Metode Statistika Pertemuan X-XI Statistika Inferensia: Pengujian Hipotesis

Pengujian Hipotesis HIPOTESIS  Suatu pernyataan / anggapan yang mempunyai nilai mungkin benar / salah atau suatu pernyataan /anggapan yang mengandung nilai ketidakpastian CONTOH Besok akan turun hujan  mungkin benar/salah Penambahan pupuk meningkatkan produksi  mungkin benar/salah Varietas A lebih baik dibandingkan dengan varietas B mungkin benar/salah Pendekatan PMSR memberikan hasil belajar Matematik yang lebih baik dibandingkan dengan pendekatan konvensional  mungkin benar/salah Dll Oleh Karena itu perlu diadakan penelitian sebelum memutuskan menerima atau menolak hipotesis tersebut.

Rangkuman HIPOTESIS statistik dinyatakan dalam dua bentuk yaitu: H0 (hipotesis nol): suatu pernyataan / anggapan yang ingin kita tolak H1 (hipotesis tandingan): pernyataan lain yang akan diterima jika H0 ditolak Pengambilan keputusan akan memunculkan dua jenis kesalahan yaitu: Salah jenis I (Error type I) : kesalahan akibat menolak H0 padahal H0 benar Salah jenis II (Error type II) : kesalahan akibat menerima H0 padahal H1 benar Besarnya peluang kesalahan dapat ini dapat dihitung sebagai berikut: P(salah jenis I) = P(tolak H0/H0 benar) =  P(salah jenis II) = P(terima H0/H1 benar) =  Rangkuman KESIMPULAN KEADAAN SEBENARNYA H0 benar H0 salah Tolak H0 Peluang salah jenis I (Taraf nyata; ) Kuasa pengujian (1-) Terima H0 Tingkat kepercayaan (1-) Peluang salah jenis II ()

CONTOH Sampel diambil secara acak dari populasi normal(;2 = 9), berukuran 25. Hipotesis yang akan diuji, H0 :  = 15 H1 :  = 10 Tolak H0 jika rata-rata kurang dari atau sama dengan 12.5 Berapakah besarnya kesalahan jenis I dan II ? Jawab: (Dengan Tabel Peluang normal) P(salah jenis I) = P(tolak H0/ = 15) = P(z  (12.5-15)/3/25)) = P(z  - 4.167 )  0 P(salah jenis II) = P(terima H0/ = 10) = P(z  (12.5-10)/3/25)) = P(z  4.167 ) = 1 - P(z  4.167 )  0 Besarnya  yang sering digunakan adalah  = 1 % = 0.01 atau  = 5 % =0.05 Artinya  = 5 %  kira-kira 5 dari 100 kesimpulan bahwa kita akan menolak H0 yang seharusnya diterima atau 5 dari 100 kesimpulan yang kita buat ternyata keliru .

Langkah-langkah yang perlu diperhatikan dalam pengujian hipotesis: (1) Tuliskan hipotesis yang akan diuji Ada dua jenis hipotesis: Hipotesis sederhana Hipotesis nol dan hipotesis alternatif sudah ditentukan pada nilai tertentu (0 , 02, P0, 1 12 dan P1 suatu konstanta) H0 :  = 0 vs H1 :  = 1 H0 : 2 = 02 vs H1 : 2 = 12 H0 : P = P0 vs H1 : P = P1 Hipotesis majemuk Hipotesis nol dan hipotesis alternatif dinyatakan dalam interval nilai tertentu b.1. Hipotesis satu arah H0 :   0 vs H1 :  < 0 H0 :   0 vs H1 :  > 0 b.2. Hipotesis dua arah H0 :  = 0 vs H1 :   0

(3). Hitung statistik ujinya (2). Deskripsikan data sampel yang diperoleh (hitung rataan, ragam, standard error dll) (3). Hitung statistik ujinya Statistik uji yang digunakan sangat tergantung pada sebaran statistik dari penduga parameter yang diuji CONTOH H0:  = 0 maka maka statistik ujinya bisa t-student atau normal baku (z) atau (4). Tentukan batas kritis atau daerah penolakan H0 Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1) H1:  < 0  Tolak H0 jika th < -t(; db)(tabel) atau th < -t(1-; db)(tabel) H1:  > 0  Tolak H0 jika th > t(; db)(tabel) atau th > t(1-; db)(tabel) H1:   0  Tolak H0 jika |th| > t(/2; db)(tabel) atau t(1-/2; db)(tabel) (Catatan: harus dilihat terlebih dahulu nilai t yang diperoleh dari tabel baru kemudian dibandingkan dengan th) (5). Tarik kesimpulan

Pengujian Nilai Tengah Populasi Kasus Satu Sample Suatu sampel acak diambil dari satu populasi Normal berukuran n Tujuannya adalah menguji apakah parameter  sebesar nilai tertentu, katakanlah 0 Populasi X~N(,2) Sampel Acak Uji 

Jika ragam populasi (2) diketahui gunakan: Hipotesis yang dapat diuji: Hipotesis satu arah H0 :   0 vs H1 :  < 0 H0 :   0 vs H1 :  > 0 Hipotesis dua arah H0 :  = 0 vs H1 :   0 Statistik uji: Jika ragam populasi (2) diketahui gunakan: Jika ragam populasi (2) tidak diketahui gunakan:

Daerah kritis pada taraf nyata () Besarnya taraf nyata sangat tergantung dari bidang yang sedang dikaji Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1) H1:  < 0 Tolak H0 jika th < -t(; db=n-1)(tabel) atau th < -t(1-; db=n-1)(tabel) H1:  > 0  Tolak H0 jika th > t(; db=n-1)(tabel) atau th > t(1-; db=n-1)(tabel) H1:   0  Tolak H0 jika |th| > t(/2; db=n-1)(tabel) atau |th| > t(1-/2; db=n-1)(tabel) Atau, jika nilai peluang nyata (p) dihitung, (Untuk Output Komputer) H1:  < 0  sig = p = p(th < ttabel) atau p = p(zh < ztabel), Tolak H0 jika p<  H1:  > 0  sig = p = p(th >ttabel) atau p=p(zh > ztabel), Tolak H0 jika p<  H1:   0  p=p(|th| > |t| ) atau p=p (|zh| > |z|), Tolak H0 jika p<  Tarik Kesimpulan

Ilustrasi Batasan yang ditentukan oleh pemerintah terhadap emisi gas CO kendaraan bermotor adalah 50 ppm. Sebuah perusahaan baru yang sedang mengajukan ijin pemasaran mobil, diperiksa oleh petugas pemerintah untuk menentukan apakah perusahan tersebut layak diberikan ijin. Sebanyak 20 mobil diambil secara acak dan diuji emisi CO-nya. Dari data yang didapatkan, rata-ratanya adalah 55 dan ragamnya 4.2. dengan menggunakan taraf nyata 5%, layakkah perusahaan tersebut mendapat ijin ? Hipotesis yang diuji: H0 :  ≤ 50 vs H1 :  > 50 Statistik uji: th= (55-50)/(4.2/20)=10.91 Daerah kritis pada taraf nyata α = 0.05 Tolak Ho jika th > t(0,05;db=19) = 1,729 Kesimpulan: Tolak H0, artinya emisi gas CO kendaraan bermotor yang akan dipasarkan oleh perusahaan tersebut melebihi batasan yang ditentukan oleh pemerintah sehingga perusahaan tersebut tidak layak memperoleh ijin untuk memasarkan mobilnya.

Perbandingan Nilai Tengah Dua Populasi Populasi I X~N(1,12) Sampel I (n1) Populasi II X~N(2,22) Sampel II (n2) Acak dan saling bebas 1 ??? 2 Kasus Dua Sample Saling Bebas Setiap populasi diambil sampel acak berukuran tertentu (bisa sama, bisa juga tidak sama) Pengambilan kedua sampel saling bebas Tujuannya adalah menguji apakah parameter 1 sama dengan parameter 2

÷ ø ö ç è æ - + = 1 n s db Hipotesis Hipotesis satu arah: H0: 1- 2 0 vs H1: 1- 2 <0 H0: 1- 2  0 vs H1: 1- 2 >0 Hipotesis dua arah: H0: 1- 2 =0 vs H1: 1- 2 0 Statistik uji: Jika ragam kedua populasi diketahui katakan 12 dan 22 gunakan: Jika ragam kedua populasi tidak diketahui: Dengan Bandingkan th dengan t(tabel) Nilai t(; db)(tabel) dengan nilai dengan ÷ ø ö ç è æ - + = 1 2 n s db eff

Daerah kritis pada taraf nyata () Pada prinsipnya sama dengan kasus satu sampel, dimana daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1) H1: H1: 1- 2 <0 Tolak H0 jika th < -t(; db)(tabel) atau th < -t(1-; db)(tabel) H1: 1- 2 >0 Tolak H0 jika th > t(; db)(tabel) atau th > t(1-; db)(tabel) H1: 1- 2 0 Tolak H0 jika |th | > t(/2; db)(tabel) atau |th| > t(1-/2; db)(tabel) Tarik Kesimpulan

Hitunglah rataan dan ragam dari kedua data perusahaan tersebut. Ilustrasi Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah sebagai berikut : Hitunglah rataan dan ragam dari kedua data perusahaan tersebut. Ujilah karton produksi mana yang lebih kuat dengan asumsi ragam kedua populasi berbeda, gunakan taraf nyata 10% Persh. A 30 35 50 45 60 25 40 Persh. B 55 65

Jawab (Secara manual): Hitung Rata-rata dan ragam kedua sampel: Perbandingan kekuatan karton Hipotesis: H0: 1= 2 vs H1: 12 Statistik uji: (ragam populasi tidak diketahui dan diasumsikan 12  12 ) Daerah kritis pada taraf nyata 10%: Tolak H0 jika |th| > t(0,05;17) = 1,740 atau |th| > t(1-0,05;17) = t(0,95;17) 1,740 Kesimpulan: Tolak H0, artinya kekuatan karton kedua perusahaan berbeda nyata pada taraf nyata 10%. Diduga karton yang diproduksi oleh perusahaan B lebih kuat daripada karton yang diproduksi perusahaan A

Output SPSS untuk Uji Hipotesis untuk kekuatan karton Berdasarkan tabel di atas dapat disimpulkan bahwa ragam populasi kekuatan karton dari kedua perusahaan tersebut tidak berbeda nyata pada taraf nyata α = 10% (karena SIG dari F >> α sehingga H0 diterima). Nilai SIG untuk t (yang terdapat pada baris 1) = 0.004, ini berarti bahwa H0 ditolak. Berarti ada perbedaan yang signifikan (nyata) pada taraf nyata α = 10% antara kekuatan karton yang diproduksi perusahaan A dengan kekuatan karton yang diproduksi oleh perusahaan B. Berdasarkan tabel pertama, terlihat bahwa karton yang diproduksi oleh perusahaan B cenderung lebih kuat dibandingkan dengan karton yang diproduksi oleh perusahaan A.

Panduan membaca output SPSS untuk t-test dua sampel Lihat dulu nilai SIG pada kolom Levene’s Test Jika nilai SIG lebih besar dari alpha maka lanjutkan dengan melihat SIG pada t-test baris pertama. Tapi jika nilai SIG kecil, lanjutkan melihat SIG pada baris kedua. Jika nilai SIG (t-test) lebih besar dari alpha  kedua kelompok(populasi) memiliki rata-rata tidak berbeda. Jika nilai SIG (t-test) lebih kecil atau sama dengan alpha  kedua kelompok(populasi) memiliki rata-rata berbeda Catatan: “bahwa uji hipotesis yang digunakan di SPSS adalah uji hipotesis 2 arah”.

Apakah ada perbedaan tingkat penghasilan responden yang menunggak dan yang tidak? Ho : Tidak ada perbedaan H1 : Ada perbedaan t-Test Ho :  1 =  2 H1 :  1   2

Orang yang menunggak cenderung merupakan responden dengan tingkat penghasilan lebih rendah Andaikan  = 5%, maka SIG <  Andaikan  = 5%, maka SIG <  Nilai SIG <  Kesimpulan: rata-rata penghasilan kelompok responden yang menunggak dan tidak besarnya BERBEDA Lanjutkan lihat baris yang kedua

Perbandingan Nilai Tengah Dua Populasi Populasi I X~N(1,12) Sampel I (n) Populasi II X~N(2,22) Sampel II Acak dan berpasangan 1 ??? 2 Pasangan 1 Pasangan … Pasangan n Kasus Dua Sample Saling Berpasangan Setiap populasi diambil sampel acak berukuran n (wajib sama) Pengambilan kedua sampel berpasangan, ada pengkait antar kedua sampel (bisa waktu, objek, tempat, garis keturunan dll) Tujuannya adalah menguji apakah parameter 1 = parameter 2

H0: 1- 2 0 vs H1: 1- 2 <0 atau H0: D 0 vs H1: D<0 Hipotesis Hipotesis satu arah: H0: 1- 2 0 vs H1: 1- 2 <0 atau H0: D 0 vs H1: D<0 H0: 1- 2  0 vs H1: 1- 2 >0 atau H0: D  0 vs H1: D>0 Hipotesis dua arah: H0: 1- 2 =0 vs H1: 1- 2 0 atau H0: D = 0 vs H1: D0 Statistik uji: Gunakan t atau z jika ukuran contoh n besar Dimana d adalah simpangan antar pengamatan pada sampel satu dengan sampel 2 Daerah Kritis: (lihat kasus satu sampel) Tarik Kesimpulan Pasangan 1 2 3 … n Sampel 1 (X1) x11 x12 x13   x1n Sampel 2 (X2) x21 x22 x23 x2n D = (X1-X2) d1 d2 d3 dn

Ilustrasi Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu: Apakah program diet tersebut dapat mengurangi berat badan minimal 5 kg? Lakukan pengujian pada taraf nyata 5%! Berat Badan Peserta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sebelum (X1) 90 89 92 91 93 Sesudah (X2) 85 86 87 D=X1-X2

Jawab: Karena kasus ini merupakan contoh berpasangan, maka: Hipotesis: H0 : D  5 vs H1 : D < 5 Deskripsi: Statistik uji: Daerah kritis pada  = 5% Tolak H0, jika th < -t(=5%,db=9)=-1.833 Kesimpulan: Terima H0, artinya program diet tersebut dapat mengurangi berat badan minimal 5 kg

Output SPSS untuk Uji Hipotesis Program diet Berdasarkan tabel di atas, diperoleh Nilai SIG untuk t (yang terdapat pada baris 1) = 0.000, ini berarti bahwa H0 ditolak. Berarti ada perbedaan yang signifikan (nyata) pada taraf nyata α = 5% antara berat badan sebelum mengikuti program diet dengan berat badan setelah mengikuti program diet. Berdasarkan tabel pertama, terlihat bahwa program diet yang diberikan relatif dapat menurunkan berat badan sebanyak 5 kg.

Uji hipotesis nilai rata-rata (satu populasi maupun dua populasi) dengan uji z atau uji t didasarkan pada asumsi bahwa datanya berasal dari sebaran normal. Oleh karena itu sebelum melakukan uji hipotesis nilai rata-rata harus dilakukan terlebih dahulu pengujian terhadap kenormalan data. Langkah yang harus ditempuh sbb: Misalkan datanya terdiri dari n buah pengamatan. Data tersebut dibagi dalam k kelas interval (penentuan k bisa dengan aturan Sturges yaitu k = int(1+3.3log n)). Tentukan nilai rata-rata sampel dan simpangan baku sampel (untuk data berkelompok) Pada tiap kelas interval, tentukan batas kelas dan nilai z-nya. Kemudian hitung luas dibawah kurva normal (li) dan frekuensi harapan ei (ei = li * n). Hitung statistik uji khi kuadrat: Tentukan daerah penolakan H0, yaitu tolak H0 jika 2h> 2tabel(α,db=k-1)

Diberikan data tentang tinggi mahasiswa baru (ada 100 mahasiswa) sbb: Contoh Diberikan data tentang tinggi mahasiswa baru (ada 100 mahasiswa) sbb: kelas ke Tinggi (Cm) Frekuensi Pengamatan (oi) 1 140 - 144 7 2 145 - 149 10 3 150 - 154 16 4 155 - 159 23 5 160 - 164 21 6 165 - 169 17 170 - 174 Hipotesis yang diuji: H0: Data berasal dari Sebaran normal dan H1: Data tidak berasal dari Sebaran normal Kriteria penolakan H0: Tolak H0 apabila khi kuadrat hitung lebih besar dari kuadrat tabel.