Koefisien Binomial Teorema Binomial Bukti (x+y)n = C(n,0)xn + C(n,1)xn-1y + C(n,2)xn-2y2 + … + C(n,n-1)xyn-1 + C(n,n)yn. Bukti Menghitung banyaknya xn-jyj , untuk suatu j=0,1,2,…,n, sama dengan memilih (n-j) buah x dari n suku (sehingga j suku lainnya dalam perkalian adalah y). Jadi koefisien xn-j yj adalah C(n,n-j).
Koefisien Binomial (2) Akibat 1 C(n,j) = C(n,n-j). C(n,0) + C(n,1) + … + C(n,n) = 2n. Bukti Banyaknya cara memilih j dari n elemen sama dengan banyaknya meninggalkan n-j dari n elemen. Pilih x = y = 1. Pilih x = -1 dan y = 1. Pilih x = 1 dan y = 2.
Identitas dan Segitiga Pascal Identitas Pascal Misal n dan k bilangan bulat positif, n k. Maka, C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k). Bukti Pandang T himpunan dengan n+1 elemen, aT. Misal S = T-{a}. Ada C(n+1,k) buah subhimpunan dari T yang mempunyai k elemen. Suatu subhimpunan dari T dgn k elemen dapat memuat a dan (k-1) elemen S atau memuat k elemen S tanpa memuat a. Jadi, C(n+1,k) = C(n,k-1)+C(n,k).
Identitas Vandermonde Misal m, n dan r bilangan bulat positif, m r dan n r. Maka, Bukti Pandang dua himpunan A dengan m elemen dan B dengan n elemen. Maka banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB adalah C(m+n,r). Cara lain untuk memilih r elemen dari AUB adalah dengan memilih k elemen dari B dan kemudian r-k elemen dari A, dengan k bilangan bulat, 0≤k≤r. Banyaknya cara untuk melakukan pemilihan tersebut adalah C(m,r-k)C(n,k). Jadi banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB adalah
C(2n,n) = C(n,0)2 + C(n,1)2 + … + C(n,n)2 Soal 1 Buktikan C(2n,n) = C(n,0)2 + C(n,1)2 + … + C(n,n)2 dengan 3 cara: Menggunakan Identitas Vandermonde. Memandang pemilihan n orang dari 2n orang yg terdiri dari n pria dan n wanita
Perluasan permutasi dan kombinasi Permutasi dengan pengulangan Kombinasi dengan pengulangan Permutasi dengan obyek yang tidak dapat dibedakan Distribusi obyek ke dalam kotak
Permutasi dengan pengulangan Contoh 1 Berapa banyak string panjang n yang dapat dibentuk dari alfabet ? Karena ada 26 huruf dalam alfabet dan karena setiap huruf dapat digunakan berulang maka ada 26n string panjang n. Teorema 3 Jumlah permutasi-r dari himpunan dengan n anggota yang memperbolehkan pengulangan adalah nr.
Kombinasi dengan pengulangan Contoh 2 Ada berapa cara untuk memilih 3 buah dari wadah yang berisi rambutan, duku, pisang, dan manggis, jika urutan pengambilan tidak penting, dan setidaknya ada 4 buah dalam setiap jenis buah.
Contoh 3 Ada berapa cara untuk memilih 5 lembar uang kertas dari kotak yg memuat lembaran $1, $2, $5, $10, $20, $50 dan $100? Asumsikan bahwa urutan pengambilan tidak penting dan ada sedikitnya 5 lembar uang kertas utk masing-masing pecahan. Solusi Karena urutan tidak penting dan ke-7 macam uang kertas tersebut dapat dipilih hingga 5 kali, maka problem ini sama dengan menghitung kombinasi-5 dengan pengulangan dari himpunan dengan 7 elemen. Misal kotak mempunyai 7 bagian dan setiap bagian menyimpan 1 macam uang, maka bagian-bagian tersebut dipisahkan oleh 6 pemisah.
Contoh 3 (2) Memilih 5 uang kertas sama artinya dengan menempatkan 6 pemisah dalam 11 tempat (5* + 6|). | | | ** | | | *** : 3 $1 + 2 $10 *| * | ** | | * | | : $5 + 2 $20 + $50 + $100 Jadi banyaknya cara memilih 5 uang kertas = banyaknya cara menempatkan 6 pemisah dalam 11 tempat = C(11,6) = 462.
Kombinasi dengan pengulangan (2) Teorema 4 Terdapat C(n+r-1,r) kombinasi-r dari himpunan dengan n anggota yang memperbolehkan pengulangan anggota. Contoh 4 Ada berapa banyak solusi dari x1 + x2 + x3=11, jika x1, x2, x3 bil bulat nonnegatif ? Solusi Menghitung solusi = menghitung cara memilih 11 bintang dari himpunan 13 elemen (11 bintang + 2 pemisah). Jadi terdapat C(13,11) macam solusi.
Soal 2 Ada berapa banyak solusi dari x1 + x2 + x3 ≤ 11, bila x1, x2, x3 bilangan bulat nonnegatif? x1 + x2 + x3= 11, bila x1, x2, x3 bilangan bulat dan x1 1, x2 2 dan x3 3 ?
Permutasi dan kombinasi dengan pengulangan Tipe Pengulangan? Rumus r-permutasi Tidak r-kombinasi Ya
Permutasi dengan obyek yang tak dapat dibedakan Contoh 5 Ada berapa banyak string yang dapat dibuat dengan mengatur kembali huruf-huruf pada kata SUCCESS ? Solusi Karena ada beberapa huruf yg sama, maka jawabannya tidaklah sama dengan permutasi 7 huruf. Tapi, banyaknya adalah: C(7,3) utk menempatkan 3 S dalam 7 tempat; C(4,2) utk menempatkan 2 C dalam 4 tempat sisanya; C(2,1) utk menempatkan 1 U dalam 2 tempat sisanya; C(1,1) utk menempatkan 1 E dalam 1 tempat sisanya; Jadi banyak string ada: C(7,3).C(4,2).C(2,1).C(1,1) = 420.
Permutasi dengan obyek yang tak dapat dibedakan (2) Teorema 5 Jumlah permutasi dari n obyek, di mana terdapat n1 obyek tipe 1, n2 obyek tipe 2, … , dan nk obyek k, adalah:
Distribusi obyek ke dalam kotak Contoh 6 Ada berapa banyak cara untuk mendistribusikan satu set kartu pada 4 orang pemain sehingga setiap pemain mendapatkan 5 kartu? Solusi Pemain pertama memperoleh 5 kartu dalam C(52,5) cara Pemain kedua memperoleh 5 kartu dalam C(47,5) cara Pemain ketiga memperoleh 5 kartu dalam C(42,5) cara Pemain keempat memperoleh 5 kartu dalam C(37,5) cara Jadi, secara keseluruhan banyaknya cara adalah C(52,5) . C(47,5) . C(42,5) . C(37,5)
Distribusi obyek ke dalam kotak Teorema 6 Banyaknya cara untuk mendistribusikan n obyek yang dapat dibedakan ke dalam k kotak yang dapat dibedakan sehingga ni buah obyek ditempatkan dalam kotak i, i=1,2,…,k adalah
Soal-soal Latihan 4.5.11 Ada berapa cara untuk memilih 8 uang logam dari sebuah celengan yang berisi 100 uang logam Rp. 500 yang identik dan 80 uang logam Rp. 1000 yang identik. (Solusi: 9) Latihan 4.5.17 Ada berapa string dari 10 digit terner (0,1, atau 2) yang memuat tepat dua digit 0, tiga digit 1, dan lima digit 2? (Solusi: 2520) Latihan 4.5.25 Ada berapa banyak bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 1000000 dengan jumlah dari digit-digitnya adalah sama dengan 19? Latihan 4.5.13 Suatu penerbit mempunyai 3000 buku Matematika Diskrit. Ada berapa cara menyimpan buku-buku tersebut ke dalam tiga gudang jika setiap buku tidak dapat dibedakan? (Solusi: 4504501) Latihan 4.5.39 Ada berapa cara untuk berjalan dari titik (0,0,0) ke (4,3,5) di ruang xyz dengan melangkah sebesar 1 satuan ke arah x positif, 1 satuan ke arah y positif, dan 1 satuan ke arah z positif.