Struktur Diskrit Suryadi MT Teori Graph Kuliah_11 Teori Graph

Kelahiran Teori Graph Masalah Jembatan Konigsberg : Mulai dan berakhir pada tempat yang sama, bagaimana caranya untuk melalui setiap jembatan tepat satu kali ? 1736: Leonhard Euler Basel, 1707-St. Petersburg, 1786 Mampu mengungkap misteri Jembatan Konigsberg Kuliah_11 Teori Graph

Problem dan Model Graph MASALAH Data Analisis MODEL IMPLEMENTASI PROGRAM Analisis ALGORITMA SOLUSI YANG DIHARAPKAN Kuliah_11 Teori Graph

Problem 1 Setiap minggu sekali, seorang petugas kantor telepon berkeliling untuk mengumpulkan koin pada telepon umum yang dipasang diberbagai tempat. Berangkat dari kantornya, ia mendatangi satu demi satu telepon umum tersebut, dan akhirnya kembali ke kantor lagi. Problem yang muncul adalah petugas tersebut menginginkan suatu rute perjalanan dengan waktu minimal ? Kuliah_11 Teori Graph

Problem 2 Pada suatu persimpangan jalan yang ramai akan dipasang lampu lalu lintas (TL). Telah diatur bahwa jalan A, C, D, E, dan F satu arah serta jalan B adalah 2 arah. Perjalanan yang diperbolehkan adalah : A  B A  C A  E B  C B  E D  C D  E F  B F  C F  E Problemnya adalah bagaimana menentukan pola TL dengan jumlah fase minimal,dan pada setiap fase tidak ada perjalanan yang saling melintas ? Kuliah_11 Teori Graph

Problem 3 Rute perjalanan dari kota A ke P dapat dilakukan dengan berbagai macam alternatif. Dari sekian banyak alternatif yang ada maka tentukanlah rute yang paling minimal untuk ditempuh (misalkan minimal dalam hal jarak tempuh/waktu tempuh) ? Kuliah_11 Teori Graph

Model Graph Jika kita lakukan analisis terhadap ketiga problem tadi, maka kita akan buatkan model persoalannya ke dalam model Graph. Problem 1 pada model Graph dikenal dengan problem Travelling Salesman. Problem 2 pada model Graph dikenal dengan problem Coloring Graph (pewarnaan Graph). Problem 3 pada model Graph dikenal dengan problem Shortest Path. Kuliah_11 Teori Graph

Pendahuluan Definisi 1 : Suatu Graph G adalah koleksi atau pasangan dari dua himpunan V dan E dengan V = V(G) = himpunan verteks atau simpul atau node. E = E(G) = himpunan edge atau ruas atau sisi. Banyaknya simpul disebut order Banyaknya ruas dsiebut size (ukuran) Kuliah_11 Teori Graph

Pendahuluan (Lanjutan) Contoh 1 : V = {s, u, v, w, x, y, z} E = {(x,s), (x,v)1, (x,v)2, (x,u), (v,w), (s,v), (s,u), (s,w), (s,y), (w,y), (u,y), (u,z),(y,z)} Kuliah_11 Teori Graph

Edges Edge merupakan pasangan tak terurut dari simpul. Misalkan edge e = (v,w) = (w,v). Edge e dikatakan incident pada v dan w. Simpul terpencil (terisolasi) adalah suatu simpul tanpa incident edges. p Kuliah_11 Teori Graph

Special edges Parallel edges Loops (self-loops) Dua ruas atau lebih yang mempunyai kedua simpul ujung yang sama. Graph disamping : ruas (a,b) merupakan ruas paralel atau ruas sejajar. Loops (self-loops) Suatu ruas yang kedua simpul ujungnya sama. Graph disamping, ruas (d,d)  self-loops. Kuliah_11 Teori Graph

Special graphs Simple graph (Graph sederhana) Suatu graph yang tidak memiliki self-loops dan ruas sejajar. Weighted graph (Graph berlabel / berbobot) Suatu graph yang setiap ruasnya dikaitkan dengan besaran tertentu (“bobot”). Kuliah_11 Teori Graph

Graph Berarah G disebut graph berarah atau directed graph/ digraph jika setiap ruas merupakan pasangan terurut dari simpul. (dpl. Setiap ruasnya memiliki arah). Kuliah_11 Teori Graph

Graph Similar Problem: bagaimana mengelompokan objek-objek ke dalam klas yang similar berdasarkan pada variasi komponen objeknya.? Contoh 2: Beberapa program komputer dari suatu algoritma yang sama memiliki perbedaan komponen k = 1, 2 dan 3 yaitu : K=1  banyaknya baris program K=2  banyaknya statemen “return” K=3  banyaknya pemanggilan function Kuliah_11 Teori Graph

Graph Similar (Lanjutan) Hasil perbandingannya yaitu : Program # of lines # of “return” # of function calls 1 66 20 2 41 10 3 68 5 8 4 90 34 75 12 14 Kuliah_11 Teori Graph

Graph Similar (Lanjutan) Pembuatan model Graphnya yaitu : V(G) adalah himpunan program {v1, v2, v3, v 4, v5 }. Setiap simpul vi menyatakan (p1, p2, p3), dengan pk adalah nilai dari komponen k = 1, 2, & 3 v1 = (66,20,1) v2 = (41, 10, 2) v3 = (68, 5, 8) v4 = (90, 34, 5) v5 = (75, 12, 14) Kuliah_11 Teori Graph

Dissimilarity function Definisi dissimilarity function adalah : Untuk setiap pasangan simpul v = (p1, p2, p3) dan w = (q1, q2, q3) maka 3 s(v,w) =  |pk – qk| = |p1 – q1|+ |p2 – q2|+ |p3 – q3| k = 1 s(v,w) dalah ukuran dari dissimilarity antara dua program v dan w. Berdasarkan bilangan tetap N. Tambahkan ruas antara v dan w jika s(v,w) < N. Sehingga : Kita katakan bahwa simpul v dan w berada pada kelas yang sama jika v = w atau terdapat jalur antara v dan w. Kuliah_11 Teori Graph

Dissimilarity functions (Lanjutan) Misalkan N = 25. dan diketahui pula : v1 = (66,20,1) v2 = (41, 10, 2) v3 = (68, 5, 8) v4 = (90, 34, 5) v5 = (75, 12, 14) s(v1,v3) = 2+15+7 =24  buat ruasnya s(v3,v5) = 7+7+6 = 20  buat ruasnya dan semua yang lainnya s(vi,vj) > 25 Sehingga terdapat 3 kelas, yaitu : {v1,v3, v5}, {v2} and {v4} Dan diperoleh Graphnya yaitu : Kuliah_11 Teori Graph

Derajat Vertex Derajat dari simpul v, dinotasikan dgn (v), adalah banyaknya ruas yang melalui v Contoh : (a) = 4, (b) = 3, (c) = 4, (d) = 6, (e) = 4, (f) = 4, (g) = 3. Kuliah_11 Teori Graph

Derajat pada Graph Teorema: jika G suatu graph dengan m ruas dan n simpul maka jumlah derajat semua simpulnya adalah 2m. n  (vi) = 2m i = 1  jumlah dari derajat semua simpul pada graph adalah genap. Kuliah_11 Teori Graph

Graph Lengkap K n Misalkan n > 3 Graph Lengkap (complete graph) Kn adalah graph dengan n simpul dan setiap pasang simpulnya terhubung oleh satu ruas. Derajat setiap vertex sama Contoh di samping merupakan Graph lengkap K5 Kuliah_11 Teori Graph

Graph Bipartisi V(G) = V(G1)  V(G2) |V(G1)| = m, |V(G2)| = n Graph bipartisi G adalah suatu graph sedemikian sehingga berlaku V(G) = V(G1)  V(G2) |V(G1)| = m, |V(G2)| = n V(G1) V(G2) =  Tidak terdapat ruas antara sembarang simpul pada subset V(Gk) yang sama; k = 1,2. Kuliah_11 Teori Graph

Complete bipartite graph Km,n Suatu graph bipartisi adalah graph bipartisi lengkap (Complete bipartite graph) Km,n jika setiap simpul pada V(G1) terhubung dengan simpul pada V(G2) dan sebaliknya, |V(G1)| = m |V(G2)| = n Kuliah_11 Teori Graph

Graph Terhubung Suatu Graph dikatakan terhubung (Connected) jika setiap pasang dari simpul dapat dilalui dengan suatu jalur. Setiap subgraph terhubung dari suatu graph tak terhubung G disebut component dari G Kuliah_11 Teori Graph

Jalur dan Cycle Suatu Jalur (Path) dengan panjang n adalah barisan dari n + 1 simpul dan n ruas secara berurutan.  (v0, e1 , v1, e2 , v2, e3 , …, vn-1, en , vn) Suatu Cycle adalah jalur dengan simpul awal dan simpul akhirnya sama. Kuliah_11 Teori Graph

Jalur dan Cycle (Lanjutan) Contoh : Diketahui suatu Graph G : Jalur dari simpul 1 ke 5 : 1, 5 atau 1, 2, 5 atau 1, 2, 3, 4, 5 atau 1, 2, 3, 5, atau 1, 6, 5 Cycle dgn panjang 3 : 1, 2, 5, 1 atau 2, 3, 5, 5 Cycle dgn panjang 6 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1 1 e1 2 e2 3 e6 e8 e3 e7 e9 e5 e4 4 6 5 Kuliah_11 Teori Graph

Subgraph Definisi : Misal G=(V,E) suatu Graph dan G’ =(V’,E’) disebut subgraph dari G jika : V’  V dan E’  E Contoh: Diketahui graph G sebagai berikut : subgraph Kuliah_11 Teori Graph

Perjalanan Euler Sebuah perjalanan Euler (Euler cycle) pada graph G adalah sebuah cycle sederhana yang melalui setiap edge di G hanya sekali. Problem jembatan Königsberg: Apakah memungkinkan untuk memulai dan mengakhiri suatu perjalanan dari titik yang sama melalui ke 7 jembatan hanya sekali? Problem dapat dinyatakan dengan sebuah graph Edge menyatakan jembatan dan setiap vertex menyatakan daerah (region). Kuliah_11 Teori Graph

Graph Euler Sebuah graph G adalah graph Euler jika memiliki Euler cycle. Teorema: G adalah Graph Euler jika dan hanya jika G terhubung dan semua vertex memiliki derajat genap. Graph terhubung merepresentasikan problem jembatan Königsberg. Graph tersebut bukan Graph Euler. Berarti problem jembatan Königsberg tidak memiliki solusi. Kuliah_11 Teori Graph