GRUP Zn*
Pergandaan dapat didefinisikan pada himpunan Zn = { 0, 1, 2,… ,n-1 } dari bilangan bulat modulo n. Jika a, b dalam Zn maka pergandaan dari a b ( mod n ) adalah : Gandakan bilangan bulat a dan b Ambil sisa pembagian dari ab dengan n yaitu r . Berarti a b = r. Mudah dibuktikan bahwa untuk n > 1 , Zn mengandung identitas pergandaan 1. Tetapi dalam Zn, invers terhadap pergandaan tidak selalu ada sehingga Zn bukanlah grup terhadap operasi pergandaan. Untuk n 2 didefinisikan Zn* = { x dalam Zn | x mempunyai invers pergandaan dalam Zn }.
Teorema V.1 Untuk n 2 maka < Zn* , . > merupakan grup abelian. Contoh V.1 Z2* = { x dalam Z2 | x mempunyai invers pergandaan dalam Z2 } = { 1 }. Berarti Z2* mempunyai order 1 dan elemen 1 dalam Z2* mempunyai order 1. Grup bagian dalam Z2* hanyalah Z2*.
Contoh V.2 Z3* = { x dalam Z3 | x mempunyai invers pergandaan dalam Z3 } = { 1, 2 }. Berarti Z3* mempunyai order 2 dan elemen 1 dalam Z3* mempunyai 1 karena (1) = { 1 }. Elemen 2 dalam mempunyai order 2 karena (2) = { 2k | k Z } = { 1, 2}. Grup bagian dalam Z3* hanyalah {1} dan Z3*. Demikian juga karena ada elemen dalam yang mempunyai order 2 maka merupakan grup siklik.
Contoh V.4: Dapat dibuktikan bahwa Z8* = 1, 3, 5, 7 dan merupakan suatu grup abelian dengan orde 4 dan anggotanya memenuhi 11 = 32 = 52 = 72 = 1. Oleh karena itu anggota-anggotanya mempunyai orde 1 atau 2 dan akibatnya Z8* tidak siklik. Teorema V.2 Anggota Zn* adalah anggota a dalam Zn sehingga pembagi persekutuan terbesar dari a dan n adalah 1 atau d = FPB( a , n ) = 1.
Contoh V.5 Jika p bilangan prima maka sebarang anggota tidak nol dalam Zp akan prima relatif dengan p sehingga Zp* = 1, 2, 3, ….., p-1 dan berarti orde dari Zp* adalah p-1. Contoh V.6 Z15* mengandung semua anggota a dalam Z15 sehingga a prima relatif dengan 15. Dalam hal ini Z15* = 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 dan 9 Z15* karena (9,15) = 3.
LATIHAN Berikan sifat-sifat dari Z4*. Berikan sifat-sifat dari Z5*. Berikan sifat-sifat dari Zp* dengan p bilangan prima. Buktikan mengapa setiap Zn* dengan n 3 mempunyai orde genap. Diketahui G grup dan a dalam G yang memenuhi a8 e dan a16 = e. Tentukan orde a dan beri alasannya. Berikan contoh khusus dari grup G dan a dalam G yang memenuhi a6 e dan a12 = e tetapi order dari a tidak sama dengan 12. Berikan sifat dari yaitu Z6*, Z9* dan Z25*.
TERIMA KASIH