STRUKTUR DISKRIT PROBABILITAS DISKRIT PROGRAM STUDI TEKNIK KOMPUTER DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS INDONESIA Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Pengantar Probabilitas diskrit Percobaan adalah proses yang meng-hasilkan data. Ruang Sampel (S): himpunan yang memuat semua kemungkinan hasil percobaan. Kejadian (Event): himpunan bagian dari ruang sampel. Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Contoh 1: Ruang sampel percobaan pelemparan sebuah mata uang: S = {head, tail} atau { gambar, angka} Ruang sampel pelemparan dadu: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Dari sekumpulan 52 kartu bridge S : { sekop, klaver, hati, wajik }, kita hanya tertarik pada kejadian A : munculnya kartu yang berwarna merah  A = {hati, wajik } Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Probabilitas Probabilitas dari suatu kejadian adalah banyaknya data yang muncul pada kejadian dibagi dengan banyaknya data dalam ruang sampel. Jika S adalah himpunan hingga ruang sampel dan A adalah suatu kejadian (A  S) maka probabilitas dari A adalah P(A) = |A| / |S| Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Teori Probabilitas Diskrit Jika setiap titik contoh mempunyai peluang yang sama maka n : banyak titik sampel penyusun Kejadian A N : banyak titik sampel dalam Ruang Sampel (S) Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Fungsi Probabilitas Peluang kejadian A adalah : jumlah peluang semua titik sampel yang menyusun kejadian A sehingga  0  P(A)  1 dengan : P (S) = 1  Peluang Kejadian yang pasti terjadi P () = 0  Peluang Kejadian yang pasti tidak terjadi Probabilitas dari kejadian A  S adalah jumlah dari probabilitas setiap data pada A :

Contoh 2: Berapa peluang memperoleh kartu berwarna As hitam bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge ? Jawab : n = banyak kartu As hitam = 2 dan N = 52 P(AS HITAM) = Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Contoh 3: Terdapat 10 kandidat karyawan yang terdiri dari 6 Sarjana Ekonomi dan 4 Sarjana Teknik. Berapa peluang terpilih 3 orang yang terdiri dari 2 Sarjana Ekonomi dan 1 Sarjana Teknik? Jawab : Semua kandidat berpeluang sama! Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Jawaban contoh 3: (lanjutan) Banyaknya cara Pemilihan 2 dari 6 Sarjana Ekonomi adalah : Banyaknya cara Pemilihan 1 dari 4 Sarjana teknik adalah : Banyaknya cara Pemilihan 2 Sarjana Ekonomi dan 1 Sarjana Teknik = n = 15 x 4 = 60 Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Jawaban contoh 3: (lanjutan) Banyaknya cara Pemilihan 3 dari 10 kandidat karyawan = N = Jadi peluang terpilih 3 orang yang terdiri dari 2 Sarjana Ekonomi dan 1 Sarjana Teknik adalah P(2SE dan 1 ST) = 60/120 = 0.5 Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Probabilitas Kejadian Jika A  S, maka 0 < P(A) < P(S) = 1 Jika S = {x1, x2,…, xn} ruang sampel maka n P(S) =  P(xi) = 1 i =1 Jika Ac adalah komplemen dari A dalam S, maka P(A) + P(Ac) = 1 Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Kejadian dalam Ruang Sampel Jika A1 and A2 kejadian dalam ruang sampel maka P(A1  A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1A2) Diperoleh pula P() = 0 Kejadian A1 and A2 merupakan mutually exclusive jika dan hanya jika A1A2 = . Sehingga : P(A1A2) = P(A1) + P(A2) Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Probabilitas Bersyarat Probabilitas bersyarat adalah probabilitas dari kejadian A yang tergantung pada kejadian lain B. Notasi : P(A|B). Jika P(B) > 0 then P(A|B) = P(AB) / P(B) Dua kejadian A dan B disebut saling bebas jika P(EF) = P(E)P(F) Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Contoh 4: Menurut catatan sebuah Bank, peluang Industri dalam memperoleh kredit yaitu untuk industri Manufaktur adalah 0.35. Sedangkan peluang Industri yang Padat Karya = 0.45. Peluang Industri yang tergolong Manufaktur atau Padat Karya = 0.25. Berapakah Peluang Industri Manufakturing dan Padat Karya memperoleh Kredit? Jawab : (0.35 + 0.45 - 0.25 = 0.55) Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Contoh 5: Berapakah peluang munculnya kartu bernilai 7 berwarna merah (A) atau bernilai 7 berwarna hitam(B) pada pengambilan sebuah kartu secara acak dari seperangkat kartu bridge? Jawab : Pada pengambilan sebuah kartu tidaklah mungkin mendapatkan kartu bernilai 7 berwarna merah sekaligus berwarna hitam (AB=) Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Contoh 6: Sekeping mata uang setimbang dilemparkan 6 kali. Berapa peluang sisi GAMBAR (G) muncul minimal 1 kali P(A)? Jawab : S = {GGGGGG, GGGGGA, ..., AAAAAA} A = Angka G = Gambar banyak anggota S = 26 = 64 Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Jawab contoh 6: (lanjutan) A = kejadian munculnya GAMBAR minimal 1 kali pada pelemparan 6 kali A' = kejadian munculnya GAMBAR = 0 pada pelemparan 6 kali = {AAAAA} P(A') = P(A') = P(A) + P(A') = 1 P(A) = 1 - P(A') = 1 - =

Contoh 7: Terdapat 10 bola terdiri dari 4 bola merah dan 6 bola hitam. Pengambilan sebuah bola dilakukan tanpa pemulihan. Peluang Bola pertama berwarna Merah= P(MERAH) = 4/10 PeluangBolakeduaberwarnaHitam=P(HITAM|MERAH) = 6/9 Peluang Bola ketiga berwarna Hitam = P (HITAMHITAM MERAH) = 3/8 Peluang Bola keempat berwarna Merah = P(MERAH HITAM HITAM MERAH) = 3/7 Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Teorema Bayes’ Ambil himpunan kejadian C1, C2,…, Cn yang saling bebas dan merupakan partisi dari ruang sampel F, maka P(Cj|F) = A / B, dengan A = P(F|Cj)P(Cj) n dan B =  P(F|Ci)P(Ci) i = 1 Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Contoh 8: Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih 0.3, peluang Pak budi terpilih 0.5, dan peluang Pak Cahya terpilih 0.2. jika pak Ali terpilih, peluang kenaikan iuran koperasi adalh 0.8 sedangkan bagi pak Budi dan pak Cahya peluang kenaikan iuran masing-masing 0.1 dan 0.4. beberapa saat kemudian diketahui bahwa iuran koperasi telah naik. Berupa peluangnya pak Cahya yang terpilih menjadi ketua ? Metode Pencacahan/Counting kuliah_10

Jawab contoh 8: Misal A : orang terpilih akan menaikan iuran. B1 = pak Ali terpilih B2 = pak Budi terpilih B3 = pak Cahya terpilih P(B3 | A) = ?

Jawab contoh 8: