http://www.mercubuana.ac.id Modul 10 Statistik & Probabilitas 1.1 Peristiwa atau kejadian Kejadian dan Himpunan Hasil suatu eksperimen dapat dituliskan atau dilukiskan dalam bentuk himpunan. Misalnya, bila dua mata uang dilemparkan maka hasilnya ialah (M,M) (M,B) (B,M) (B,B) . Seluruh peristiwa yang bisa terjadi disebut ruang sampel (sample space) atau ruang kemungkinan (probability space), dapat dipandang sebagai suatu himpunan dan dapat dituliskan demikian: S = {(M,M);(M,B);(B,M); (B,B)} atau S = {(x,y) | x dan y masing-masing hasil lemparan mata uang itu } Cara penulisan pertama disebut metoda daftar (roster method), dan cara penulisan kedua disebut perincian (rule method). Apabila A dan B dua kejadian sebarang, maka secara umum dapat dibuktikan bahwa P (A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). Kejadian yang saling bertentangan Dua kejadian A dan B yang tidak dapat terjadi bersamaan disebut saling bertentangan (mutually exclusive), dan dalam teori himpunan disebut saling asing atau lepas (disjoint). Jadi bila A dan B dua kejadian yang bertentangan, maka A ∩ B = Ø dan P( A U B) = P(A) +P(B). Bila dalam suatu eksperimen hanya ada dua kejadian A dan B yang bertentangan dan A U B = S, maka B disebut komplemen A ditulis A dan sebaliknya A komplemen B ditulis B, dan akan didapatkan P(B) = P(A) = 1 – P(A). Kejadian yang bebas (independent events) Dua kejadian A dan B disebut bebas, jika dan hanya jika P(A ∩ B) = P(A) . P(B). Jika syarat ini tidak dipenuhi maka A dan B disebut tidak bebas (dependent events) CONTOH 1. Tulislah dalam notasi himpunan dengan dua cara http://www.mercubuana.ac.id

Sehingga P(A ∩ B) = 0,10, dan P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,80 6 36 11 36 1 36 P(A) = P(B) = ; dan P(A U B) = ; dan P(A ∩ B) = . 4 Sejumlah tentara sukarela terdiri dari 50% sukarelawan dan 50% sukarelawati. Sedangkan 20% sukarelawati dan 60% sukarelawan ialah mahasiswa. Untuk suatu tugas tertentu komandan menunjuk seorang secara acak. Berapa nilai kemungkinan bahwa yang ditunjuk itu ialah seorang (a) sukarelawati atau seorang mahasiswa; (b) sukarelawan atau bukan seorang mahasiswa. Penyelesaian (a) Misalkan A ialah kejadian bahwa yang ditunjuk seorang sukarelawati, dan B ialah kejadian bahwa yang ditunjuk seorang mahasiswa. Misalkan banyaknya tentara sukarela itu N orang. 1 2 1 2 Banyaknya mahasiswa = 0,20 . N + 0,60 . N = 0,40 N 1 2 Banyaknya sukarelawati yang mahasiswa ialah 0,20 . N = 0,10 N Sehingga P(A ∩ B) = 0,10, dan P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,80 (b) Misal C = sularelawan yang terpilih, maka seperti pada (a) P(C U B) = 0,50 + 0,60 – 0,20 = 0,90. 5 Apabila sebuah dadu dilemparkan dua kali, tentukanlah nilai kemungkinan bahwa (a) angka pada pelemparan pertama lebih besar atau sama dengan 5 (sebut x ≥ 5) dan pada pelemparan kedua lebih kecil atau sama dengan 3 (sebut y ≤ 3) (b) x genap dan y gasal Penyelesaian 12 36 1 3 (a) Kejadian x ≥ 5 terdiri dari 12 titik sampel, maka P(x ≥ 5) = = 1 2 Kejadian Kejadian y ≤ 3 terdiri dari 18 titik sampel, maka P(y ≤ 3) = 1 3 1 2 1 6 Jadi P(x ≥ 5 dan y ≤ 3) = P(x ≥ 5) . P(y ≤ 3) = 1 (b) P(x genap) = 2 . dan P(y gasal = . = 1 2 1 2 1 4 P(x genap dan y gasal) = . = (lihat Tabel 1.1) 6 Sebuah paku payung dilemparkan dua kali dan diketahui bahwa nilai kemungkinan ujung paku mmenghadap ke atas ialah 0,40 dan akan miring 0,60. Apabila kejadian E ialah ujung paku di atas pada lemparan pertama dan http://www.mercubuana.ac.id

1 1 1 5 1 1 http://www.mercubuana.ac.id Misalkan Ai ialah hasil pada dadu ke i, dan karena bebas total maka P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1) . P(A2) . P(A3), maka nilai kemungkinan tiap titik sampel ialah 1 6 1 6 1 6 1 216 . . = 1 216 1 36 Jadi P (jumlah angka 5) = 6 . = . 9 Suatu mesin otomatis membuat sekrup dan langsung mengisikannya ke dalam kotak. Bila satu kotak dari 100 kotak paling sedikit ada satu sekrup yang rusak, maka dengan menganggap hasil ini bebas tentukanlah nilai kemungkinan 3 buah kotak berikutnya (a) masing-masing memuat sebuah sekrup atau lebih yang rusak; (b) masing-masing tak memuat satu pun sekrup yang rusak. Penyelesaian Tiap-tiap kotak bebas berarti nilai kemungkinan kotak yang dihasilkan memuat satu sekrup atau lebih yang rusak ialah 0,01 maka (a) P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = (0,01)(0,01)(0,01) = 0,000001; dimana A1 = kotak ke 1 memuat sekrup yang rusak. (b) P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = (1 – 0,01)3 = 0,970099. 10 Diketahui S = {e1,e2,e3,e4,e5,e6} merupakan ruang sampel suatu eksperimen. Anggplah nilai kemungkinan tiap-tiap kejadian berturut-turut sebagai 1 8 5 16 1 16 3 8 1 16 p1 = ; p2 = ; p3 = ; p4 = ; p5 = p6 = . dimana pi =P{(ei)}. Pandang E = {e1,e4} ; F = {e1,e2,e3} dan G = {e1,e2,e5}. Tunjukkanlah bahwa E, F, dan G bebas, tetapi tidak bebas dua-dua. Penyelesaian Dari ketentuan itu didapat 1 2 1 2 1 2 P(E ) = ; P(F ) = ; P(G ) = 1 8 E ∩ F ∩ G = {e1}, maka P(E ∩ F ∩ G) = = P(E ) . P(F ) . P(G ) 1 8 E ∩ F = {e1}, maka P(E ∩ F) = ≠ P(E ) . P(F ) ≠ P(E ) . P(G ) 1 8 F ∩ G = {e1, e2}, maka P(F ∩ G) = ≠ P(F ) . P(G ) http://www.mercubuana.ac.id