Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ( SPLDV ) Sistem persamaan linear dua variabel adlh sistem persamaan yg mengandung dua variabel yg tdk diketahui. Bentuk Umumnya : ax + by = c … persamaan (1) px + qy = r … persamaan (2) Dg a, b, c, p, q & r ϵ R a, p = koefisien dari x b, q = koefisien dari y Ada 4 metode penyelesaian SPLDV tsb, yaitu : Metode Eliminasi Metode Substitusi Metode Campuran Metode Determinan

1. Metode Eliminasi Metode ini digunakan dg cara mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabelnya, shg diperoleh sebuah persamaan dg satu variabel. Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari persamaan linear berikut dg metode eliminasi ! 2x + 3y = 1 … pers.(1) 3x + y = 5 … pers.(2) Jawab : Mengeliminasi x 2x + 3y = 1 x3 6x + 9y = 3 3x + y = 5 x2 6x + 2y = 10 – 7y = - 7 y = -1

Mengeliminasi y 2x + 3y = 1 x1 2x + 3y = 1 3x + y = 5 x3 9x + 3y = 15 – - 7x = - 14 x = 2 Jd, HP = { 2, -1 } Catatan : “ Jika kita mengeliminasi (menghilangkan) variabel x maka yg akan kita dapatkan nantinya adlh nilai dari variabel y dan sebaliknya, jika kita mengeliminasi variabel y maka yg akan kita dapatkan nantinya adlh nilai dari variabel x “

Tentukan HP dari SPL berikut ini dg menggunakan metode eliminasi ! 1) 2x – y = 2 3x – 2y = 1 Jawab 2) 3x + 5y = 4 3x – y = 10 Jawab 3) 5x + y = 5 17x + y = - 5 Jawab 4) 2p – 3q = 4 7p + 2q = 39 Jawab Ke slide Metode Substitusi

Jawab 1) * Mengeliminasi variabel y 2x – y = 2 x 2 4x – 2y = 4 * Mengeliminasi variabel x 2x – y = 2 x 3 6x – 3y = 6 3x – 2y = 1 x 2 6x – 4y = 2 - y = 4 Jd, HP = { 3, 4} Kembali ke slide soal

Jawab 2) * Mengeliminasi variabel x 3x + 5y = 4 3x – y = 10 - 6y = - 6 * Mengeliminasi variabel y 3x + 5y = 4 x 1 3x + 5y = 4 3x – y = 10 x 5 15x – 5y = 50 + 18x = 54 x = 3 Jd, HP = { 3, - 1} Kembali ke slide soal

Jawab 3) * Mengeliminasi variabel y 5x + y = 5 17x + y = - 5 - * Mengeliminasi variabel x 5x + y = 5 x 17 85x + 17y = 85 17x + y = - 5 x 5 85x + 5y = - 25 - 12y = 110 Kembali ke slide soal

Jawab 4) * Mengeliminasi variabel p 2p – 3q = 4 x 7 14p – 21q = 28 * Mengeliminasi variabel q 2p – 3q = 4 x 2 4p – 6q = 8 7p + 2q = 39 x - 3 - 21p - 6q = - 117 - 25p = 125 Jd, HP = { 5, 2} Kembali ke slide soal

Dari pers.(2) didapat : x = 15 – 7y … pers.(3) 2. Metode Substitusi Pada metode ini, salah satu variabel dari salah satu persamaan disubstitusikan shg diperoleh sebuah persamaan dg satu variabel saja Contoh : a) Tentukan HP dari persamaan linear berikut dg metode substitusi ! 3x + 4y = 11 … pers.(1) x + 7y = 15 … pers.(2) Jawab : Dari pers.(2) didapat : x = 15 – 7y … pers.(3) Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(1) : 3x + 4y = 11 Harga y = 2 kmd ⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11 substitusikan ke pers(3) : ⇔ 45 – 21y + 4y = 11 x = 15 – 7y ⇔ - 21y + 4y = 11 – 45 x = 15 – 7(2) ⇔ - 17y = - 34 ⇔ x = 15 – 14 x = 1 Jd, HP = { 1, 2 }

b) Tentukan HP dari persamaan linear berikut dg metode substitusi ! 2x + 3y = 1 … pers.(1) 3x + y = 5 … pers.(2) Jawab : Dari pers.(2) didapat : y = 5 – 3x … pers.(3). Harga x = 2 kmd Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(1) : disubstitusikan ke pers.(3) : 2x + 3y = 1 y = 5 – 3x 2x + 3(5 – 3x) = 1 y = 5 – 3(2) 2x + 15 – 9x = 1 y = 5 – 6 2x – 9x = 1 – 15 y = - 1 - 7x = - 14 x = 2 Jd, HP = { 2, - 1}

Tentukan HP dari SPL berikut ini dg menggunakan metode substitusi ! 1) 2x – y = 2 3x – 2y = 1 Jawab 2) 3x + 5y = 4 3x – y = 10 Jawab 3) 5x + y = 5 17x + y = - 5 Jawab 4) 2p – 3q = 4 7p + 2q = 39 Jawab

Jawab 1) 2x – y = 2 … pers.(1) 3x – 2y = 1 … pers.(2) Dari pers.(1) didapat : Harga x = 3 kmd disubstitusikan - y = 2 – 2x ⇔ y = - 2 + 2x … pers.(3) ke pers.(1) : Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(2) : 2x – y = 2 ⇔ 3x – 2y = 1 ⇔ 2(3) – y = 2 ⇔ 3x – 2(-2 + 2x) = 1 ⇔ 6 – y = 2 ⇔ 3x + 4 – 4x = 1 ⇔ - y = 2 – 6 ⇔ 3x – 4x = 1 – 4 ⇔ - y = - 4 ⇔ - x = - 3 ⇔ y = 4 ⇔ x = 3 Jd, HP = { 3, 4}

Jawab 2) 3x + 5y = 4 … pers.(1) 3x – y = 10 … pers.(2) Dari pers.(2) didapat : Harga x = 3 kmd disubstitusikan - y = 10 – 3x ⇔ y = - 10 + 3x … pers.(3) ke pers.(2) : Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(1) : 3x – y = 10 ⇔ 3x + 5y = 4 ⇔ 3(3) – y = 10 ⇔ 3x + 5(-10 + 3x) = 4 ⇔ 9 – y = 10 ⇔ 3x – 50 + 15x = 4 ⇔ - y = 10 – 9 ⇔ 3x + 15x = 4 + 50 ⇔ - y = 1 ⇔ 18x = 54 ⇔ y = - 1 ⇔ x = 3 Jd, HP = { 3, - 1 }

y = 5 – 5x … pers.(3) kmd disubstitusikan ke pers.(1) : 17x + y = - 5 Jawab 3) 5x + y = 5 … pers.(1) 17x + y = - 5 … pers.(2) Dari pers.(1) didapat : Harga y = 5 – 5x … pers.(3) kmd disubstitusikan ke pers.(1) : Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(2) : 5x + y = 5 17x + y = - 5 ⇔ 17x + 5 – 5x = - 5 ⇔ 17x – 5x = - 5 – 5 ( x 6 ) ⇔ 12x = - 10 ⇔ - 25 + 6y = 30 ⇔ 6y = 30 + 25 ⇔ 6y = 55

Jawab ⇔ 7p + 2q = 39 ⇔ 2p – 6 = 4 ⇔ 2p = 4 + 6 ( x 2) 4) 2p – 3q = 4 … pers.(1) 7p + 2q = 39 … pers.(2) Dari pers.(1) didapat : Harga q = 2 kmd disubstitusikan 2p – 3q = 4 ⇔ 2p = 4 + 3q ke pers.(1) : 2p – 3q = 4 Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(2) : ⇔ 2p – 3(2) = 4 ⇔ 7p + 2q = 39 ⇔ 2p – 6 = 4 ⇔ 2p = 4 + 6 ⇔ 2p = 10 ⇔ p = 5 ( x 2) ⇔ 28 + 21q + 4q = 78 Jd, HP = { 5, 2 } ⇔ 21q + 4q = 78 – 28 ⇔ 25q = 50 ⇔ q = 2

3. Metode Campuran Pada metode ini, merupakan gabungan dari cara eliminasi dan substitusi. Contoh : a) Tentukan HP dari persamaan linear berikut dg metode campuran ! 3x + 4y = 11 … pers.(1) x + 7y = 15 … pers.(2) Jawab : 3x + 4y = 11 x 1 3x + 4y = 11 x + 7y = 15 x 3 3x + 21y = 45 - - 17y = - 34 ⇔ y = 2 Harga y = 2 kmd substitusikan ke pers(2) : x + 7y = 15 ⇔ x + 7(2) = 15 ⇔ x + 14 = 15 ⇔ x = 15 – 14 ⇔ x = 1 Jd, HP = { 1, 2 }

b) Tentukan HP Dari Persamaan Linear Berikut Dg Metode Campuran ! 2x + 3y = 1 … pers.(1) 4x – 3y = 11 … pers.(2) Jawab : 2x + 3y = 1 4x – 3y = 11 + ⇔ 6x = 12 ⇔ x = 2 Harga x = 2 kmd substitusikan ke pers.(1) : ⇔ 2(2) + 3y = 1 ⇔ 4 + 3y = 1 ⇔ 3y = 1 – 4 ⇔ 3y = - 3 ⇔ y = - 1 Jd, HP = { 2, -1 }

Tentukan HP Dari SPL Berikut Ini dg Menggunakan Metode Campuran ! 1) 5x + y = 5 17x + y = - 5 Jawab 2) 2p – 3q = 4 7p + 2q = 39 Jawab

Jawab 1) 5x + y = 5 … pers.(1) 17x + y = - 5 … pers(2) 5x + y = 5 Harga kmd 17x + y = - 5 - disubstitusikan ke pers(1) : - 12x = 10 5x + y = 5 ( x 6 ) ⇔ - 25 + 6y = 30 ⇔ 6y = 30 + 25 ⇔ 6y = 55

Jawab 2) 2p – 3q = 4 … pers.(1) 7p + 2q = 39 … pers(2) 2p – 3q = 4 x 7 14p – 21q = 28 7p + 2q = 39 x 2 14p + 4q = 78 - - 25q = - 50 2p – 3q = 4 ⇔ 2p – 3(2) = 4 ⇔ 2p – 6 = 4 ⇔ 2p = 4 + 6 ⇔ 2p = 10 ⇔ p = 5 Jd, HP = { 5, 2 }

4. Metode Determinan Sistem persamaan, misalkan : ax + by = c px + qy = r Menurut aturan determinan diubah mjd : Artinya dan utk variabel x dan y didefinisikan : ,

Contoh : Tentukan HP dari SPL berikut ! 4x – 5y = 22 7x + 3y = 15 Kita cari dl determinannya : Jd, HP = { 3, -2}

Tentukan HP Dari SPL Berikut Ini dg Menggunakan Metode Determinan ! 1) 2x – y = 2 3x – 2y = 1 Jawab 2) 3x + 5y = 4 3x – y = 10 Jawab

Jawab 1) 2x – y = 2 3x – 2y = 1 Kita cari dl determinannya : Jd, HP = { 3, 4}

Jawab 2) 3x + 5y = 4 3x – y = 10 Kita cari dl determinannya : Jd, HP = { 3, -1}