Goal Programming

Konsep-konsep Dasar dan Unsur-unsur LGP LGP pengembangan dari LP LP fungsi tujuannnya hanya mengandung 1 tujuan. LGP satu atau lebih tujuan digabungkan dalam 1 fungsi tujuan. Tujuan diekspresikan dalam kendala tujuan (goal constrain) dan variabel simpangan (deviation variable) Pada LP tujuannya adalah maksimasi atau minimasi. Sedangkan LGP tujuannya adalah meminimumkan simpangan.

Terminologi LGP Berikut adalah definisi dari beberapa istilah dan lambang yang biasa digunakan dalam LGP Decision Variabel : variabel keputusan Right Hand Side Values (RHS/NK); nilai-nilai yang menunjukkan ketersediaan sumberdaya (dilambangkan dengan bi) yang akan ditentukan kelebihan dan kekurtangan penggunaannya. Goal : keinginan untuk meminimumkan angka penyimpangan dari suatu nilai RHS pada suatu goal constraint tertentu (Tujuan). Goal Constraint : sinonim dari istilah goal equation, yaitu suatu tujuan yang diekspresikan dalam persamaan matematik dengan memasukkan variabel simpangan.

Preemtive priority factor : suatu sistem urutan (yg dilambangkan dg Pk, dimana k= 1,2,…, k dan k menunjukkan banyaknya tujuan dalam model) yg memungkinkan tujuan-tujuan disusun secara ordinal dalam model LGP. P1 > P2 >>> Pk P1 merupakan tujuan yg paling penting P2 merupakan tujuan yg kurang penting dan seterusnya. Deviational variables: variabel-variabel yg menunjukkan kemungkinan penyimpangan negatif dr suatu nilai RHS kendala tujuan (dalam LGP dilambangkan dengan di- , dimana I = 1,2,3….,m dan m adalah banyaknya kendala tujuan dalam model) atau penyimpangan positif dari suatu nilai RHS (dilambangkan dengan di+ . Variabel-variabel ini sama dengan slack variabel dlm LP.

Differential weight (bobot): timbangan matematik yang diekspresikan dengan angka kardinal (dilambangkan dengan wki dimana k = 1,2,3….k; I = 1,2…m) dan digunakan untuk membedakan variabel simpangan I di dalam suatu tingkat prioritas k. Technological coefficient (koefisien teknologi): nilai-nilai numerik (dilambangkan dengan aij) yg menunjukkan penggunaan nilai bi per unit untuk menciptakan xj.

b. Unsur-unsur LGP Model LGP paling sedikit terdiri dari tiga komponen : fungsi Tujuan, kendala-kendala tujuan, kendala non negatif. Fungsi Tujuan Ada tiga jenis fungsi tujuan dlm LGP. (I) Minimumkan Z = ∑ di- + di- Fungsi tujuan (I) ini digunakan jika variabel simpangan dalam suatu masalah tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot. m i=1

m (II) Minimumkan Z = ∑ Pk (di- + di+ ) untuk k = 1,2,3….k Fungsi (II) tujuan kedua diguanakn dalam suatu masalah dimana urutan tujuan-tujuan diperlukan , tetapi variabel simpangan didalam setiap tingkat prioritas memiliki kepentingan yang sama. (III) Minimumkan Z = ∑ wki (di- + di+ ) untuk k = 1,2,3….k Pada fungsi tujuan (III), tujuan-tujuan diurutkan dan variabel simpangan pada setiap tingkat prioritas dibedakan dengan menggunakan bobot yang berlainan wki. i=1

Kendala Tujuan (Goal Constraint) Jenis-jenis Kendala Tujuan Kendala Tujuan Variabel Simpangan dlm fungsi Tujuan Kemungkinan Simpangan Penggunaan Nilai RHS yg dihilangkan aij xj + di- = bi di- negatif = bi aij xj – di+ = bi di+ positif aij xj + di- - di+ =bi neg dan pos bi atau lebih bi atau kurang di- dan di+ aij xj - di+ =bi di+ (artf) tidak ada pas = bi

Kendala Non Negatif Seperti dalam LP, variabel-variabel model LGP bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Semua model LGP terdiri dari variabel simpangan dan variabel keputusan, sehingga pernyataan non negatif dilambangkan dengan : xj , di- , di+ ≥ 0 Kendala Struktural Diluar 3 komponen yang telah disebutkan. Kendala yang tidak berhubungan langsung dengan tujuan. Krn itu variabel simpangan tidak termasuk pada kendala ini, sehingga kendala ini juga tidak dimasukkan ke dalam fungsi tujuan.

Asumsi Model LGP Additivitas dan Linieritas; Divisibilitas; Terbatas; Kepastian dan periode waktu statis;

Perumusan Masalah LGP Prosedur Perumusan - Tentukan variabel keputusan - Nyatakan sistem kendala - Tentukan prioritas utama - Menentukan bobot - Nyatakan fungsi tujuan - Nyatakan kendala non negatif

b). Model Tujuan Tunggal Sebuah perusahaan menghasilkan dua produk, yaitu produk 1 dan produk 2. Masing-masing produk memerlukan waktu untuk ditangani dalam dua bagian, yaitu bagian 1 dan bagian 2. Produk 1 membutuhkan 20 jam dibagian 1 dan 10 jam di bagian 2. Produk 2 membutuhkan 10 jam di bagian dan 10 jam di bagian. Bagian 1 memiliki keterbatasan waktu sampai 60 jam dan bagian 2 sampai 40 jam. Sumbangan keuntungan produk 1 sebesar 40 dan produk 2 sebanyak 80. Tujuan pemilik adalah memaksimumkan keuntungan. Solusi optimum masalah tersebut melalui metode simpleks adalah X1 = 0, X2 = 4 dan Z = 320.

Perumusan LGP masalah itu (karena tujuannya maksimasi keuntungan, kita tetapkan secara sembarang target keuntungan, misalnya 1000) : Minimumkan Z = d- dengan syarat 20x1 + 10X2 ≤ 60 10x1 + 10X2 ≤ 40 40X1 + 80X2 + di- - di+ = 1000 x1, x2, di- , di+ ≥ 0 dimana x menunjukkan variabel keputusan dan d merupakan variabel simpangan.

Model Banyak Tujuan Minimumkan Z = d1- + d2- + d3+ 20x1 + 10X2 ≤ 60 Tujuan Banyak Tanpa Prioritas (Prioritas Sama) Contoh soal sebelumnya (ttg dua produk). Misalnya tujuan tunggal tersebut dimodifikasi sedemikian rupa sehingga disamping tujuan keuntungan, paling sedikit dua unit dari setiap jenis produk diproduksi. Dalam keadaaan ini, pemilik menganggap bahwa penyimpangan satu rupiah dari target keuntungan sama pentingnya dengan penyimpangan satu unit dari target produksi. Perumusan LGP untuk masalah tsb adalah: Minimumkan Z = d1- + d2- + d3+ 20x1 + 10X2 ≤ 60 10x1 + 10X2 ≤ 40 40X1 + 80X2 + d1- - d1+ = 1000 X1 + d2- - d2+ = 2 X2 + d3- - d3+ = 2 x1, x2, d1- , d1+ , d2- , d2+ d3- , d3+ ≥ 0

Tujuan Banyak dengan Prioritas Masih terkait dengan contoh sebelumnya, jika pemilik mempertimbangkan banyak tujuan , biasanya memiliki skala prioritas untuk tujuan-tujuan itu. LGP memberikan urutan preferensi tujuan melalui penggunaan keofisien prioritas (P). Tujuan (variavel simpangan) yg memiliki prioritas pertama diberi nilai fungsi P1, prioritas kedua P2, dan seterusnya. Pada umumnya bukan berbentuk suatu nilai angka tetapi hanya menunjukkan tingkat prioritas. Anggaplah pemilik menetapkan prioritas seperti berikut: P1 (prioritas 1) : capai tujuan produksi dua unit untuk setiap jenis produk P2 (prioritas2) : maksimumkan keuntungan

Minimumkan Z = P1 d2- + P1 d3+ + P2 d1- 20x1 + 10X2 ≤ 60 10x1 + 10X2 ≤ 40 40X1 + 80X2 + d1- - d1+ = 1000 X1 + d2- - d2+ = 2 X2 + d3- - d3+ = 2 x1, x2, d1- , d1+ , d2- , d2+ d3- , d3+ ≥ 0

Tujuan Banyak dengan Prioritas dan Bobot Kadang-kadang kita dihadapkan pada beberapa tujuan dengan urutan yang sama adalah lebih penting dibandingkan tujuan-tujuan lain. Jika demikian, perlu digunakan bobot yang berlainan untuk mencerminkan beda kepentingan dalam tingkat prioritas yang sama Misal, keuntungan dan waktu lembur dari persoalan yang tadi memiliki urutan prioritas sama. Jika tidak ada bobot, pemilik menganggap bahwa penyimpangan keuntungan satu rupiah sama pentingnya dengan satu jam waktu lembur. Jika sebetulnya tidak demikian, kemudian dapat diberikan bobot yang mencerminkan hubungan yang lebih tepat. Jika pemilik menetapkan bahwa 6 jam lembur setara dengan keuntungan 1 rupiah, maka akan digunakan bobot 6 banding 1.

Misal sedikit diubah tujuan pada masalah tadi. Tujuan menghasilkan 2 unit per jenis produk kita rubah, kita menetapkan tujuan untuk memproduksi produk 1 minimal 4 unit dan produk 2 minimal 6 unit. Karena produk 2 menyumbang dua kali profit produk 1, kita seharusnya menghasilkan produk 2 sebelum mulai memproduksi produk 1. Waktu lembur diperlukan dalam menghasilkan sejumlah produk-produk yang telah ditetapkan. Kita asumsikan tersedia 50 jam lembur. Misalkan kita menetapkan prioritas untuk mencapai tujuan:

P1 : membatasi jumlah jam lembur sampai dengan 50 jam dalam dua kegiatan produksi P2: memenuhi tujuan jumlah produksi yg ditetapkan untuk tiap produk. Dan berikan bobot 2 untuk produk 1 dan 1 untuk produk 2 karena kentribusi keuntungan Xi = 40 dan X2 = 80 P3 : maksimumkan keuntungan Minimumkan Z = P1 d6+ + 2 P2 d2- + 1 P2 d3- + P3 d1- 20x1 + 10X2 + d4- - d4+ = 60 10x1 + 10X2 + d5- - d5+ = 40 40X1 + 80X2 + d1- - d1+ = 1000 X1 + d2- - d2+ = 4 X2 + d3- - d3+ = 6 d4+ + d5+ + d6- - d6+ = 50 x1, x2, d1- , d1+ , d2- , d2+ d3- , d3+ ≥ 0 Variabel simpangan d4+ dan d5+ menunjukkan waktu lembur yang diperlukan pada kegiatan 1 dan 2. Variabel d6+ dimasukkan dalam kendala tujuan untuk mencerminkan kemungkinan melebihi 50 jam lembur.

Formulasi Goal Programming Step 1: Tetapkan tingkat prioritas tiap goal. Step 2: Tetapkan bobot tiap goal. Jika suatu tingkat prioritas mempunyai lebih dari satu goal, untuk tiap goal i ditetapkan bobot, wi , diletakkan pada deviasi, di+ dan/atau di-, dari goal.

Formulasi Goal Programming Step 3: Bentuk programa linier awal. Min w1d1+ + w2d2- s.t. Batasan Fungsional, dan and Batasan Goal Step 4: Selesaikan programa linier saat ini. Jika ada suatu tingkat prioritas terendah ke step 5, Kalau tidak solusi akhir telah dicapai.

Formulasi Goal Programming Step 5: Bentuk Programa Linier Baru Pertimbangkan tingkat prioritas goal terendah berikutnya dan formulasikan fungsi obyektif yang didasarkan pada goal tersebut. Tambahkan pembatas yang diperlukan untuk mencapai tingkat prioritas tertinggi berikutnya. Programa Linier yang baru adalah : Min w3d3+ + w4d4- s.t. Batasan-batasan fungsional, Batasan-batasan Goal, dan w1d1+ + w2d2- = k ke step 4. (Ulangi steps 4 dan 5 sampai semua tingkat prioritas telah diuji.)

Contoh: Conceptual Products Conceptual Products is a computer company that produces the CP400 and CP500 computers. The computers use different mother boards produced in abundant supply by the company, but use the same cases and disk drives. The CP400 models use two floppy disk drives and no zip disk drives whereas the CP500 models use one floppy disk drive and one zip disk drive.

Contoh: Conceptual Products The disk drives and cases are bought from vendors. There are 1000 floppy disk drives, 500 zip disk drives, and 600 cases available to Conceptual Products on a weekly basis. It takes one hour to manufacture a CP400 and its profit is $200 and it takes one and one-half hours to manufacture a CP500 and its profit is $500.

Contoh: Conceptual Products Ada Empat Goal dari Perusahaan : Priority 1: Memenuhi kontrak min 200 mesin CP400 tiap minggu. (Goal 1) Priority 2: Membuat paling sedikit total 500, CP400 dan CP500 tiap minggu. (Goal 2) Priority 3: Mendapatkan keuntungan paling sedikit $2500 per-minggu. (Goal 3) Priority 4: Menggunakan tidak lebih 400 man- hours per-minggu. (Goal 4)

Goal Programming: Formulasi Variables x1 = Jumlah CP400 computers dihasilkan per minggu x2 = Jumlah CP500 computers dihasilkan per minggu di- = besaran sisi kanan goal i yang deficient di+ = besaran sisi kanan goal i yang exceeded Functional Constraints Ketersediaan floppy disk drives: 2x1 + x2 < 1000 Ketersediaan zip disk drives: x2 < 500 Ketersediaan cases: x1 + x2 < 600

Goal Programming: Formulation Constrain Goals (1) 200 CP400 computers per minggu: x1 + d1- - d1+ = 200 (2) 500 total computers per-minggu: x1 + x2 + d2- - d2+ = 500 (3) $250(ribu),keuntungan : 2x1 + 5x2 + d3- - d3+ = 2500 (4) 400 total man-hours per-minggu: x1 + 1.5x2 + d4- - d4+ = 400 Non-negativity: x1, x2, di-, di+ > 0 for all i

Goal Programming: Formulation Objective Functions Priority 1: Minimal besaran kontrak : Min d1- Priority 2: Minimasi jumlah komputer dibawah 500 : Min d2- Priority 3: Minimal revenue $2500 yang diperoleh per-minggu: Min d3- Priority 4: Maximal man-hours 400 yang digunakan per-minggu: Min d4+

Goal Programming: Formulation Formulation Summary Min P1(d1-) + P2(d2-) + P3(d3-) + P4(d4+) s.t. 2x1 +x2 < 1000 +x2 < 500 x1 +x2 < 600 x1 +d1- -d1+ = 200 x1 +x2 +d2- -d2+ = 500 .2x1+ .5x2 +d3- -d3+ = 2500 x1+1.5x2 +d4- -d4+ = 400 x1, x2, d1-, d1+, d2-, d2+, d3-, d3+, d4-, d4+ > 0

Goal Programming : Solusi Grafik Iteration 1 Menyelesaikan secara grafis, grafik I dari batasan fungsional. Grafik goal I : x1 = 200. Catatan pada slide berikut bahwa ada satu set yang melebihi x1 = 200 (dimana d1- = 0).

Goal Programming: Graphical Solution Batasan Fungsional dan grafik Goal I x2 1000 800 600 400 200 2x1 + x2 < 1000 Goal 1: x1 > 200 x2 < 500 x1 + x2 < 600 Points Satisfying Goal 1 x1 200 400 600 800 1000 1200

Goal Programming : Solusi Grafik Iteration 2 Tambahkan Goal 1 sebagai x1 > 200 dan grafik Goal 2: x1 + x2 = 500. Catatan pada slide berikut bahwa masih ada suatu set of points memenuhi goal I yang juga memenuhi goal II (dimana d2- = 0).

Goal Programming : Solusi Grafik Goal 1 (Constraint) and Goal 2 Graphed x2 1000 800 600 400 200 2x1 + x2 < 1000 Goal 1: x1 > 200 x2 < 500 x1 + x2 < 600 Points Satisfying Both Goals 1 and 2 Goal 2: x1 + x2 > 500 x1 200 400 600 800 1000 1200

Goal Programming : Solusi Grafik Iteration 3 Tambahkan Goal 2 sebagai x1 + x2 > 500 dan Goal 3: .2x1 + .5x2 = 2500 Pada slide berikut tidak ada points memenuhi batasan fungsional sebelumnya dan goals memenuhi batasan ini. Maka, untuk Min d3-, nilai minimum adalah dicapai ketika Max .2x1 + .5x2. Catatan ini terjadi pada x1 = 200 dan x2 = 400, maka .2x1 + .5x2 = 2400 atau d3- = 100.

Goal Programming : Solusi Grafik Goal 2 (Constraint) and Goal 3 Graphed x2 1000 800 600 400 200 2x1 + x2 < 1000 Goal 1: x1 > 200 x2 < 500 x1 + x2 < 600 (200,400) Points Satisfying Both Goals 1 and 2 Goal 2: x1 + x2 > 500 Goal 3: 2x1 + 5x2 = 2500 x1 200 400 600 800 1000 1200

Goal Programming : Algoritma Simpleks Kasus Bawika Kapasitas yg tersedia pada fasilitas dimanfaatkan pemrosesan secara optimum Kapasitas yg tersedia pada fasilitas dimanfaatkan pengalengan secara optimum Produksi X1 paling sedikit 10 Produksi X2 paling sedikit 6 unit Maka model GLP kasus ini menjadi: d1- -d1+ Min P1 (d1+ + d1-) + P2 (d2+ + d2-) + P3 ( d3-) + P4 ( d4-) Kendala I 5 X1 + 6 X2 + d1- -d1+ = 60 II X1 + 2 X2 + d2- -d2+ = 16 III X1 + d3- = 10 IV X2 + d4- = 6 Dan X1, X2, d1+ ,d1- d2+ d2- d3- d4- > 0

Tabel awal simpleks kasus bawika tanpa prioritas Cj 1 Ci VB X1 X2 d1+ d1- d2+ d2- d3- d4- bi 5 6 2 -1 60 16 10 Zj 7 9 Cj-Zj -7 -9

Simpleks awal goal programming dengan prioritas Cj 1 Pk Ci VB X1 X2 d1+ d1- d2+ d2- d3- d4- bi P1 P2 P3 P4 5 6 2 -1 60 16 10 Zj Cj-Zj -5 -6 -2

Cj 1 Pk Ci VB X1 X2 d1+ d1- d2+ d3- d4- bi P1 P2 P3 d2 - X 2 5 -1 -6 -2 2 24 4 10 6 Zj Cj-Zj -5 7 3

Lakukan iterasi berikutnya Iterasi kedua Cj 1 Pk Ci VB X1 X2 d1+ d1- d2+ d3- d4- bi P1 P2 P3 X 1 X 2 -1 5 -5 4 -2 2 6 Zj Cj-Zj -4 -3 Lakukan iterasi berikutnya

H asil akhir ( H asil iterasi keempat) Cj 1 Pk Ci VB X1 X2 d1+ d1- d2+ d2- d3- d4- bi P4 P3 X 1 X 2 -1/4 -1/2 1/2 1/4 -5/4 3/2 -3/2 6 4 5 Zj Cj-Zj 5/4 3/4 9 /4 5/2