PROBABILITY PROPORTIONAL TO SIZE (PPS) SAMPLING PPS-WR PPS-WOR

DEFINISI Sampling with Probability Proportional to Size (PPS) adalah suatu prosedur penarikan sampel dimana peluang terpilihnya suatu unit sampel sebanding dengan ukuran Ukuran yang dimaksud adalah informasi tambahan (auxiliary information) yang dipertimbangkan sebagai dasar penarikan sampel dan memiliki korelasi yang erat dengan variabel-variabel yang akan diteliti.

Variabel yang diteliti   Beberapa contoh variabel yang diteliti dan variabel tambahan Variabel yang diteliti Variabel tambahan Penduduk sekarang Penduduk sensus sebelumnya/luas geografi Jumlah kelahiran sekarang sebelumnya Total pendapatan Luas panen Total luas yang ditanami Produksi pabrik Jumlah pekerja  

ALASAN Untuk memperoleh suatu metode pemilihan yang akan memberikan penduga rata-rata populasi yang tak bias (unbiased estimator) Mempunyai ketepatan yang lebih tinggi dari metode-metode yang lain. Memiliki keuntungan lebih lanjut dengan memberikan penduga-penduga rata-rata dan varians populasi yang sangat sederhana.

PROSEDUR PEMILIHAN UNIT SAMPEL Pemilihan dari suatu daftar (LIST) Pemilihan dari suatu peta (MAP) Pemilihan secara sistematis

PEMILIHAN DARI SUATU DAFTAR (LIST) METODE KUMULATIF METODE LAHIRI

METODE KUMULATIF 1. Buat jumlah kumulatif dari ukuran yang digunakan untuk dasar penarikan sampel untuk seluruh unit dalam populasi. 2. Ambil angka random dari 1 sampai X. 3. Bila , maka unit ke-i terpilih, bila kondisi itu tidak terpenuhi, ulangi langkah ke-2. 4. Ulangi langkah ke-2 hingga n unit sampel terpilih.

METODE LAHIRI 1. Ambil dua angka random secara serentak, yaitu: AR1: antara 1 sampai N, untuk nomor urut unit sampling dalam populai AR2: antara 1 sampai Xmaks, untuk penarikan sampel dimana Xmaks adalah nilai maksimum dari Xi. 2. Bila AR1 = i dan AR2 ≤ Xi , maka unit ke-i dipilih, bila kondisi itu tidak terpenuhi, ulangi langkah ke-1. 3. Ulangi langkah ke-1 hingga n unit sampel terpilih.

Pemilihan dari suatu peta (MAP)   Pemilihan dari suatu peta (MAP) Prosedur ini dipakai untuk pemilihan unit-unit wilayah geografis dari sebuah peta dengan peluang proporsi terhadap luas (area)  Probability Proportional to Area. Ambil dua angka random secara serentak, yaitu: AR1: antara 1 sampai panjang desa AR2: antara 1 sampai lebar desa Sepasang angka random terpilih akan menem-patkan suatu titik pada peta, dan sawah dimana titik itu jatuh akan terpilih Ulangi langkah ke-1 hingga n unit sampel terpilih.  

Contoh: Pemilihan dari suatu peta (MAP)   Contoh: Pemilihan dari suatu peta (MAP) Gambar berikut adalah peta dari 12 sawah dalam suatu desa. 2 1 4 3 5 6 9 7 8 12 11 10 Misal AR1 = 6 dan AR2 =5, maka ko- ordinatnya adalah (6,5). Selanjutnya sawah yang terpi- lih adalah sawah no 4.  

PEMILIHAN SECARA SISTEMATIS Buat jumlah kumulatif dari ukuran yang digunakan untuk dasar penarikan sampel untuk seluruh unit dalam populasi. Jika n adalah besarnya sampel, interval sampling (I) adalah bilangan bulat yang dekat dengan X/n. Ambil AR1 ≤ I, maka unit-unit yang terpilih adalah: AR1; AR1+I; AR1+2I, dst.

  Prosedur Estimasi Pada suatu penarikan sampel sebanyak n unit yang diambil dari sebuah populasi dengan ukuran N unit secara PPS-WR dengan size xi, maka besarnya peluang terpilihnya unit ke-i sebagai sampel adalah: Misalnya yi adalah nilai variabel yang berpadanan dengan terpilihnya unit ke-i maka estimator yang unbiased bagi total adalah:  

Prosedur Estimasi (lanjutan)   Prosedur Estimasi (lanjutan) (i = 1, 2, …,n) merupakan estimator-estimator yang unbiased bagi total Y dan saling independent. Maka kombinasi dari estimator-estimator tersebut merupakan estimator yang unbiased bagi total Y, yaitu: dengan sampling variance:  

Prosedur Estimasi (lanjutan)   Prosedur Estimasi (lanjutan) Sebuah unbiased estimator dari rata-rata populasi, adalah: dengan sampling variance:  

Prosedur Estimasi (lanjutan)   Prosedur Estimasi (lanjutan) Dalam PPS Sampling, WR, sebuah unbiased esti-mator dari , adalah: Dalam PPS Sampling, WR, sebuah unbiased esti-mator dari , adalah:  

Relatif Efisiensi (RE)   Relatif Efisiensi (RE) Untuk mengetahui perbandingan Sampling PPS-WR dengan SRS-WR dari sampel PPS itu sendiri. Dalam SRS-WR, variansnya adalah: Sehingga varians SRS-WR berdasarkan sampel PPS-WR adalah:  

  PPS-WOR PPS-WOR dapat memberikan efisiensi yang lebih baik dibanding PPS-WR. Banyak sampel dalam praktek yang telah dilakukan dengan PPS-WO, tetapi prosedur perhitungan lebih kompleks dan tidak mudah diaplikasikan. Jika fraksi sampling kecil, dalam survey skala besar, efisiensi PPS-WR atau PPS-WOR akan berbeda tidak nyata (hampir sama). Meskipun begitu, jika fraksi besar efisiensi WOR akan lebih substansial.  

PPS-without replacement Prosedur Umum Penduga Terurut Des Raj / Des Raj’s Ordered Estimator Penduga Tak Terurut Horwitz-Thompson/ Horwitz-Thompson’s Unordered Estimator

Prosedur Umum (1)

Prosedur Umum (2)

Penduga Terurut Des Raj (Des Raj’s Ordered Estimator)   Penduga Terurut Des Raj (Des Raj’s Ordered Estimator) Andaikan 2 unit dipilih dengan PPS-WOR dengan peluang unit terpilih dari unit Ui adalah pi, i=1,2,…N dimana pi= Xi/X. Pada pengambilan pertama memiliki peluang pi dan pengambilan kedua dengan peluang bersyarat pj/(1-pi). Anggap y1 dan y2 adalah nilai unit pengambilan pertama dan kedua; serta p1 dan p2 adalah peluangnya, maka: dengan penduga varians yang unbiased:  

Penduga Tidak Terurut Horvitz-Thompson /   Penduga Tidak Terurut Horvitz-Thompson / Horvitz-Thompson’s Unordered Estimator Andaikan suatu unit dipilih dengan PPS-WOR dengan peluang unit terpilih dari unit Ui adalah pi, i=1,2,…N dimana pi= Xi/X. Peluang bahwa unit Ui dan Uj termasuk dalam sampel adalah: Anggap bahwa yi adalah nilai unit ke-i dengan i peluang masuk dalam sampel, maka: dengan varians sampling yang unbiased:  

  Contoh Soal: Berikut adalah hasil panen (dalam 10 kg) dari 8 pohon buah di suatu desa: No Urut Jumlah Pohon (Xi) Hasil Panen (Yi) pi 1 50 60 0.185185 2 30 35 0.111111 3 25 0.092593 4 40 44 0.148148 5 26 0.096296 6 0.162963 7 20 22 0.074074 8 0.12963 Total 270 311   Berdasarkan data tersebut, bila sampel yang diambil adalah no urut 5 dan 7, perkirakan total hasil panen buah dan variannya di desa itu dengan metode terurut Des Raj dan metode tidak terurut Horvitz-Thompson!  

Metode Tidak Terurut Horvitz-Thompson   Metode Terurut Des Raj Metode Tidak Terurut Horvitz-Thompson  

Size Unit Dalam Populasi (xhi)   PPS Stratified Sampling Strata Size Unit Dalam Populasi (xhi) Sampel (xhi) 1 2 . h X11, X12, …………………………………X1N1 X21, X22, …………………………………X2N2 . . . Xh1, Xh2, …………………………………XhNh x11, x12, ………………, x1N1 x21, x22, ………………, x2N2 . . . x h1, xh2, ………………, xhNh Besarnya peluang terpilihnya unit ke-i sebagai sampel: Maka penduga unbiasednya adalah:  

PPS Stratified Sampling (lanjutan)   PPS Stratified Sampling (lanjutan) Dengan varians: Dengan rata-rata: