Analisa Data Statistik Chap 11: ANOVA Agoes Soehianie, Ph.D

LATAR BELAKANG ANOVA ANOVA adalah singkatan dari Analysis of Variance. Latar belakang dikembangkan metoda ini karena ingin dilakukan testing terhadap rata-rata populasi yg mengalami “perlakuan” yg berbeda-beda. Pertanyaannya : apakah perbedaan rata-rata antara berbagai grup yg mengalami perlakuan berbeda tsb signifikan atau tidak. Asumsi untuk ujia ANOVA adalah: Populasi semuanya normal Standard deviasi populasi sama Populasi independen MIsal ada 4 grup A,B,C dan D dengan rata-rata sampel xA, xB, xC dan xD. Ingin diketahui apakah rata-rata populasi yg terkait dengan sampel tsb sama? Tentu saja kita bisa melakukan uji statistik bagi tiap sepasang mean, misal μA=μB lalu μA=μC dst. Semuanya ada 6 pasangan yg mungkin, jadi ada 6 uji yg harus dilakukan. Untuk masing-masing dilakukan test-t

LATAR BELAKANG ANOVA Apa kelemahan test-t sepasang-sepasang ini? Banyak test harus dilakukan Kesalahan tipe-1 yg besar Misal tiap-tidap test-t diuji dengan tingkat signifikan 0.05, berarti probabilitas H0 diterima dan keputusan benar 0.95. Karena ada 6 pasangan test (dalam contoh sebelumnya) maka probabilitas telah dibuat keputusan benar karena menerima H0 yg benar adalah 0.95*0.95*0.95*0.95*0.95*0.95 = 0.735 Jadi probabilitas melakukan error tipe I, yaitu H0 benar tapi ditolak adalah 1-0.735 = 0.265! Oleh karena diperlukan uji yg dapat sekaligus membandingkan kesamaan rata-rata berbagai grup tsb serempak.

TEST ANOVA – Ide μA μB μC Ide dasar test ANOVA adalah perbedaan rata-rata populasi ditentukan oleh dua faktor yaitu variasi data dalam 1 sampel dan variasi data antar sampel. Perbedaan rata-rata antar populasi nyata jika variasi data antar sampel besar sedangkan variasi data dalam 1 sampel kecil.

TEST ANOVA – Macam Variasi Beberapa definisi variasi. Variasi Total Jumlah total kuadrat selisih data dengan rata-rata total seluruh data (grand mean) Variasi Antar Sampel (atau Variasi karena Perlakuan) Jumlah total kuadrat selisih rata-rata tiap sampel thd rata-rata total (grand mean)

TEST ANOVA – Macam Variasi Beberapa definisi variasi. 3. Variasi Random Jumlah total kuadrat selisih data dengan rata-rata sampel yg terkait Dengan G adalah banyak group, ng adalah banyak sampel di group-g. Dapat dibuktikan bahwa ketiga variasi tsb saling terkait: SStotal = SST + SSE

TEST ANOVA 1. Hipotesa H0: μ1= μ2= μ3 = …. H1: tidak semua rata-rata populasi sama 2. Tentukan tingkat signifikan α 3. Daerah kritis Test statistiknya adalah F-test dengan dimana MST : Mean Squares of Treatments (between groups) MSE : Mean Squares of Errors (within errors) Dengan k : jumlah grup dan n adalah banyak total semua data. Derajat kebebasan F adalah (v1=k-1) untuk pembilang dan (v2=n-k) untuk penyebut. Tentukan nilai kritis Fα(v1,v2) = Fkritis. Tolak H0 jika Fhitung > Fkritis

TEST ANOVA 4. Perhitungan 5. Keputusan Bandingkan Fhitung dengan Fkritis 6. Kesimpulan TABEL ANOVA Sumber variasi Sum of Squares Derajat kebebasan Mean Squares Fhitung Treatment (antar grup) SST k-1 MST=SST/(k-1) MST/MSE Error (dalam grup) SSE n-k MSE=SSE/(n-k) Total SS total n-1

TEST ANOVA – Contoh Prof. Xsentrik memiliki 22 murid di kuliah Statistik. Murid-murid tsb diminta memberikan rating thd perkuliahannya dalam 4 kategori: Baik sekali, Baik, Cukup dan Jelek. Setelah itu diakhir kuliah diperoleh data nilai akhir Statistik para murid tsb.   GRUP Baik sekali Baik Cukup Jelek 1 2 3 4 94 75 70 68 90 73 85 77 76 72 80 83 78 65 88 74

SOlusi - Excell Anova: Single Factor SUMMARY Groups Count Sum Average Variance Baik sekali 4 349 87.25 36.91667 Baik 5 391 78.2 58.7 Cukup 7 510 72.85714 30.14286 Jelek 6 414 69 13.6 ANOVA Source of Variation SS df MS F P-value F crit Between Groups 890.6838 3 296.8946 8.990643 0.000743 3.159908 Within Groups 594.4071 18 33.02262 Total 1485.091 21

SOlusi – Manual (menghitung rata-rata dalam grup dan grand) Baik sekali Baik Cukup Jelek 1 2 3 4 ------------------------------------------------------------------------------ 94 75 70 68 90 68 73 70 85 77 76 72 80 83 78 65 88 80 74 68 65 65 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Σ 349 391 510 414 Rata-rata 87.25 78.2 72.86 69 Rata-rata dalam grup Rata-rata grand

SOlusi – Menghitung SSE (variasi antar grup) Jumlah data di Grup1 : 4 Grup 2 : 5 Grup 3 : 7 Grup 4 : 6 SST = 890.68

SOlusi – Menghitung Variasi Dalam Grup 45.56 10.24 8.16 1.00 7.56 104.04 0.02 1.00 5.06 1.44 9.88 9.00 52.56 23.04 26.45 16.00 96.04 51.02 25.00 23.59 16.00 61.73 ---------------------------------------------------------------------------------- 110.75 234.8 180.86 68 SSE = 110.75+234.8+180.86+68 = 594.41

SOlusi – Menghitung Variasi Total 337.22 0.40 31.77 58.31 206.31 58.31 6.95 31.77 87.68 1.86 0.13 13.22 19.04 54.22 5.59 113.13 152.86 19.04 2.68 58.31 113.13 113.13 ---------------------------------------------------------------------------------------------- 650.26 267.66 234.93 332.25 SStotal = 1485.09

SOlusi – Ringkasan Hitungan Variasi antar grup : SST = 890.68 v1 = 4-1=3 MST= SST/v1=296.89 Variasi dalam grup : SSE = 594.41 v2 = 22-4=18 MSE=SSE/v2=33.02 Variasi total : SSTotal = 1485.09 Fhitung = MST/MSE = 296.89/33.02 = 8.99 Dengan derajat kebebasan v1=3 dan v2=18

SOlusi – Testing Hipotesis 1. Hipotesa H0: μ1= μ2= μ3 = μ4 H1: tidak semua rata-rata populasi sama 2. tingkat signifikan α = 5% 3. Daerah kritis Test statistiknya adalah F-test. F(v1,v2) = MST/MSE dengan dengan v1=k-1 = 4-1 = 3 dan v2= n-k = 22-4 = 18 Nilai kritis F0.025 (3,18) = 3.16 Tolak H0 jika F> 3.16 4. Perhitungan Fhitung = MST/MSE = 296.89/33.02 = 8.99 5. Keputusan : Karena F > 3.16 maka H0 ditolak 5. Kesimpulan : Tidak semua rata-rata grup sama