THE RATIO ESTIMATOR VARIANCE DAN BIAS RATIO PENDUGA SAMPEL VARIANCE PENDAHULUAN VARIANCE DAN BIAS RATIO PENDUGA SAMPEL VARIANCE RASIO PENDUGA RASIO DALAM STRATIFIED RANDOM SAMPLING

ESTIMASI RASIO (1) Metode sampling digunakan dengan maksud merencanakan sampel yg paling efisien (meminimumkan kesalahan sampling), dengan menggunakan sebanyak mungkin informasi yg tepat sesuai dengan obyek dan tujuan survei Seperti Stratified Sampling, PPS Sampling, menggunakan auxilary information (informasi tambahan) Peningkatan efisiensi juga dikembangkan pada estimasi Rasio yg menggunakan informasi tadi sebagai varibel pembantu dalam estimasi.

ESTIMASI RASIO (2) Apabila akan menggunakan metode sampling seperti Stratified Sampling, PPS Sampling dan Estimasi Rasio, informasi harus tersedia pada setiap unit yg akan dijadikan :dasar stratifikasi (Stratified Sampling), atau penghitungan peluang terpilihnya satu unit (PPS Sampling) atau penerapan estimasi rasio.

  ESTIMASI RASIO (3): Ratio Estimator adalah suatu metode estimasi dengan mengambil manfaat hubungan yang kuat antara variabel pendukung, xi, dengan variabel yang diteliti, yi, (Jumlah populasi X dari xi harus diketahui) yang bertujuan memperoleh peningkatan penelitian. Ratio biasanya dihitung mendasarkan perubahan suatu karakteristik dari waktu ke waktu, hal ini bermanfaat terutama untuk survei-survei yang mencakup dua periode waktu yang berbeda dengan melihat perkembangan dari suatu karakteristik.  

ESTIMASI RASIO (4) Dengan menggunakan Estimasi Rasio, misalnya kita dapat memperoleh informasi mengenai perkembangan banyaknya Ruta/penduduk, lahan pertanian, besarnya pembayaran upah dan gaji, dan rata-rata penghasilan Ruta. Untuk data semacam ini Estimasi Rasio akan lebih efisien, karena yg diharapkan adalah gambaran perubahannya, dengan tidak menutup kemungkinan mendapatkan estimasi total.

Notasi (1) yi = nilai karakteristik yang diteliti untuk unit ke-i dari populasi. xi = nilai karakteristik pembantu pada unit yang sama Y = jumlah/total karakteristik y X = jumlah/total karakteristik x R = Y/X = Y/X = rasio dari total atau rata-rata dari karakteristik y dan x  = koefisien korelasi antara y dan x

Notasi (2) Andai kita ingin mengestimasi Y atau Y atau R dengan penarikan simple random sampling dari n unit yang berasal dari populasi maka:

ESTIMASI RASIO pada DATA AGREGAT Diantara metode sampling yang ada Estimasi Rasio paling banyak dipakai dan penerapannya paling mudah Estimasi Rasio cocok apabila unit-unit populasi mempunyai karakteristik yang berkorelasi positif. Bentuk Sederhana dari Estimasi Rasio :

TIGA KONDISI ESTIMASI RASIO Rasio terhadap dua buah karakteristik yang sama pada periode sebelumnya Rasio dua buah karakteristik yang berhubungan pada periode yang sama Rasio dari suatu sub set total

Rasio Terhadap Karakteristik Yang Sama X dan Y sama jenis karakteristiknya, namun X berasal dari periode yang sebelumnya. Misal X: Penduduk tahun 2000 Y: Penduduk tahun 2009

Rasio dari Dua Karakristik Yang Berhubungan X dan Y merupakan 2 buah karakteristik yang berasal dari periode yang sama dan berkorelasi positif. Misal, X: luas lahan pertanian yang dikuasai Y: banyaknya pupuk yang digunakan

Rasio Dari Suatu Sub Set Total Karakteristik Y merupakan bagian (sub set dari X) yang diperkirakan perubahannya sebanding dengan X. Misal, X: jumlah penduduk Y: angkatan kerja

Bias pada estimasi ratio (1) Secara umum, perkiraan rasio mempunyai suatu bias kira-kira sebesar 1/n. Karena kesalahan baku perkiraan adalah sebesar 1/n, nilai (bias/kesalahan baku) juga sebesar 1/n dan menjadi tidak berarti bila n besar. Pada penarikan sampel acak sederhana tanpa pemulihan, penduga bias rasio adalah: Bukti: Kita ketahui bahwa,

Bias pada estimasi ratio (2) Pendekatan orde pertama bias relatif penduga rasio dalam penarikan sampel acak sederhana tanpa pengembalian adalah: dimana: Sehingga:

Pendekatan Penduga Variance Rasio (1) Penduga rasio merupakan penduga yang bias, tetapi dari segi aplikasi bila memenuhi persyaratan adanya korelasi yang besar dan positif antara x dan y, maka penggunaan estimasi rasio akan sangat efisien. Hal ini akan tergambar dalam penghitungan varians. Apabila diperhitungkan dari populasi, maka: A. Sampling varians bagi rasio R adalah:

Pendekatan Penduga Variance Rasio (2) B. Sampling varian bagi rata-rata adalah: C. Sampling varian bagi total ratio adalah: Koefisien korelasinya adalah:

Penduga Sampel Varian Rasio A. Sampling varians bagi rasio R adalah: B. Sampling varian bagi rata-rata adalah: C. Sampling varian bagi total ratio adalah: Koefisien korelasinya adalah:

Contoh Soal (1) Dari hasil wawancara terhadap 8 rumah tangga tani diperoleh luas lahan dan produksi padi per wilcah seperti dalam tebel berikut: Berdasarkan data tersebut, bila nomor urut 1, 5 dan 7 terpilih sebagai sampel, perkirakan total produksi panen beserta se-nya! Jawab:

Contoh Soal (2)

Selang Kepercayaan Untuk ukuran sampel n besar, dugaan bagi rata-rata atau total dapat diasumsikan memiliki sebaran normal. Dengan demikian selang kepercayaan untuk penduga-penduga tersebut adalah sebagai berikut: A. Selang kepercayaan (1-)100% bagi rasio R adalah: B. Selang kepercayaan (1-)100% bagi rata-rata adalah: C. Selang kepercayaan (1-)100% bagi total ratio adalah:

Contoh Soal: Berdasarkan contoh soal sebelumnya, dengan tingkat keyakinan sebesar 95% perkirakan interval untuk totalnya! Jawab: Kesimpulan: Dengan tingkat keyakinan sebesar 95%, total produksi padi dari 8 rumah tangga tani diperkirakan berkisar antara 426,75 sampai 496,32.

Perbandingan antara Varian Rasio dengan SRS Agar estimasi rasio lebih efisien dari SRS, maka: Dengan demikian, bila:  > Cx/2Cy, maka estimasi rasio lebih efisien = Cx/2Cy, maka kedua estimasi memiliki kesalahan sampling sama < Cx/2Cy, maka estimasi rasio kurang efisien

Perbandingan antara Varians Rasio dan SRS Jadi, dalam hal ini besarnya korelasi sangat mempengaruhi efisiensi dugaan. Korelasi ini dapat dipelajari dari berbagai sumber. Di Indonesia telah banyak dilakukan berbagai sensus dan survei. Dari data yang telah ada dapat dipelajari besaran dari korelasi untuk penyempurnaan penggunaan estimasi rasio.

Perbandingan antara Varian Rasio dengan SRS (lanjutan) Dari data yang telah ada dapat dipelajari besaran dari korelasi untuk penyempurnaan penggunaan estimasi rasio. Korelasi yang tinggi antara X dan Y Korelasi yang tinggi akan sangat mempengaruhi penurunan ragam. Bila korelasi antara X dan Y lebih dari 0,90 maka estimasi rasio akan menghasilkan akurasi yang berarti. Untuk menghasilkan ragam yang sama dengan SRS, maka nRasio=1/5 nSRS untuk  = 0,90 dengan kondisi Cx=Cy. Korelasi yang rendah antara X dan Y Bila korelasi kurang dari 0,20 kemungkinan estimasi akan meningkatkan varian, meskipun umumnya tidak terlalu besar.

Penduaga Rasio dalam Stratified Random Sampling. A. Separate Ratio Estimator Bila ym dan xm menyatakan total dalam sampel pada lapisan ke-m dan Xm adalah total pada lapisan ke-m, maka penduga total rasio (s menyatakan separate) adalah: Jika ukuran sampel tiap strata besar dan pengambilan sampel SRS-WOR dilakukan secara independen pada tiap strata, maka penduga adalah bias (bias dapat diabaikan) dengan varians sampel:

B. Combined Ratio Estimator (1) Pada separate ratio estimator, diasumsikan ukuran sampel tiap strata besar, namun prakteknya hal tersebut sulit dipenuhi karena masalah biaya yang terbatas. Untuk mengatasi masalah tersebut, Hansen, Hurwitz dan Grurney (1946) menyarankan combined ratio estimator pada rancangan acak berlapis. dimana:

B. Combined Ratio Estimator (2) Jika ukuran sampel n besar dan pengambilan sampel SRS-WOR dilakukan secara independen pada tiap strata, maka penduga adalah konsisten dengan varians sampel:

Kesimpulan: Jika sampel setiap strata kecil, gunakan combined ratio estimator, kecuali ada perbedaan yang besar antara rasio tiap strata. Jika ukuran sampel setiap strata besar, lebih baik gunakan separate ratio estimator, kecuali sulit melakukan penghitungannya. Jika ini terjadi, pastikan keuntungannya sebelum menggunakan. Jika Xm diketahui independen dari strata ke strata, gunakan separate ratio estimator. Ketika Xm=Nm, estimator menjadi sama dengan estimator strata dan tidak masalah dengan bias dari estimasinya. Jika sampling unitnya adalah elementary units dan denominator dari rasio adalah jumlah dari elementary units dalam sampel, kedua estimatornya adalah unbiased. Dalam kasus ini, estimator yang dipilih harus mempertimbangkan varians dan keuntungan yang diperoleh.