Materi 2 Sampling klaster (Cluster sampling) Pengertian, alasan, dan persyaratan Klaster = kelompok unit yg lb kecil, seperti elemen atau subunit Penarikan sampling klaster  klaster sebagai sampling unit Sampling klaster satu tahap  seluruh unit dalam klaster terpilih, dicacah Alasan : - tidak ada daftar elemen dalam populasi - lebih ekonomis, misalnya perlu biaya yg besar utk membuat daftar elemen dalam populasi dan biaya pencacahan lebih hemat - sampling unit berkelompok  lebih nyaman (mudah dan cepat) dibanding SRS - peta dari suatu wilayah yang terdiri atas blok/segmen wilayah biasanya sudah tersedia dan dapat dijadikan klaster. Persyaratan : klaster mempunyai batas yg jelas dan tidak tumpang tindih

Unit Listing/ Daftar Unit Tabel 2.1 : Contoh Klaster, unit listing, elemen / unit analisis, serta aplikasi Klaster Unit Listing/ Daftar Unit Elemen/Unit Analisis Aplikasi (1) (2) (3) (4) 1. Blok Sensus Rumahtangga Orang Estimasi jumlah rumahtangga/ penduduk beserta karakteristiknya 2. Desa Sekolah Guru/ Murid Estimasi jumlah guru/ murid beserta karakteristiknya 3. Sekolah Kelas Murid Estimasi jumlah murid beserta karakteristiknya 4. Halaman buku Baris Kata Estimasi jumlah kata dalam buku 5. Bulan Minggu Hari Estimasi rata-rata kepadatan lalu lintas.

2) Klaster dengan jumlah unit sama (equal cluster) a) Notasi = jumlah klaster populasi = jumlah klaster sampel = jumlah elemen dalam klaster = nilai karakteristik elemen ke klaster ke = rerata elemen pada klaster ke = rerata klaster = rerata dari rerata klaster dalam populasi = rerata elemen dalam populasi = mean square antar elemen pada klaster ke

= mean square dalam (within) klaster = mean square antar rerata klaster dalam populasi = mean square antar elemen dalam populasi = intracluster correlation coefficient antar elemen dalam klaster (ada buku yang menyebut dengan roh)

Tabel 2.2 : Analisis varian utk populasi Sumber variasi dof Mean Square Antar (between) rerata klaster Dalam (within) klaster Antar elemen ( Total ) Buktikan 3 :

Tabel 2.3 : Analisis varian utk sampel Sumber variasi dof Mean Square Antar (between) rerata klaster Dalam (within) klaster Antar elemen ( Total )

b) Penduga rerata dan varian (ragam) Populasi klaster dengan jumlah unit masing-masing ,diambil klaster secara SRSWOR, maka merupakan penduga yang tidak bias dari , dengan varian Bukti : Teorema 2.1 N klaster SRS n klaster

dengan menggunakan dan memasukkan (roh) diperoleh utk nilai N yang besar

Akibat (Corollary) 1 Populasi klaster dengan jumlah unit masing-masing ,diambil klaster secara SRSWOR, maka penduga total populasi yang tidak bias adalah : dengan varian Akibat (Corollary) 2 Populasi elemen diambil sampel sebanyak secara SRSWOR, varian utk rerata elemen menjadi : Akibat (Corollary) 3 Penduga varian dari teorema 2.1

Akibat (Corollary) 4 Populasi klaster dengan jumlah unit masing-masing ,diambil klaster secara SRSWR, maka merupakan penduga yang tidak bias dari , dengan varian dan penduganya c) Desain efek dan efisiensi klaster sampling NM elemen klaster Desain efek klaster SRS SRS nM elemen

Dari teorema 2.1 , dapat dituliskan : desain efek ( deff ) (1) Elemen dalam klaster homogin sempurna  = 0 , dan = 1  deff = M  kurang baik (kurang efisien) (2) Elemen dalam klaster heterogin sempurna  = 0, dan  deff = 0  sangat baik (sangat efisien) Upayakan variasi dalam klaster maksimum (sangat heterogin) sedangkan antar klaster minimum (sangat homogin). Dengan demikian nilai (roh) akan berada pada interval Catatan : ada buku yang menggunakan istilah efisien sebagai pengganti dari desain efek, ada juga yang menggunakan notasi terbalik utk notasi efisien. Dg menggunakan hubungan antara dan pd Corollary 1 buktikan (1) + (2)

Pengertian efisiensi / desain efek suatu metode sampling : Efisiensi metode sampling A thd B Metode sampling A lebih efisien dari B bila : Desain efek metode sampling A

d) Biaya survei Biaya survei dapat dikelompokkan menjadi 2, yaitu : - biaya utk pencacahan elemen sampel dalam klaster, termasuk biaya perjalanan dalam klaster yang proporsional dengan jumlah elemen sampel ( ) - biaya perjalanan antar klaster yang proporsional terhadap jarak antar klaster; dari penelitian sebelumnya telah diperoleh bhw nilai harapan dari sampel acak adalah proporsional dengan ( )

3). Klaster dengan jumlah unit tidak sama (unequal cluster) a). Penduga rerata dan varian (ragam) = jumlah elemen pada klaster ke – i Rerata populasi per elemen : = rerata per elemen dari klaster ke – i Rerata gabungan dari rerata klaster :

Populasi klaster diambil klaster secara SRSWOR, semua elemen dalam kaster terpilih dicacah, ada 3 jenis penduga : -        rerata sederhana dan tidak mempertimbangkan ukuran klaster (1) memperhitungkan karakteristik seluruh unit dalam sampel (2) diperlukan ukuran klaster populasi (3)

Teorema 2.2 merupakan penduga yang bias dari , dengan varian dan Bukti : Bias : Sampling variannya :

Akibat (Corollary) Penduga yang tidak bias dari : Teorema 2.3 merupakan penduga yang bias dari , tetapi konsisten, dengan varian : Bukti : merupakan penduga rasio  bias dan konsisten, dengan varian :

Akibat (Corollary) Penduga yang tidak bias dari Teorema 2.4 merupakan penduga yang tidak bias dari , dengan varian : Bukti :

Varian di atas tergantung kepada nilai yang cenderung akan lebih besar dibandingkan dengan , kecuali dan bervariasi sedemikian rupa sehingga hasil kalinya mendekati konstan Akibat (Corollary) Penduga yang tidak bias dari

b) Efisiensi sampling klaster dengan jumlah unit tidak sama Populasi elemen diambil sampel sebanyak secara SRSWOR, varian utk rerata elemen menjadi : Efisiensi metode sampling klaster dengan jumlah unit tidak sama : metode sampling klaster dengan jumlah unit tidak sama akan lebih efisien.

c) Sampling klaster dengan probabilitas tidak sama (varying probability). Bila jumlah unit dalam klaster berkorelasi dengan variabel yang diteliti  pemilihan sampel menggunakan probabilitas yang proporsional thd jumlah elemen dalam klaster  Sampling PPS (probability proportional to size). Contoh : suatu populasi terdiri atas 7 unit sperti pada tabel berikut. untuk memilih satu sampel, ambil angka random diantara 1 dan 30. Misal terpilih 19  unit nomor 4. Hal ini dapat dilakukan apabila N tidak terlalu besar. Utk N besar, dapat digunakan berbagai metode, misalnya metode Lahiri. Tabel 2.4 : Populasi dengan jumlah ukuran pada masing2 unit Unit Jarak 1 3 3 1 – 3 2 1 4 4 3 11 15 5 – 15 4 6 21 16 – 21 5 4 25 22 – 25 6 2 27 26 -- 27 7 3 30 28 -- 30

Misal probabilitas mengambil klaster ke – i dengan jumlah elemen dalam klaster tersebut dan Misal N klaster dipilih dengan PPSWR sehingga diperoleh : Teorema 2.5 Ambil sampel sebanyak n klaster secara PPSWR dengan probabilitas , estimator yang tidak bias dari adalah dengan sampling varian : Bukti :

Dari MPC 1 ttg PPS : Akibat (Corollary) 1 Ambil sampel sebanyak n klaster secara PPSWR dengan probabilitas estimator yang tidak bias dari adalah dengan sampling varian : Akibat (Corollary) 2 Ambil sampel sebanyak n klaster secara PPSWR dengan probabilitas estimator yang tidak bias dari Akibat (Corollary) 3 Ambil sampel sebanyak n klaster secara PPSWR dengan probabilitas estimator yang tidak bias dari adalah

PR : 1) Tentukan efisiensi klaster PPSWR thd SRSWR 2) Apabila , dengan menggunakan theorema 2.5 dan akibat (corrolary) 1, selidiki apakah penduga tersebut bias atau tidak bias. Tentukan pula variannya. Penarikan sampel tanpa pengembalian (without replacement). Beberapa contoh penduga : - Horvitz-Thompson - Brewer - Murthy - Rao, Hartley, Cochran

bila Mi diketahui untuk N klaster sehingga estimasi totalnya menjadi d) Penduga total Penduga total dilakukan dengan mengalikan dengan banyaknya unit dalam populasi yaitu: atau bila Mi diketahui untuk N klaster sehingga estimasi totalnya menjadi dapat diperoleh dari atau yang telah dibahas sebelumnya

e) Sampling klaster stratifikasi (Stratified cluster sampling) Sampling klaster dapat juga diaplikasikan dalam sampling berstrata. Sesuai dengan prinsip strata yaitu membagi populasi menjadi sub-populasi Alasan : - efisiensi, disesuaikan tingkat penyajian - penyesuaian dengan keadaan adminisrasi  estimasi dilakukan melalui masing-masing stratum dan kemudian dilakukan estimasi populasi Utk. penduga total, dilakukan penduga masing-masing stratum, dijumlahkan menjadi penduga total populasi. Utk. penduga rerata dihitung penduga rerata per stratum, penduga populasi ditimbang dengan banyaknya unit pada masing-masing stratum. Populasi klaster Stratum 1 klaster Stratum 2 klaster Stratum L klaster klaster klaster klaster

Rumus-rumus utk sampling klaster stratifikasi 1) 2) 3) Nilai rerata atau total disesuaikan dengan metode penarikan sampelnya

f) Ukuran klaster yang optimal       Pada umumnya sampling klaster digunakan dengan pemilihan sampel bertahap. Klaster satu tahap kurang effisien disebabkan ukuran klaster yang biasanya cukup besar dan karakteristiknya homogen. Oleh karena itu diadakan kompromi yaitu dengan memperbanyak klaster terpilih, tetapi dengan memperkecil ukuran klaster. Unit-unit dalam klaster hanya akan diteliti sebagian. Banyaknya unit yang dipilih dalam setiap klaster perlu ditentukan secara optimal sehingga dapat disesuaikan dengan biaya yang tersedia atau tingkat ketelitian yang dikehendaki. Data dari sensus atau survei sebelumnya dengan karakteristik yang sesuai dengan survei yang akan dilaksanakan dapat digunakan untuk kajian ini. Pembahasan lebih rinci akan dilakukan pada sampling bertahap.

g) Tambahan pembuktian nilai harapan dan varian Teorema 2.2. Bias :

Teorema 2.4 h) Beberapa rumus yang perlu dipelajari kembali Konsep-konsep dasar nilai harapan, rerata, varian covarian. Baca Singh D halaman 3-6, 24 -27, Cochran halaman 22 – 27, 29 – 30 atau catatan mata kuliah probabilitas dan MPC I.

i) Contoh penarikan sampling klaster satu tahap   Sampling unit terdiri lebih dari satu elemen (merupakan kelompok elemen). Dalam praktek sampling unit berupa klaster sering digunakan seperti halnya desa dan blok sensus. Contoh di bawah ini akan langsung mengkaji estimasi dan varian dari data sampel. Penekanan lebih pada aplikasi penggunaan rumus. Tabel dibawah merupakan ilustrasi contoh dari hasil suatu survei (sumber besaran data dari Daroga Singh, 1986) yang dilakukan di suatu wilayah yang terdiri dari 20 desa. Data yang dikumpulkan untuk memperkirakan jumlah ternak ayam. Dari kerangka sampel sebanyak 12 desa, dipilih 4 desa dengan acak sederhana (klaster satu tahap). Jumlah usaha dan ternak ayam dipelihara pada desa terpilih tercantum pada kolom (3). Dalam klaster satu tahap seluruh usaha dalam desa terpilih dicacah. Diketahui jumlah usaha di wilayah tersebut:

Tabel 2.5 : Jumlah Usaha dan Ternak Ayam Dipelihara pada Desa Terpilih dan Usaha Terpilih     Jumlah usaha Jumlah ayam Ternak ayam dipelihara pada usaha terpilih (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Desa   A B C D   102    105 200 88   12546 =123 24150 =230 88200 =441 14080 =160   266, 890, 311, 46, 174, 31, 17, 186, 224, 31, 102, 46, 31, 109, 275, 128, 125, 267, 153, 152, 84, 21, 52, 10, 0, 48, 94, 129, 87, 89, 109, 0, 310, 3 129, 57, 64, 11, 163, 77, 278, 50, 26, 127, 252, 194, 350, 0, 572, 149, 275, 114, 387, 53, 34, 150, 224, 185, 157, 224, 466, 203, 354, 816, 242, 140, 66, 590, 747, 147 247, 622, 225, 278, 181, 132, 659, 403, 281, 236, 595, 265, 431, 190, 348, 232, 88, 1165, 831, 120, 987, 938, 197, 614, 187, 896, 330, 485, 60, 60, 1051, 651, 552, 968, 987 347, 362, 34, 11, 133, 36, 34, 61, 249, 170, 112, 42, 161, 75, 68, 0, 247, 186, 473, 0, 143, 198, 65, 0, 308, 122, 345, 0, 223, 302, 219, 120, 199, 35, 0, 0   m1 = 34 m2 = 36 m3 = 35    m4 =   y1 = 4594    y2. =8093 y3. =16492 y4. =5080   =135    =225 =471 =141 Jumlah 495 138976

Penduga cara pertama RSE  

Penduga cara ke dua RSE

Penduga cara ke tiga Apabila diketahui ukuran klaster populasi ( ) RSE