MODUL 11 9 PELUANG BESYARAT Peluang bersyarat yaitu peluang terjadinya kejadian B bila suatu kejadian lain A telah terjadi dan dilambangkan dengan P(BA). Lambang P(BA) dibaca “peluang terjadinya B bila A telah terjadi” atau lebih singkat lagi “peluang B, bila A diketahui”. Contoh: Kejadian B berupa diperolehnya bilangan kuadrat murni bila sebuah dadu dilemparkan. Misalkan dadu ini dibuat sedemikian rupa sehingga peluang munculnya bilangan genap dua kali lebih besar daripada bilangan ganjil. Berdasarkan ruang contoh S= {1,2,3,4,5,6} dengan peluang bagi bilangan ganjil dan genap masing- masing 1/9 dan 2/9, maka peluang terjadinya B adalah 1/3. (Angka 9 diperoleh dari: jumlah bilangan ganjil ada 3 berarti peluang munculnya = 3, jumlah bilangan genap juga 3, peluang munculnya = 3 x 2 = 6, sehingga total = 9). Sekarang misalkan diketahui bahwa bilangan yang muncul lebih besar dari 3. Ini berarti kita bekerja dengan ruang contoh yang dipersempit, yaitu: A = {4,5,6}, yang merupakan himpunan bagian S. Untuk menghitung peluang terjadinya B relatif terhadap ruang contoh A, pertama-tama kita harus memberikan peluang baru bagi unsur-unsur A yang sebanding dengan peluang semula dan jumlahnya harus sama dengan 1. Dengan memberikan bilangan w pada bilangan ganjil dalam A dan peluang 2w pada bilangan genap, kita mendapatkan 5w = 1 atau w = 1/5. Relatif terhadap ruang contoh A, ternyata B hanya berisi satu unsur yaitu 4. Dengan melambangkan kejadian ini dengan BA, maka BA = {4}, sehingga: P(BA) = 2/5. Contoh ini memberikan pengertian kepada kita bahwa kejadian mungkin saja mempunyai peluang yang berbeda bila dipandang relatif terhadap ruang contoh yang berbeda. Kita juga dapat menuliskan: 2  9 PA B 5 PA 2 5 P(BA) , PA 0. 9 PA B dan PA dihitung berdasarkan ruang contoh S. Contoh lain: Misalkan ruang contoh S terdiri dari populasi sarjana di suatu kota. Populasi tersebut dikategorikan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan: PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB http://www.mercubuana.ac.id Sarwati Rahayu, ST. MMSI. STATISTIK DAN PROBABILITAS 1

Karena kartu pertama kemudian dikembalikan, ruang contoh untuk pengambilan pertama dan kedua sama yaitu 52 kartu yang mempunyai 4 ace dan 13 sekop. Jadi: 13 52 1 4 P(BA) =  13 52 1 4 P(B) =  Jadi P(BA) = P(B) maka kejadian A dan B bebas. Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus, maka: P(AB) = P(AB) = P(A) P(BA) Contoh: Misalkan terdapat sebuah kotak berisi 20 sekering yang 5 di antaranya rusak. Bila 2 sekering diambil secara acak dan tanpa pemulihan, berapa peluang sekering yang terambil itu keduanya rusak? Jawab: Misalkan A kejadian bahwa sekering yang pertama rusak, dan B bahwa sekering kedua rusak; maka AB dapat ditafsirkan sebagai A terjadi dan kemudian B terjadi setelah A terjadi. Peluang mendapatkan sekering rusak pada pengambilan pertama adalah ¼ dan peluang mendapatkan sekering rusak pada pengambilan kedua  1 4 1    4 19 19 adalah 4/19. Sehingga: PA B Bila pada contoh sekering rusak tersebut, pengambilan pertama dikembalikan lagi maka peluang untuk mendapatkan sekering rusak pada pengambilan kedua tetap sebesar ¼, sehingga P(BA) = P(B) dan kedua kejadian A dan B dikatakan bebas. Pada kondisi demikian, yaitu A dan B bebas, maka: P(AB) = P(A) P(B) Selanjutnya dapat pula dikatakan, bila dalam suatu percobaan kejadian- kejadian A1, A2, …., Ak bebas, maka: P(A1A2A3…Ak) = P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)…P(AkA1A2…Ak-1). Jika kejadian-kejadian A1, A2,….,Ak bebas, maka: P(A1A2…Ak) = P(A1) P(A2) P(A3)…P(Ak). PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB http://www.mercubuana.ac.id Sarwati Rahayu, ST. MMSI. STATISTIK DAN PROBABILITAS 3

C. PERISTIWA INDEPENDENT / BEBAS 1. Apabila diketahui bahwa kemungkinan si A akan hidup 25 tahun lagi = 0,65 dan kemungkinan si B akan hidup 25 tahun lagi -= 0,25. Berapakah probabilitas bahwa si A dan Si B akan hidup 25 tahun lagi? P(A B) = 0,65 x 0,25 = 0,1625 D. PERISTIWA DEPENDENT / BERSYARAT 1. Kita mengambil secara acak 2 kartu berturut-turut dari kumpulan kartu bridge. Berapa probabilitasnya bahwa pengambilan kartu pertama berupa kartu AS, yang kedua juga kartu AS. Hasil pengambilan pertama tidak dikembalikan. P(A) = Peluang terambilnya kartu AS pada pengambilan pertama. P(A) = 4/52 P(B/A) = Peluang terambilnya kartu AS pada pengambilan kedua. P(B/A) = 3/51 P(A B) = P(A) x P(B/A) = 4/52 x 3/51 = 0,0045 Ruang Sampel Untuk Eksperimen Pelemparan Dadu II I 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 I II 23 = dadu pertama = dadu kedua = dadu pertama keluar mata dua, dadu kedua keluar mata tiga. PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB http://www.mercubuana.ac.id Sarwati Rahayu, ST. MMSI. STATISTIK DAN PROBABILITAS 5