Pertemuan 12 Bentuk Normal untuk Grammar Bebas Konteks Teori Bahasa dan Otomata (KOM208) SKS: 3(3-0)

TIK dan Waktu Penyajian Tinjauan Instruksional Khusus: Mahasiswa akan dapat menjelaskan bentuk normal untuk tata bahasa bebas konteks . Waktu penyajian: 1 x 150 menit

Bentuk normal Chomsky Setiap CFL (tanpa ε) di-generate oleh sebuah CFG dengan semua produksinya dapat ditunjukkan memiliki bentuk A  BC atau A  a, dimana A, B, C adalah variabel dan a adalah terminal. Bentuk ini dinamakan bentuk normal Chomsky. Hal ini dapat ditunjukkan dengan terlebih dahulu membuat penyederhanaan berikut: Mengeliminasi useless symbols, variabel-variabel atau terminal-terminal yang tidak muncul dalam penurunan string terminal dari start symbol. Mengeliminasi ε-productions, yang berbentuk A  ε untuk variabel A. Mengeliminasi unit production, yang memiliki bentuk AB untuk variabel A dan B.

Mengeliminasi Useless Symbol Simbol X dikatakan useful untuk grammar G = (V,T,P,S) jika terdapat penurunan dengan bentuk S * X * w, dimana w adalah dalam T*. X dapat berada dalam V atau T, dan bentuk sentensial X dapat berada pada awal atau akhir penurunan. Jika X not useful maka dikatakan useless. Penghilangan useless symbol dari grammar tidak akan merubah bahasa yang di-generate.

Mengeliminasi Useless Symbol Identifikasi sebuah simbol dapat menjadi useful: X dikatakan generating jika X * w untuk string terminal w. Perhatikan bahwa setiap terminal adalah generating, karena w dapat menjadi terminal, yang diturunkan oleh nol langkah. X dikatakan reachable jika terdapat penurunan S * X, untuk  dan  Sebuah symbol yang useful adalah generating dan reachable.

Contoh 1 Perhatikan grammar S  AB | a A  b Semua simbol kecuali B adalah generating; a dan b me-generate dirinya sendiri; S men-generate a, dan A men-generate b. Jika B dieliminasi, maka produksi S AB harus dieliminasi. Sehingga grammar menjadi: S  a

Contoh 1 (lanjutan) Hanya S dan a yang reachable dari S. Dengan mengeliminasi A dan b, produksi yang tertinggal: S  a. Produksi tersebut dengan sendirinya merupakan grammar yang memiliki bahasa {a}. Perhatikan bahwa jika eliminasi dimulai dengan uji reachability, ditentukan bahwa grammar S  AB | a A  b adalah reachable. Jika kemudian simbol B dieliminasi karena alasan non-generating, grammar yang diperoleh masih memiliki useless symbol, A dan b.

Teorema Misal G = (V,T,P,S) adalah CFG, dan asumsikan bahwa L(G)  ; yaitu G memiliki sedikitnya satu string. Misal G1 = (V1,T1,P1,S) adalah grammar yang diperoleh dengan langkah berikut: Pertama mengeliminasi nongenerating symbol dan semua produksi yang melibatkan satu atau lebih simbol-simbol tersebut. Misalkan G2=(V2,T,P2,S) adalah grammar baru yang dihasilkan. Perhatikan bahwa S haruslah generating, karena kita asumsikan bahwa L(G) memliki sedikitnya satu string, sedemikian sehingga S tidak dieliminasi. Kedua, eliminasi semua simbol yang tidak reachable dalam grammar G2. Maka G1 tidak memiliki useless symbol dan L(G1) = L(G).

Komputasi Generating Symbol Misalkan G = (V,T,P,S) adalah grammar. Komputasi dari generating symbol dari G dilakukan induksi berikut: Basis: setiap simbol dari T adalah generating; simbol tersebut men-generate dirinya sendiri. Induksi: Anggap terdapat produksi A  , dan setiap simbol  telah diketahui merupakan simbol generating. Maka A adalah generating. Perhatikan bahwa aturan ini termasuk kasus dimana  = ε, semua variabel yang memiliki ε sebagai badannya adalah generating.

Contoh 2 Perhatikan grammar S  AB | a A  b Dari basis diperoleh bahwa a dan b adalah generating. Dari induksi, digunakan A  b untuk menyimpulkan bahwa A adalah generating, dan produksi S  a untuk menyimpulkan bahwa S adalah generating. Produksi S  AB tidak dapat digunakan, karena B tidak ditetapkan merupakan simbol generating. Dengan demikian, himpunan dari generating symbol adalah {a,b,A,S}.

Komputasi Reachable Symbol Misalkan G = (V,T,P,S) adalah grammar. Komputasi dari reachable symbol dari G dilakukan induksi berikut Basis: S adalah reachable Induksi: Anggap bahwa kita telah menemukan bahwa variabel A adalah reachable. Maka untuk semua produksi dengan A sebagai head-nya, semua simbol dari body produksi tersebut juga reachable.

Contoh 3 Perhatikan grammar S  AB | a A  b Dari basis, diperoleh bahwa S adalah reachable. Karena S memiliki badan produksi AB dan a, maka A, B, dan a adalah reachable. B tidak memiliki produksi, tetapi A memiliki A b. Dengan demikian b adalah reachable. Sehingga himpunan reachable symbol adalah {S,A,B,a,b}.

Mengeliminasi ε-production Sebuah variabel A adalah nullable jika A * ε. Jika A adalah nullable, maka jika A muncul dalam body dari produksi, katakanlah B  CAD, A dapat (atau tidak dapat) menurunkan ε. Terdapat 2 versi produksi, yaitu tanpa A dalam body (B  CD), yang terkait dengan kasus dimana A telah digunakan untuk menurunkan ε, dan produksi yang lain, yaitu B  CAD (A tetap ada).

Mengeliminasi ε-production Misalkan G = (V,T,P,S) adalah CGF. Kita dapat menemukan semua simbol nullable dari G dengan induksi berikut. Dapat ditunjukkan tidak ada simbol nullable kecuali yang ditemukan oleh induksi tersebut. Basis: Jika A  ε adalah produksi dari G, maka A adalah nullable. Induksi: Jika terdapat produksi B  C1C2…CK dimana Ci adalah nullable, maka B adalah nullable. Perhatikan bahwa setiap Ci haruslah menjadi sebuah variabel yang menjadi nullable, sehingga kita hanya perlu memperhatikan produksi dengan body semua variabel.

Konstruksi Grammar tanpa ε-production Misalkan G = (V,T,P,S) adalah CFG. Tentukan semua nullable symbol dari G. Grammar baru G1 = (V,T,P1,S), yang memiliki produksi P1 ditentukan sebagai berikut: untuk setiap produksi A  X1X2…Xk dari P, dimana k  1, anggap bahwa m dari k para Xi adalah nullable symbol. Grammar baru G1 akan memiliki 2m versi dari produksi, dimana nullable para Xi, dalam semua kombinasi adalah present atau absent. Terdapat satu pengecualian: jika m = k, yaitu semua simbol adalah nullable, maka kita tidak memasukkan kasus dimana semua para Xi adalah absent. Perhatikan juga bahwa jika sebuah produksi dari bentuk A  ε dalam P, kita tidak mengikutkan produksi tersebut dalam Pi.

Contoh 4 Perhatikan grammar S  AB A  aAA | ε B  aBB | ε A dan B adalah nullable symbol, karena memiliki produksi dengan ε sebagai badannya. Selanjutnya, S adalah nullable, karena produksi S  AB memiliki body yang hanya terdiri dari nullable symbol. Dengan demikian ketiga variabel tsb adalah nullable.

Contoh 4 (lanjutan) Konstruksi grammar G1 dilakukan sebagai berikut Perhatikan produksi S  AB, semua simbol dari body adalah nullable, sehingga terdapat 4 cara yang dapat dipilih berdasarkan present atau absent untuk A dan B. Tetapi pemilihan dimana keduanya absent tidak digunakan, sehingga terdapat 3 produksi: S  AB | A | B

Contoh 4 (lanjutan) Perhatikan produksi A  aAA. Simbol pada posisi ke dua dan ketiga adalah nullable, sehingga terdapat 4 pilihan untuk absent/present dari simbol-simbol tersebut. Dalam kasus ini, semua pilihan boleh digunakan, karena simbol nonnullable a akan ada dalam setiap kasus. Produksi-produksi yang dihasilkan: A  aAA | aA | aA | a. Karena dua produksi ditengah sama, produksi-produksi yang dihasilkan menjadi A  aAA | aA | a

Contoh 4 (lanjutan) Dengan demikian produksi-produksi dalam G1: Cara yang sama dilakukan untuk menghasilkan produksi B : B  bBB | bB | b Dengan demikian produksi-produksi dalam G1: S  AB | A | B A  aAA | aA | a B  bBB | bB | b

Teorema Jika grammar G1 dikonstruksi dari G dengan konstruksi untuk mengeliminasi ε-production, maka L(G1) = L(G) – {ε}

Mengeliminasi Unit Production Sebuah unit production adalah produksi dengan bentuk A  B, dimana A dan B adalah variabel. Produksi-produksi ini dapat useful. Sebagai contoh, dalam pembahasan sebelumnya, unit production E  T dan T  F digunakan untuk membuat grammar tidak ambigu untuk ekspresi aritmatika sederhana. Produksi-produksi untuk memperoleh ekspresi tersebut adalah I  a | b | Ia | Ib | I0 |I1 F  I | (E) T  F | T * F E  T | E + T

Mengeliminasi Unit Production Unit production dapat memperumit pembuktian dan memperbanyak langkah penurunan. Unit production dapat dihilangkan, sehingga diperoleh produksi E  a | b | Ia | Ib | I0 |I1 | (E) | T * F Cara yang dilakukan adalah memperluas unit production sampai mereka tidak muncul lagi. Langkah ini dapat gagal jika terdapat cycle dari unit production, misalnya: A  B, B  C dan C  A.

Teknik mengeliminasi Unit Production Pertama melibatkan penemuan semua pasangan dari variabel A dan B sedemikian sehingga A * B menggunakan serangkaian unit production saja. Perhatikan bahwa A * B mungkin benar walaupun tidak ada unit production yang terlibat. Contoh misal ada produksi A  BC dan C  ε. Setelah setiap pasangan demikian dapat ditemukan, kita dapat mengganti rangkaian langkah-langkah penurunan A  B1 B2...… Bn   dengan sebuah produksi yang menggunakan nonunit production Bn  secara langsung dari A; bahwa A  .

Teknik mengeliminasi Unit Production Pasangan (A,B) sedemikian sehingga A* B menggunakan hanya unit production, dinamakan unit pair. Definisi unit pair adalah Basis: (A,A) adalah unit pair untuk variabel A. Bahwa A * A dengan nol langkah. Induksi: Anggap telah ditentukan bahwa (A,B) adalah unit pair, dan B  C adalah produksi, dimana C adalah variabel, maka (A, C) adalah unit pair.

Contoh 5 Perhatikan grammar untuk ekspresi sederhana berikut: I  a | b | Ia | Ib | I0 |I1 F  I | (E) T  F | T * F E  T | E + T Dari basis diperoleh unit pair (E,E), (T,T), (F,F) dan (I,I). Untuk langkah induktif, kita dapat membuat inferensi berikut: Dari (E,E) dan produksi E  T diperoleh unit pair (E,T). Dari (E,T) dan produksi T  F diperoleh unit pair (E,F). Dari (E,F) dan produksi F  I diperoleh unit pair (E,I). Dari (T,T) dan produksi T  F diperoleh unit pair (T,F). Dari (T,F) dan produksi F  I diperoleh unit pair (T,I). Dari (F,F) dan produksi F  I diperoleh unit pair (F,I).

Langkah-langkah eliminasi unit production Diberikan CFG G = (V,T,P,S), konstruksi CFG G1 = (V,T,P1,S) dilakukan melalui langkah berikut: Temukan semua unit pair dari G Untuk setiap unit pair (A,B), tambahkan ke P1 semua produksi A  , dimana B   adalah non unit production dalam P. Mungkin saja A = B (P1 mengadung semua non unit production dalam P). -- Hapus semua unit production

Contoh 6 Pair Produksi (E,E) E  E + T (E,T) E  T * F (E,F) E  (E) (E,I) E  a | b | Ia | Ib | I0| I1 (T,T) T  T * F (T,F) T  (E) (T, I) T  a | b | Ia | Ib | I0| I1 (F,F) F  (E) (F,I) F  a | b | Ia | Ib | I0| I1 (I,I) I  a | b | Ia | Ib | I0| I1 Tabel berikut merupakan hasil dari langkah 2 dalam konstruksi CFG G1 dari grammar dalam Contoh 5:

Contoh 6 (lanjutan) Grammar yang dihasilkan adalah E  E + T | T * F | (E) | a | b | Ia | Ib | I0| I1 T  T * F | (E) | a | b | Ia | Ib | I0| I1 F  (E) | a | b | Ia | Ib | I0| I1 I  a | b | Ia | Ib | I0| I1 Grammar ini tidak memiliki unit production dan ekspresi yang di-generate sama dengan yg di-generate oleh grammar sebelumnya (menggandung unit production).

Teorema Jika grammar G1 dikonstruksi dari grammar G dengan algoritme untuk mengeliminasi unit production, maka L(G1) = L(G). Jika G adalah CFG yang me-generate bahasa yang mengandung sedikitnya satu string selain ε, maka terdapat CFG G1 yang lain sedemikian sehingga L(G1) = L(G) – {ε}, dan G1 tidak memiliki ε-production, unit production atau useless symbol.

Bentuk Normal Chomsky Setiap CFL tak kosong tanpa ε memiliki sebuah grammar G dimana semua produksinya adalah salah satu dari dua bentuk sederhana berikut: A  BC, dimana A, B, dan C adalah variabel A  a, dimana A adalah variabel dan a adalah terminal. G tidak memiliki useless symbol. Grammar demikian dinamakan ada dalam bentuk Chomsky Normal Form (CNF).

Mengkonversi grammar ke dalam bentuk CNF Mulai dengan pernyataan bahwa grammar yang akan dibentuk tidak memiliki ε-production, unit production atau useless symbol (Teorema 2). Setiap produksi dalam grammar demikian memiliki bentuk A  a (diperbolehkan oleh CNF), atau memiliki body dengan panjang 2 atau lebih.

Langkah mendapat grammar dalam bentuk CNF Susun semua body dari produksi dengan panjang 2 atau lebih yang hanya berisi variabel-variabel. Pisahkan body-body produksi yang memiliki panjang lebih dari 3 atau lebih ke dalam produksi-produksi secara bertingkat, masing-masing dengan sebuah body yang terdiri dari 2 variabel.

Langkah mendapat grammar dalam bentuk CNF Dalam langkah 1: untuk setiap terminal a yang muncul dalam body dengan panjang 2 atau lebih, buat variabel baru, katakanlah A. Variabel ini hanya memiliki satu produksi, A  a. Gunakan A menggantikan a dimanapun a muncul dalam body dengan panjang 2 atau lebih. Sampai langkah ini, setiap produksi memiliki body berupa sebuah single terminal atau sedikitnya dua variabel dan bukan terminal. Dalam langkah 2: pisahkan produksi A  B1B2..Bk, untuk k  3, ke dalam kelompok produksi dengan dua variabel dalan setiap body-nya. Gunakan n-2 variabel baru, C1,C2,…Ck-1. Produksi asal digantikan oleh k-1 produksi A  B1C1, C1  B2C2,…, Ck-3  Bk-2Ck-2, Ck-2  Bk-1Bk

Contoh 7 Konversikan grammar ke dalam CNF. E  E + T | T * F | (E) | a | b | Ia | Ib | I0| I1 T  T * F | (E) | a | b | Ia | Ib | I0| I1 F  (E) | a | b | Ia | Ib | I0| I1 I  a | b | Ia | Ib | I0| I1 ke dalam CNF.

Contoh 7- Langkah 1 Terdapat 8 terminal: a,b,0,1, +, *, (, dan ), masing-masing muncul dalam body yang bukan single terminal. Selanjutnya gunakan 8 variabel baru dan produksi: A  a B  b Z  0 O  1 P  + M  * L  ( R  ) Ganti semua terminal dalam body selain single terminal dengan variabel yang sesuai. Sehingga diperoleh grammar: E  EPT | TMF | LER | a | b | IA | IB | IZ | IO T  TMF | LER | a | b | IA | IB | IZ | IO F  LER | a | b | IA | IB | IZ | IO I  a | b | IA | IB | IZ | IO A  a B b Z  0 O  1 P  + M * L ( R  ) Semua produksi dalam bentuk CNF kecuali yang memiliki body dengan panjang 3, yaitu EPT, TMF, dan LER.

Contoh 7- Langkah 2 Beberapa variabel baru diperkenalkan dan pergantian produksi dilakukan sebagai berikut: Untuk EPT, digunakan variabel baru C1, dan ganti produksi E  EPT dengan E  E C1 dan C1  PT. Untuk TMF, digunakan variabel baru C2, dan ganti produksi E  TMF dan T  TMF dengan E  T C2, T  T C2 dan C2  MF. Untuk LER, digunakan variabel baru C3, dan ganti produksi E  LER, T  LER dan F  LER dengan E  LC3, T  LC3, F  LC3 dan C3  ER.

Contoh 7- Langkah 2 Dengan demikian, final grammar dalam CNF E  EC1 | TC2 | LC3 | a | b | IA | IB | IZ | IO T  TC2 | LC3 | a | b | IA | IB | IZ | IO F  LC3 | a | b | IA | IB | IZ | IO I  a | b | IA | IB | IZ | IO A  a B b Z  0 O  1 P  + M * L ( R  ) C1  PT C2  MF C3  ER

Teorema Jika G adalah CFG yang memiliki bahasa yang mengandung sedikitnya satu string selain ε, maka terdapat grammar G1 dalam CNF, sedemikian sehingga L(G1) = L(G) – {ε}.

Daftar Pustaka John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman. 2001. Introduction to Automata Theory, Languange, and Computation. Edisi ke-2. Addison-Wesley.