Analysis of Algorithm KULIAH #2

Analysing Control Structure  SEQUENCING, misal P1 dan P2 : dua bagian algoritma (bisa single instruction atau complicated subalgorithms). Misal t1 dan t2 masing-masing waktu yang diperlukan oleh P1 dan P2.  SEQUENCING RULE : waktu yang diperlukan untuk compute “P1; P2” (P1 kemudian P2) adalah t1+t2. Dengan “maximum rule”, waktunya dalam Θ(max(t1,t2)).  Kemungkinan : parameter yang mengendalikan t2 tergantung pada hasil computation yang dilakukan oleh P1. Sehingga, analysis “P1; P2” tidak selalu bisa dilakukan dengan menganggap P1 dan P2 secara independent.

Analysing Control Structure (1)  “FOR” LOOP, perhatikan loop for i  1 to m do P(i) (convention : untuk m=0 tidak “error”, hanya statemen terkontrol P(i) sama sekali tidak dieksekusi).  Misal size instance n, P(i) tidak benar-benar tergantung pada i, t waktu untuk compute P(i).  Maka total waktu yang diperlukan loop adalah l=mt. (kemungkinan ada “pitfall”, karena tidak memperhitungkan waktu yang diperlukan untuk “loop control”.)

Analysing Control Structure (2)  “for loop”, merupakan “shorthand” untuk i  1 while i  m do P(i) i  i+1  Misal c : upper bound on the time requeired by each operation, maka l  (t+3c)m + 2c = mt +3cm + 2c.  Jika c bisa diabaikan dibanding t, maka secara kasar l =mt (kecuali jika m=0).

Analysing Control Structure (3)  Analysis “for loop”. Jika t(i) yang diperlukan oleh P(i) berubah sebagai fungsi i. (umumnya, waktu yang diperlukan oleh P(i) bisa tergantung tidak hanya pada i, juga instance size n atau bahkan instance itu sendiri).  Jika waktu untuk “loop control” diabaikan, selama m  1, maka loop yang sama for i  1 to m do P(i) akan memerlukan waktu : t(1) + t(2) + … + t(m).

Analysing Control Structure (4)  Perhatikan algoritma function FibIter(n) i  1; j  0 for k  1 to n do j  i+j i  j-i return j  Instruksi di dalam “loop” membutuhkan waktu konstan, misal terbatas atas oleh suatu konstan c. Dengan mengabaikan waktu untuk “loop control”, maka waktu akan terbatas atas oleh nc.  Karena instruksi sebelum dan sesudah “loop” diabaikan, maka algoritma memerlukan waktu dalam O(n).

Analysing Control Structure (5)  Dengan Moivre’s formula : ukuran f k berada dalam Θ(k). Sehingga, iterasi ke-k memerlukan waktu Θ(k-1) + Θ(k), atau sama dengan Θ(k).  Misal c : konstan sedemikian hingga waktu ini terbatas atas oleh ck untuk semua k  1.  Jika waktu untuk “loop control”, instruksi sebelum dan sesudah “loop” diabaikan, maka waktu yang dibutuhkan algoritma terbatas atas oleh  k=1..n ck = c[n(n+1)/2]  O(n 2 ).  Alasan serupa menghasilkan  (n 2 ), sehingga waktu yang dibutuhkan algoritma dalam Θ(n 2 )

Analysing Control Structure (6)  Ada perbedaan besar, antara analysis FibRec yang memperhitungkan operasi aritmatik sebagai “unit cost” dengan yang tidak memperhatikannya.  Analysis “for loop” yang mulainya selain dari 1, bertambah dengan pertambahan lebih besar. Misal, for i  5 to m step 2 do P(i)  Untuk m  3, P(i) akan dieksekusi sebanyak ((m-5)  2) + 1 kali.

Analysing Control Structure (7)  RECURSIVE CALL, perhatikan algoritma FibRec berikut function FibRec(n) if n<2 then return n else return FibRec(n-1)+FibRec(n-2)  Misal T(n) : waktu untuk “call on” FibRec(n).  Jika n<2, algoritma hanya mengembalikan n, yang memerlukan waktu konstan a.  Jika n  2, kebanyakan kerja dilakukan untuk dua “recursive calls”, yang masing-masing memerlukan waktu T(n-1) dan T(n-2).

Analysing Control Structure (8)  Ditambah satu addition f n-1 dan f n-2 (nilai-nilai kembalian oleh “recursive calls”), “recursion control”, dan test ”if n < 2”.  Misal h(n) : kerja yang melibatkan operasi- operasi di atas. Maka dengan definisi T(n) dan h(n) akan didapat rekursi berikut T(n) = a, jika n=0 atau n=1 T(n) = T(n-1) + T(n-2) + h(n), jika n=2,3,…

Analysing Control Structure (9)  WHILE and REPEAT LOOPs, lebih sulit untuk dianalisa dibanding dengan FOR LOOP. Perhatikan algoritma berikut function Bin_Search(T[ 1..n ],x) i  1; j  n while i<j do {T[i]  x  T[j]} k  (i+j)  2 case x<T[k] : j  k-1 x=T[k] : i, j  k x>T[k] : i  k+1 return i  Misal d l : nilai j-i+1 di akhir perjalanan ke- l seputar loop untuk l  1 dan misal d 0 =n. Karena d l - 1 nilai j-i+1 sebelum mulai iterasi ke- l, maka d l  d l- 1 / 2 ntuk semua l  1. Dengan induksi matematika maka didapat d l  n / 2 l.

Analysing Control Structure (10)  Loop terminate ketika d  1, yang terjadi ketika l =  lg n . Jadi loop akan dimasuki paling banyak  lg n  kali. Karena masing- masing perjalanan seputar loop memakan waktu konstan, maka “binary search” memakan waktu dalam O(log n).  Alasan serupa menghasilkan batas bawah  (log n), sehingga binary search memakan waktu Θ(log n).

Using a Barometer  Barometer instruction : instruction yang dieksekusi paling sedikit sesering instruction lain dalam algoritma.  Ketika algoritma melibatkan beberapa “nested loops”, maka setiap instruction dari “innermost loop” biasanya bisa digunakan sebagai “barometer”.

Supplementary Examples  SELECTION SORT, perhatikan procedure select(T[1..n]) for i  1 to n-1 do minj  I; minx  T[i] for j  i+1 to n do if T[j]<minx then minj  j minx  T[j] T[minj]  T[i] T[i]  minx

Supplementary Examples (1)  SELECTION SORT, waktu yang diperlukan oleh masing-masing putaran “inner loop” tidak konstan – khususnya jika T[j]<minx – tapi terbatas atas oleh suatu konstanta c. Untuk masing-masing i, instruksi dalam “inner loop” dieksekusi n-(i+1)+1=n-i kali. Sehingga, waktu yang diperlukan oleh “inner loop” adalah t(i)  (n- i)c. Waktu yang diperlukan putaran ke-i di “outer loop” terbatas atas oleh b+t(i) untuk konstanta b yang tepat.

Supplementary Examples (2)  SELECTION SORT, Sehingga, total waktu yang dihabiskan algoritma terbatas atas oleh ½ cn 2 + (b – ½ c)n – b. Atau berada dalam O(n 2 ), secara serupa dalam  (n 2 ). Jadi berada dalam Θ(n 2 ).  Jika “innermost test – if T[j]<minx” sebagai barometer, dan menghitung banyaknya kali test tersebut dieksekusi.  Yaitu,  i=1..n-1  j=i+1..n 1 = n(n-1)/2

Supplementary Examples (3)  INSERTION SORT, perhatikan procedure insert(T[1..n]) for i  2 to n do x  T[i]; j  i-1 while i> 0 and x<T[j] do T[j+1]  T[j] j  j-1 T[j+1]  x  Barometer : banyaknya kali “while loop condition” ditest.

Supplementary Examples (4)  Asumsi i fixed, x = T[i].  Worse case muncul ketika x < T[j] untuk setiap j antara 1 dan i- 1, karena harus membandingkan x dengan T[i-1], T[i-2], …, T[1] sebelum meninggalkan loop “while”. Sehingga, “while loop test” dikerjakan i kali.  Worse case terjadi untuk setiap nilai i dari 2 sampai n.  Sehingga “barometer test” dikerjakan dalam  i=2..n i = n(n+1)/2 – 1 kali.

Supplementary Examples (4)  EUCLID’S ALGORITHM, perhatikan function Euclid(m,n) while m> 0 do t  m m  n mod m n  t return n  Untuk setiap dua bilangan bulat m dan n, dengan n  m, maka berlaku n mod m < n/2.

Supplementary Examples (5)  EUCLID’S ALGORITHM,  Jika m>n/2, maka 1  n/m<2, sehingga n  m=1, yang berakibat bahwa n mod m = n- m  (n  m) = n-m < n-n/2 = n/2.  Jika m  n/2, maka n mod m <m  n/2.  Dengan tanpa mengurangi generality, asumsikan n  m (jika n<m, putaran pertama loop akan swap m dan n. Karena n mod m = n ketika n < m).

Supplementary Examples (6)  Kondisi di atas, dipertahankan di masing- masing loop, karena n mod m tidak pernah lebih dari m.  Total waktu yang digunakan algoritma adalah dalam order banyaknya putaran loop. Misal # of trips around the loop terbatas atas oleh function of n.  Apa yang terjadi dengan m dan n setelah putaran loop kedua (misal, algoritma belum berhenti).

Supplementary Examples (7)  Misal m 0 dan n 0 nilai-nilai awal parameter, setelah putaran pertama m menjadi n 0 mod m 0. Setelah putaran ke-2, n mengambil nilai n 0 mod m 0. Sehingga n menjadi < n 0 /2, dengan kata lain nilai n paling tidak menjadi separoh setelah putaran ke-2. Akan tetapi, masih berlaku n  m sehingga argumentasi serupa masih diterapkan lagi.  Kesimpulan : loop akan dimasuki secara kasar paling banyak 2 lg n kali.

Supplementary Examples (8)  THE TOWERS OF HANOI, contoh analisa “recursive algorithm”.  Generalisasi permasalahan, an arbitrary number n of rings.  Solusi : untuk memindahkan m rings yang lebih kecil dari tiang i ke tiang j, pertama-tama dipindahkan m-1 rings yang lebih kecil dari tiang k ke tiang j. (Ada tiga buah tiang (rod) i, j, dan k).

Supplementary Examples (9)  THE TOWERS OF HANOI, perhatikan procedure Hanoi(m,i,j) { memindah m smallest rings dari tiang i ke tiang j } if m> 0 then Hanoi(m-1,i,6-i-j) write i “  ” j Hanoi(m-1,6-i-j,j)  Untuk menganalisa waktu eksekusi algoritma di atas, instruksi write digunakan sebagai “barometer”.

Supplementary Examples (10)  THE TOWERS OF HANOI,  Misal t(m) : # of times call of Hanoi(m,.,.) dieksekusi. Dengan pengamatan terhadap algoritma, maka t(m) = 0, jika m= 0 t(m) = 2t(m-1) + 1, jika m> 0  Selanjutnya bisa diperlihatkan bahwa t(m) = 2 m – 1.