FUNGSI Matematika Diskrit

Definisi Fungsi adalah : jenis khusus dari relasi Fungsi f dari X ke Y adalah relasi dari X ke Y yang mempunyai sifat : Domain dari f adalah X Jika (x,y), (x,y)’  f, maka y = y’ Notasi : f : X  Y Matematika Diskrit

Definisi (Cont.) Domain dari f adalah X Tiap komponen domain mempunyai pasangan (relasi) Jika (x,y), (x,y)’  f, maka y = y’ Tiap komponen tidak boleh mempunyai 2 pasangan Matematika Diskrit

Fungsi Matematika Diskrit

Bukan Fungsi Matematika Diskrit

Contoh f = {(1,a),(2,b),(3,a)} X = {1,2,3} Y = {a,b,c} f : X  Y  fungsi X = {1,2,3,4} f : X  Y  bukan fungsi f = {(1,a),(2,b),(3,c),(1,b)} Matematika Diskrit

Spesifikasi Fungsi Himpunan pasangan terurut Fungsi adalah relasi sedangkan relasi dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut Formula pengisian nilai (assignment) Asumsi daerah asal fungsi (domain) dan daerah hasil fungsi (range) fungsi : R maka himpunan pasangan terurut didefinisikan sebagai f = { (x1, x2) | x  R } Kata-kata Fungsi secara eksplisit dapat dinyatakan dalam rangkaian kata-kata Kode program Fungsi dispesifikasikan dalam bentuk kode program. Matematika Diskrit

Jenis Fungsi Fungsi satu-satu (one-to-one) Fungsi pada (onto) Matematika Diskrit

Koresponden Satu-satu atau Injektif Fungsi f dari X ke Y dikatakan berkoresponden satu-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika untuk setiap y  Y, terdapat paling banyak satu x  X dengan f(x) = y Contoh : Fungsi f = {(1,a),(2,b),(3,a)} dari X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c,d}  koresponden bukan satu-satu 1 2 3 a b c X Y Matematika Diskrit

Dipetakan pada (Onto) Jika f adalah fungsi dari X ke Y dan daerah hasil dari f adalah Y, f dikatakan dipetakan pada (onto) Y (atau suatu fungsi pada atau suatu fungsi surjektif) Contoh : Fungsi f = {(1,a),(2,b),(3,c)} dari X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c}  koresponden satu-satu dan dipetakan pada Y X Y 1 a b 2 c 3 Matematika Diskrit

Bijeksi (Bijection) Sebuah fungsi yang baik satu-satu maupun pada disebut bijeksi (bijection) Contoh : Fungsi f = {(1,a),(2,b),(3,c)} dari X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c}  bijeksi X Y 1 2 3 a b c Matematika Diskrit

Operator Biner Operator Biner pada himpunan X menggabungkan dengan setiap pasangan terurut dari anggota di X satu anggota di X Fungsi dari X x X ke dalam X disebut operator biner pada X Contoh : X = {1,2,…}. Jika didefinisikan : f(x,y) = x + y Maka f merupakan operator biner pada X Matematika Diskrit

Operator Uner (Unary Operator) Operator uner pada himpunan X menggabungkan dengan anggota tunggal dari X satu anggota di X Fungsi dari X ke dalam X disebut operator uner (unary operator) pada X Contoh : U merupakan himpunan semesta. Jika didefinisikan : maka f adalah operator uner pada (U) Matematika Diskrit

Fungsi Inversi Notasi : f-1 Jika f adalah berkoresponden satu-satu dari A ke B maka dapat menemukan balikan atau inversi (invers) dari f Fungsi yang berkoresponden satu-satu sering dinamakan fungsi yang invertible (dapat dibalikkan) karena dapat mendefinsikan fungsi balikkannya Fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika bukan fungsi yang berkoresponden satu-satu karena fungsi balikkannya tidak ada a b f(a) f-1(b) Matematika Diskrit

Contoh Tentukan invers fungsi f(x) = x – 1 Jawaban : f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-satu jadi balikkan fungsinya ada f(x) = y  y = x -1 Sehingga : x = y + 1 Invers fungsi balikkannya adalah : f-1(y) = y + 1 Tentukan invers fungsi f(x) = x2 + 1 f(x) = x2 + 1  bukan fungsi yang berkoresponden satu-satu sehingga fungsi inversinya tidak ada Sehingga f(x) = x2 + 1 adalah fungsi yang not invertible Matematika Diskrit

Komposisi (Composition) Misalkan g adalah sebuah fungsi dari X ke Y dan f fungsi dari Y ke Z. Jika diberikan x  X g untuk menentukan anggota unik y = g(x)  Y f untuk menentukan anggota unik z = f(y) = f(g(x))  Z Notasi : (f o g)(a) = f(g(a))  fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f (f o g)(a) a g(a) f(g(a)) A B C Matematika Diskrit

Contoh Fungsi g = {(1,a),(2,a),(3,c)} memetakan X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c} dan fungsi f = {(a,y), (b,x), (c,z)} memetakan Y = { a,b,c} ke Z = { x,y,z} maka komposisi dari X ke Z adalah : f o g = {(1,y),(2,y),(3,z)} Matematika Diskrit

Fungsi Khusus Fungsi Floor dan Ceiling Fungsi Modulo Fungsi Faktorial Fungsi Eksponen dan Logaritmik Matematika Diskrit

Fungsi Floor (Batas bawah) Batas bawah dari x adalah bilangan bulat terbesar yang kecil dari atau sama dengan x Notasi :   Contoh : 8.3 = 8 -8.7 = -9 Matematika Diskrit

Fungsi Ceiling (Batas Atas) Batas atas dari x adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x Notasi :   Contoh : 6 = 6 -11.3 = -11 9.1 = 10 -8 = -8 Matematika Diskrit

Fungsi Modulu Jika x adalah bilangan bulat tak negatif dan y adalah bilangan bulat positif, didefinisikan x mod y sebagai sisa jika x dibagi y Contoh : 6 mod 2 = 0 5 mod 1 = 0 8 mod 12 = 8 199673 mod 2 = 1 Matematika Diskrit

Hari apakah 365 hari setelah hari Rabu? Contoh 1 : 365 Hari Hari apakah 365 hari setelah hari Rabu? 7 hari setelah Rabu adalah Rabu lagi; 14 hari setelah Rabu adalah Rabu lagi Secara umum jika n adalah bilangan bulat positif, setelah 7n hari adalah Rabu lagi Jadi : 365 mod 7 = 1 Sehingga 365 hari dari Rabu adalah 1 hari kemudian, yaitu Kamis Ketentuan : tidak berlaku untuk tahun kabisat Matematika Diskrit

Contoh 2 : International Standard Book Number (ISBN) Terdiri dari 10 karakter yang dipisahkan oleh garis Terdiri dari 4 bagian : Kode kelompok Kode penerbit Kode menerangkan secara unik buku yang diterbitkan oleh penerbit tertentu Karakter uji Contoh : s = 0 + 2*8+3*0+4*6+5*5+6*0+7*9+8*5+9*9 =249 Karakter uji = s mod 11 = 249 mod 11 = 7 Matematika Diskrit

Contoh 3 : Fungsi Hash Mengambil butir data untuk disimpan atau diselamatkan serta menghitung pilihan pertama untuk lokasi butir ini Contoh : Data : 15, 558, 32, 132, 102, 5 dan 257 diletakkan ke dalam 11 sel H(n) = n mod 11 H(15) = 15 mod 11 = 4 H(32) = 32 mod 11 = 10 H(132) = 132 mod 11 = 0 H(102) = 102 mod 11 = 3 H(5) = 5 mod 11 = 5 H(257) = 257 mod 11 = 4  6  terjadi bentrokan (collision) Matematika Diskrit

Fungsi Hash (Cont.) Solusi terjadi bentrokan (collision) diperlukan kebijaksanaan resolusi bentrokan (collision resolution policy) : Mencari sel tak terpakai tertinggi berikutnya Dalam contoh tersebut, sel 4 sudah terpakai oleh data 15 maka data 257 diletakkan di sel berikutnya yaitu 6 (karena sel 5 juga telah terpakai oleh data 5) 132 102 15 5 257 558 32 1 2 3 4 6 7 8 9 10 Matematika Diskrit

Fungsi Faktorial Untuk sembarang bilangan bulat tidak negatif n Dilambangkan dengan : n! Didefinisikan sebagai : Contoh : 0! = 1 1! = 1 2! = 1x2 = 2x1 = 2 3! = 1x2x3 = 3x2x1 = 6 5! = 1x2x3x4x5 = 5x4x3x2x1 = 120 Matematika Diskrit

Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial berbentuk : an = a x a x … x a, n > 0 n Untuk kasus perpangkatan negatif : Contoh : 43 = 4 x 4 x 4 = 64 4-3 = 1/64 Matematika Diskrit

Fungsi Logaritmik Fungsi logaritmik berbentuk : Contoh : 4log 64 = 3 karena 64 = 43  2log 1000 = 9 karena 29 = 512 tetapi 210 = 1024 Matematika Diskrit

Fungsi Rekursif Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri Fungsi rekursif disusun oleh 2 bagian : Basis Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini menghentikan definisi rekursif (dan memberikan sebuah nilai yang terdefinisi pada fungsi rekursif) Rekurens Bagian yang mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis) Misalkan f(n) = n! maka fungsi faktorial dapat dituliskan sebagai : Matematika Diskrit

Fungsi Rekursif (Cont.) Perhitungan n! secara rekursif : Basis n! = 1 jika n = 0 Rekurens n! = n x (n-1)! Jika n > 0 Contoh : 5! = 5 x 4! (rekurens) 4! = 4 x 3! 3! = 3 x 2! 2! = 2 x 1! 1! = 1 x 0! 0! = 1 Sehingga : 1! = 1 x 0! = 1 x 1 = 1 2! = 2 x 1! = 2 x 1 = 2 3! = 3 x 2! = 3 x 2 = 6 4! = 4 x 3! = 4 x 6 = 24 5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120 Jadi 5! = 120 Matematika Diskrit

Contoh Misalkan n menyatakan bilangan bulat positif dan fungsi f didefinisikan secara rekursif : Tentukan : f(25) f(10) Penyelesaian : f(25) = f(25/2)+1 = f(12) + 1 = [f(12/2)+1] + 1 = f(6) + 1 + 1 = f(6) + 2 = [f(6/2)+1 ] + 2 = f(3) + 1 + 2 = f(3) + 3 = [f(3/2)+1 ] + 3 = f(1) + 1 + 3 = f(1) + 4 = 0 + 4 = 4 f(10) = f(10/2)+1 = f(5) + 1 = [f(5/2)+1] + 1 = f(2) + 1 + 1 = f(2) + 2 = [f(2/2)+1 ] + 2 = f(1) + 1 + 2 = f(1) + 3 = 0 + 3 = 3 Matematika Diskrit