Jembatan Königsberg

teoriGRAF

G = (V, E) V = { A, B, C, D } E = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 }

e1=(A,C); e2=(A,A); e3=(A,D); e4=(C,D); e5=(B,C); e6=(B,C) Gambarkan Graf G(V,E) dengan: Terdiri dari 4 simpul: A, B, C, D Terdiri dari 6 sisi, yaitu: e1=(A,C); e2=(A,A); e3=(A,D); e4=(C,D); e5=(B,C); e6=(B,C)

Self-Loop A D B C

terminologiGraf

Bertetangga (Adjacent)

Bersisian (Incidency)

Simpul Terpencil (Isolated Vertex)

Derajat (Degree) d(v) d(v) = din(v) + dout(v)

Lintasan (Path) = 1 n

Lintasan (Path) = 4 n

Cut-Set 3 { } adalah cut-set (1,4) , (1,5) , (2,3) , (2,4)

Graf Berbobot (Weighted Graph) a b c d e

JENIS GRAF Graf tak berarah Graf berarah

simple graph

multigraph

Pseudo graph

Directed graph/ digraph

Directed multigraph

GRAF KHUSUS Graf teratur Graf lingkaran Cn

AdjacencyMatrix

EulerianPath EulerianCircuit EulerianGraph Melalui seluruh edge tepat satu kali EulerianCircuit Lintasan tersebut kembali ke vertex awal EulerianGraph

HamiltonPath & HamiltonCircuit HamiltonGraph

IsomorphicGraph

HomeomorphicGraphs

Definisi : Graf diatas dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul pada kedua graf tersebut dan antara sisi-sisi keduanya sehingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v Suatu graf dapat digambarkan dengan berbagai cara. Dua buah graf dikatakan isomorfik jika memenuhi ketiga syarat berikut (Deo, 1989): 1. Mempunyai jumlah simpul yang sama. 2. Mempunyai jumlah sisi yang sama 3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu

Any question?

REPRESENTASI GRAF PADA MATRIK

PENDAHULUAN Jaringan komputer adalah suatu kumpulan komputer yang saling berkomunikasi satu sama lain dengan menggunakan cara (protokol) tertentu. Komputer pada jaringan komputer dapat berupa router, workstation, modem, printer, dan perangkatperangkat lainnya. Jaringan komputer dapat dimodelkan dengan menggunakan graf. Pemodelan keterhubungan antar router dan algoritma routing yang digunakan, pada suatu jaringan komputer, dapat memanfaatkan teori graf.

PENDAHULUAN Graf digunakan untuk merepresentasikan objek- objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Graf sering digunakan untuk memodelkan jalur transportasi, penjadwalan, jaringan komputer, dan lain sebagainya.

Matriks Adjasensi Matriks Insidensi Matriks Ruas Di dalam suatu graf seringkali perhitungan-perhitungan yang dikerjakan akan lebih sederhana bila graf yang dihadapi dinyatakan dalam bentuk matriks. Bentuk - bentuk representasi matriks dari suatu graf, yaitu: Matriks Adjasensi Matriks Insidensi Matriks Ruas

MATRIK ADJASENSI Matriks Adjasensi dari G dengan ukuran m x m matriks A = [aij] menunjukkan jumlah busur yang menghubungkan vi dan vj. Xij bernilai 1 jika busur (i. j) Î E mempunyai arah dari simpul i Î V ke simpul j Î V, dan bernilai 0 jika tidak ada hubungan sama sekali. Jika loop diberi nilai 2. Jika graf G merupakan graf tak berarah, setiap busur (i, j) dapat dinyatakan sebagai suatu busur dengan dua arah. Dalam hal ini matriks Adjasensi X merupakan matriks simetris.

CONTOH 1 Matriks Adjasensi X dari graf berarah diatas adalah:

CONTOH 2 Matriks Adjasensi X dari graf tak berarah diatas adalah

Matriks Adjasensi X dari graf berarah : Beberapa sifat penting dapat diturunkan dari representasi matriks suatu graf berarah maupun graf tak berarah : Matriks Adjasensi X dari graf berarah : Suatu kolom yang seluruh elemennya bernilai 0 menyatakan suatu sumber. Suatu baris yang seluruh elemennya bernilai 0 menyatakan suatu muara. Jika seluruh elemen diagonal utamanya bernilai 0, maka menyatakan tidak terdapat loop dalam graf tersebut. Sebaliknya, suatu elemen yang tidak bernilai 0 pada diagonal menyatakan suatu loop.

Matriks Adjasensi X dari graf tak berarah : Jika pada graf ditambahkan suatu simpul yang tidak terhubung, maka pada matriks X akan ditambahkan pula baris dan kolom yang seluruh elemennya bernilai 0. Matriks X simetris. Elemen yang tidak bernilai 0 pada diagonal utama menyatakan suatu loop

MATRIK INSIDENSI Secara khusus, jika V(G) = {v1,v2, ..., vm} dan E(G) = {e1, e2, ..., en} kita definisikan sebagai matriks Insidensi dari G dengan ordo m x n. Matriks Insidensi Z dari graf berarah merupakan matriks [zij] di mana zij bernilai 1 jika elemen i insedensi ke dan orientasi meninggalkan simpul j , zij bernilai -1 jika elemen i insedensi ke dan orientasi menuju simpul j dan bernilai 0 jika elemen i tidak insidensi ke simpul j hal34

CONTOH Matriks Insidensi Z dari graf berarah tersebut adalah :

Pada graf berarah : Pada suatu baris yang semua elemen-elemen tidak nolnya adalah 1 menunjukkan bahwa barisan (simpul) merupakan suatu sumber. Suatu baris yang semua elemen-elemen tidak nolnya adalah -1 menunjukkan bahwa baris (simpul) merupakan muara. Jumlah elemen 1 pada suatu baris menunjukkan derajat keluar dari baris (simpul). Jumlah elemen -1 pada suatu baris menunjukkan derajat masuk dari simpul. Setiap kolom mempunyai satu elemen -1 dan satu elemen 1. Hal ini sebagai akibat bahwa setiap busur selalu mempunyai satu simpul awal dan satu simpul akhir.

CONTOH Matriks Insidensi Z dari graf tak berarah adalah matriks [zij] di mana zij bernilai 1 jika simpul i dihubungkan dengan busur dan bernilai 0 jika lainnya

Dari representasi matriks Insidensi Z pada contoh di atas dapat dilihat bahwa : Pada graf tak berarah : Jumlah elemen tidak nol pada suatu baris menunjukkan derajat dari simpul. Setiap kolom mempunyai tepat dua elemen yang tidak nol. Suatu kolom yang hanya mempunyai satu elemen tidak nol menunjukkan suatu gelung.

LATIHAN Tentukan matrik Adjasensi dan Insidensi dari Graf tak berarah Berikut V4 V5 V2 V3 V1 e6 e5 e4 e3 e2 e1 e8 e7 JAWAB

MATRIK RUAS Matriks ukuran (2 X M) atau (M X 2) yang menyatakan ruas dari Graf. Matriks ini tidak dapat mendeteksi adanya simpul terpencil, kecuali jumlah simpul yang terdapat dalam Graf disebutkan.

CONTOH V4 V5 V2 V3 V1 e6 e5 e4 e3 e2 e1 e8 e7 Atau

GRAF PLANAR Sebuah graf dikatakan graf planar bila graf tersebut dapat disajikan (secara geometri) tanpa adanya ruas yang berpotongan. Sebuah graf yang disajikan tanpa adanya ruas yang berpotongan disebut dengan penyajian planar/map/peta.

Pada penyajian planar/map, dikenal istilah region Pada penyajian planar/map, dikenal istilah region. Derajat dari suatu region adalah panjang walk batas region tersebut. CONTOH d ( r1 ) = 3 d ( r2 ) = 3 d ( r3 ) = 4 d ( r4 ) = 4 d ( r5 ) = 3 d ( r1 ) = 3 d ( r2 ) = 3 d ( r3 ) = 5 d ( r4 ) = 4 d ( r5 ) = 3

FORMULA EULER UNTUK GRAF PLANAR Untuk Graf Planar berlaku Formula Euler berikut : V – E + R = 2 Dimana V = jumlah simpul, E = jumlah ruas, R = jumlah region

Jawab 1 Matriks Adjacency Matriks Incidence