahan mentah, c) terbatasnya sumber daya manusia, d) kendala hukum, dan lain-lain

Metode yang dapat digunakan 1. Optimisasi terkendala dengan substitusi Metode ini mengubah permasalahan optimisasi terkendala menjadi permalsalahan optimisasi tanpa kendala, dengan cara memecah persamaan kendala untuk satu variabel keputusan dan kemudian mensubstitusikan nilai ini ke dalam persamaan optimisasi terkendala.

Contoh Diketahui: 1. ∏ = f(X,Y) = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y Hitung: Laba yang optimal (∏) Fungsi kendala X + Y = 20 X = 20 – Y   Persamaan optimisasi dengan kendala ∏ = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y = 100(20 – Y) – 4(20 – Y)2 – (20 – Y)Y – 5Y2 + 120Y = 2000 – 100Y – 4(400 – 40Y + Y2) – 20Y + Y2 – 5Y2 + 120Y = 2000 – 100Y – 1600 + 160Y – 4 Y2 – 20Y + Y2 – 5Y2 + 120Y = – 4 Y2 + Y2 – 5Y2 – 100Y + 160Y – 20Y + 120Y + 2000 – 1600 = – 8 Y2 + 160 Y + 400

Contoh Untuk memaksimumkan optimisasi tanpa kendala di atas, kita harus menurunkan persamaan tersebut, yaitu: - 16Y = - 160 Y = 10

Contoh Langkah selanjutnya adalah mensubsitusikan nilai Y=10 kedalam persamaan kendala, maka perhitungan adalah sebagai berikut: X + Y = 20 X + 10 = 20 X = 20 – 10 X = 10

Contoh Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat diketahui perusahaan akan memperoleh laba yang optimal ketika perusahaan menjual produk X sebesar 10 unit dan menjual produk Y sebesar 10 unit. Laba optimal yang akan diperoleh perusahaan adalah sebagai berikut: ∏ = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y = 100 (10) – 4(10)2 – (10) (10) – 5(10)2 + 120 (10) = 1000 – 400 – 100 – 500 + 1200 = 1200

Metode yang dapat digunakan 2. Optimisasi terkendala dengan metode pengali Lagrange Contoh Diketahui: 1. ∏ = f(X,Y) = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y 2. X + Y = 20 Hitung: Laba yang optimal (∏)

Pembahasan Fungsi kendali, X + Y = 20, maka: X + Y – 20 = 0 Fungsi lagrange, adalah: L∏ = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y λ (X + Y – 20)

Pembahasan Langkah berikutnya adalah mencari turunan parsial L∏ terhadap X, Y dan λ dan ditetapkan sama dengan nol, sehingga dapat diperoleh:

Pembahasan Langkah berikutnya adalah, Dikurangi oleh

Pembahasan Maka, 100 – 8X – Y = 0 120 – X – 10 Y = 0 –

Pembahasan Langkah berikutya adalah, mengalikan persamaan X + Y – 20 dengan angka 7, sehingga perhitungannya sebagai berikut: 7X + 7 Y – 140 = 0 – 7X + 9 Y – 20 = 0 + 16 Y – 160 = 0 16 Y = 160 Y = 10 X + Y – 20 = 0 X + 10 – 20 = 0 X – 10 = 0 X = 10

Pembahasan Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat diketahui nilai X sebesar 10 dan nilai Y sebesar 10, maka langkah berikutnya adalah mencari nilai

Pembahasan 100 – 8X – Y + λ = 0 100 – 8 (10) – 10 + λ = 0 100 – 80 – 10 + λ = 0 10 + λ = 0 λ = - 10 - X – 10 Y + 120 + λ = 0 - (10) – 10 (10) + 120 + λ = 0 - 10 – 100 + 120 + λ = 0 10 + λ = 0

Pembahasan Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat diketahui perusahaan akan memperoleh laba yang optimal ketika perusahaan menjual produk X sebesar 10 unit dan menjual produk Y sebesar 10 unit. Laba optimal yang akan diperoleh perusahaan adalah sebagai berikut: ∏ = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y = 100 (10) – 4(10)2 – (10) (10) – 5(10)2 + 120 (10) = 1000 – 400 – 100 – 500 + 1200 = 1200