Polinom dan Bangun Geometris

BAB 4 Mononom dan Polinom

Mononom

Mononom Mononom Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn Mononom Pangkat Dua: Karena x2  0,maka jika k > 0  y > 0 jika k < 0  y < 0 Contoh: y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3 -2 -1 x y = 5x2 y = 3x2 -100 -80 -60 -40 -20 - 5 4 3 2 1 y x y = x2 y memiliki nilai minimum y memiliki nilai maksimum

Mononom Pergeseran kurva mononom pangkat dua y3 = 10(x2)2 + 30 y -5 -3 3 5 x 50 100 -1 1 y Pergeseran ke arah sumbu-y positif y1 = 10x2 y2 = 10(x2)2 Pergeseran ke arah sumbu-x positif

Koordinat titik potong antara kurva Mononom Mononom Pangkat Genap pada umumnya Contoh: Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai kurva di sekitar titik puncak y2 = 2x4 y3 = 2x6 y1 = 2x2 1 2 3 y -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 x Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k] Koordinat titik potong antara kurva 2 4 6 8 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 y = x6 y = 3x4 y = 6x2 y x Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y

Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0] Pangkat ganjil terendah: linier -3 -2 -1 1 2 3 -1.5 -0.5 0.5 1.5 y = 2x y = 2x5 y = 2x3 y x Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [0,0] yaitu titik yang merupakan titik belok Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k] Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]

Mononom Mononom Pangkat Tiga y y x x Mononom pangkat tiga Pergeseran ke arah sumbu-y positif y = 10(x2)3 + 100 -500 -400 -300 -200 -100 100 200 300 400 500 -2 -1 1 y -5 -4 -3 2 3 4 5 x -5 -3 3 5 x -600 -400 -200 200 400 600 -1 1 y y = 10x3 y = 10(x2)3 Mononom pangkat tiga Simetris terhadap [0,0] Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah sumbu-x positif

Polinom

Polinom, Pangkat Dua Polinom Pangkat Dua y y x x -150 150 x -10 10 x -10 y -150 150 10 y1=2x2 y1=2x2 y2=15x y4 = 2x2+15x y3=13 x = 15/2 y2=15x Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom: Penjumlahan mononom pertama dan ke-dua: Perpotongan dengan sumbu-x

Penambahan komponen y3 = 13 memberikan: Polinom, Pangkat Dua y4 = 2x2+15x x y -150 150 -10 sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13 10 y4 = 2x2+15x 15/2 x y -150 150 -10 sumbu simetri 15/4 10 Sumbu simetri dari Penambahan komponen y3 = 13 memberikan: memotong sumbu-x di: Koordinat titik puncak:

Polinom, Pangkat Dua Polinom Pangkat Dua secara umum y = ax2 +bx +c y Sumbu simetri: x2 x1 y = ax2 Pergeseran ke arah kiri sumbu-x Pergeseran ke arah negatif sumbu-y

Polinom, Pangkat Tiga Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua -2000 2000 -10 10 y x y1 = 4x3 -2000 2000 -10 10 x y y1 y2 Penjumlahan: y3 = y1 + y2 Mononom pangkat tiga (y1) Dan Polinom pangkat dua (y2) y3 memotong sumbu-x di 3 titik Hal ini tidak selalu terjadi Tergantung dari nilai koefisien y1

Polinom, Pangkat Tiga Kasus: a terlalu positif Kasus: a kurang positif -2000 2000 -10 15 y1 y2 y3 = y1+y2 2000 -10 10 y2 y1 y3 = y1 + y2 -2000 Kasus: a terlalu positif Penurunan y1 di daerah negatif sangat tajam Tak ada titik potong dengan sumbu di daerah x negatif Hanya ada satu titik potong di x positif Kasus: a kurang positif Penurunan kurva y1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hanya memotong sumbu-x di 2 titik Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x negatif

Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat Polinom, Pangkat Tiga y3 = y1 + y2 -2000 2000 -10 15 y3 = y1 + y2 y1 y2 -2000 -10 15 2000 a < 0 Kurva y3 berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat

BAB 5 Bangun Geometris

Bangun Geometris, Karakteristik Umum Simetri jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Bangun Geometris, Karakteristik Umum Nilai Peubah Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks Contoh: Apabila |x| > 1, maka (1 - x2) < 0 Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang

Bangun Geometris, Karakteristik Umum Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y Contoh: Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,1] xy = 1 Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y

tidak boleh < 0 agar x(x1) > 0 Bangun Geometris, Karakteristik Umum Asimptot Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot Contoh: -4 4 y x tidak boleh < 0 agar x(x1) > 0 haruslah x < 0 atau x > 1 Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva

Bangun Geometris, jarak antara dua titik Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka Contoh: -4 -2 2 4 6 8 -1 1 3 x y [1,4] [3,8]

Bangun Geometris, Parabola Bentuk kurva disebut parabola [0,0] y x P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-y y = p garis sejajar sumbu-x R terletak pada garis y y=kx2 P[x,y] ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR Q[0,p] Q disebut titik fokus parabola Garis y disebut direktrik R[x,p] Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya

Bangun Geometris, Parabola Contoh: Parabola dapat kita tuliskan Direktrik: Titik fokus: Q[0,(0,5)]

Bangun Geometris, Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut titik pusat lingkaran Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r persamaan lingkaran berjari-jari r berpusat di [0.0] Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu-x dan sejauh b ke arah sumbu-y Persamaan umum lingkaran berjari-jari r berpusat di (a,b)

Bangun Geometris, Lingkaran Contoh: [0,0] x y 0,5 -1 1 r r = 1

Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips Bangun Geometris, Elips Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips x y X[x,y] P[-c, 0] Q[c, 0] kwadratkan sederhanakan kwadratkan

Bangun Geometris, Elips X[x,y] P[-c, 0] Q[c, 0] x y [a,0] sumbu pendek = 2b [a,0] sumbu panjang = 2a [0,b] Elips tergeser 1 -1 2 x y

Dalam segitiga PXQ, selisih (XPXQ) < PQ Bangun Geometris, Hiperbola Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan y x X(x,y) P[-c,0] Q[c,0] kwadratkan dan sederhanakan kwadratkan Dalam segitiga PXQ, selisih (XPXQ) < PQ  2c < 2a  c2  a2 = b2 persamaan hiperbola

Bangun Geometris, Hiperbola +  X(x,y) -c c y x [-a,0] [a,0] Kurva tidak memotong sumbu-y Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = a dan x = a

Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah Bangun Geometris, Kurva Berderajat Dua Kurva Berderajat Dua Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah Persamaan parabola: Lingkaran: F = 1 Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini

Bangun Geometris, Kurva Berderajat Dua Perputaran Sumbu Koordinat Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x P[-a,-a] Q[a,a] y x X[x,y] -5 5 x y Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x, Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x.

Polinom dan Bangun Geometris CourseWare Polinom dan Bangun Geometris Sudaryatno Sudirham