Departemen Matematika Fakultas MIPA Universitas Indonesia MATEMATIKA DISKRIT K-9 KOMBINATORIAL Departemen Matematika Fakultas MIPA Universitas Indonesia Matematika Diskrit

Pendahuluan Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung banyaknya penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. Matematika Diskrit

Pendahuluan Sebuah password panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan password yang dapat dibuat?   abcdef aaaade a123fr … er1sm4n k0mput3r ???? Matematika Diskrit

Kaidah Dasar Menghitung Kaidah perkalian (rule of product) Percobaan 1: p hasil Percobaan 2: q hasil   Percobaan 1 dan percobaan 2: p  q hasil Kaidah penjumlahan (rule of sum)   Percobaan 1 atau percobaan 2: p + q hasil Matematika Diskrit

Ketua angkatan 2011 hanya 1 orang (pria atau wanita, tidak bias gender). banyak pria = 65 orang dan banyak wanita = 15 orang. Berapa banyak cara memilih ketua angkatan? Penyelesaian: 65 + 15 = 80 cara. Dua orang perwakilan angkatan 2011 mendatangai Bapak Dosen untuk protes nilai ujian. Wakil yang dipilih 1 orang pria dan 1 orang wanita. Berapa banyak cara memilih 2 orang wakil tesrebut? Penyelesaian: 65  15 = 975 cara. Matematika Diskrit

Perluasan Kaidah Dasar Menghitung Misalkan ada n percobaan, masing-masing dg pi hasil 1. Kaidah perkalian (rule of product) p1  p2  …  pn hasil   2. Kaidah penjumlahan (rule of sum) p1 + p2 + … + pn hasil Matematika Diskrit

Contoh 3 : Bit biner hanya 0 dan 1. Berapa banyak string biner yang dapat dibentuk jika: (a) panjang string 5 bit (b) panjang string 8 bit (= 1 byte) Penyelesaian: (a) 2  2  2  2  2 = 25 = 32 buah (b) 28 = 256 buah Matematika Diskrit

Contoh 4 : Berapa banyak bilangan ganjil dari 1000 sampai dengan 9999 yang : (a) semua angkanya berbeda (b) boleh ada angka yang berulang. Matematika Diskrit

(a) posisi satuan: 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7, 9) Penyelesaian: (a) posisi satuan: 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7, 9) posisi ribuan: 8 kemungkinan angka posisi ratusan: 8 kemungkinan angka posisi puluhan: 7 kemungkinan angka Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240   (b)posisi satuan: 5 kemungkinan angka (yaitu 1, 3, 5, 7 & 9); posisi ribuan: 9 kemungkinan angka (1 sampai 9) posisi ratusan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9) posisi puluhan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9) Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500 Matematika Diskrit

Contoh 5 Ditetapkan bahwa password suatu sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka; huruf besar dan huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak password yang dapat dibuat? Matematika Diskrit

banyak karakter password = 26 (A-Z) + 10 (0-9) = 36 Penyelesaian: banyak karakter password = 26 (A-Z) + 10 (0-9) = 36   banyak kemungkinan password dengan panjang 6 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36) = 366 = 2.176.782.336   banyak kemungkinan password dengan panjang 7 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 367 = 78.364.164.096 umlah kemungkinan password dengan panjang 8 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 368 = 2.821.109.907.456 banyak seluruh password (kaidah penjumlahan) adalah   2.176.782.336 + 78.364.164.096 + 2.821.109.907.456 = 2.901.650.833.888 buah. Matematika Diskrit

Prinsip Inklusi-Eksklusi Matematika Diskrit

Permutasi Matematika Diskrit

Matematika Diskrit

Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian. Definisi: Permutasi adalah banyak urutan berbeda dari pengaturan objek-objek. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian. Misalkan banyak objek adalah n, maka  urutan pertama dipilih dari n objek, urutan kedua dipilih dari n – 1 objek, urutan ketiga dipilih dari n – 2 objek, … urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa.   Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n! Matematika Diskrit

Contoh 6. Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”? Penyelesaian: Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buah kata Cara 2: P(5, 5) = 5! = 120 buah kata Contoh 7. Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa? Penyelesaian: P(25, 25) = 25! Matematika Diskrit

Permutasi r dari n elemen Ada enam buah bola yang berbeda warnanya dan 3 buah kotak. Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa banyak urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut? Matematika Diskrit

Permutasi r dari n elemen Penyelesaian: kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (6 pilihan); kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (5 pilihan); kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (4 pilihan). Jadi banyaknya urutan berbeda dari penempatan bola = (6)(5)(4) = 120 Matematika Diskrit

Ada n buah bola yang berbeda warnanya dan r buah kotak (r  n), maka Secara Umum : Ada n buah bola yang berbeda warnanya dan r buah kotak (r  n), maka   kotak ke-1 dapat diisi oleh salah satu dari n bola  (n pilihan) kotak ke-2 dapat diisi oleh salah satu dari (n – 1) bola (n–1 pilihan) kotak ke-3 dapat diisi oleh salah satu dari (n – 2) bola (n– 2) pilihan … kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari (n–(r – 1)) bola  (ada n – r + 1 pilihan) banyak urutan berbeda dari penempatan bola adalah: n(n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1)) Matematika Diskrit

Matematika Diskrit

Contoh 7 : Berapakah banyak kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut : 1, 2, 3, 4 , 5, jika: (a) tidak boleh ada pengulangan angka, (b) boleh ada pengulangan angka. Matematika Diskrit

Contoh 7 : Penyelesaian: (a) Dengan kaidah perkalian : (5)(4)(3) = 120 buah Dengan rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5 – 3)! = 120 (b) Tidak dapat diselesaikan dengan rumus permutasi. Dengan kiadah perkalian: (5)(5)(5) = 53 = 125. Matematika Diskrit

Contoh 8 : Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula? Penyelesaian: P(26, 4)  P(10,3) = 258.336.000 Matematika Diskrit

Contoh 8b : Jadi bilangan 3142 ada pada posisi ke-15 Angka 1, 2, 3, 4 disusun ke dalam bentuk 24 bilangan 4 digit yang berbeda. Jika ke-24 bilangan tersebut disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar, maka tentukan posisi dari bilangan 3214 ? Penyelesaian: bilangan diawali angka 1 ada 6 bil pertama bilangan diawali angka 2 ada 6 bil kedua bilangan diawali angka 3 ada 6 bil ketiga : 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421 Jadi bilangan 3142 ada pada posisi ke-15 Matematika Diskrit

Contoh 8c : Palindrom 1 digit  3 bilangan Suatu bilangan bulat positif disebut Palindrom jika digit-digitnya dibaca dari depan dan belakang sama nilainya (misal : 1,33, 272, 1881). Berapa banyak bilangan palindrome paling banyak 3 digit yang dapat disusun dari angka-angka 5,6, dan 7 ? KASUR NABABAN RUSAK Jawab : Palindrom 1 digit  3 bilangan Palindrom 2 digit  3 bilangan Palindrom 3 digit  9 bilangan Jadi total ada 3 + 3 + 9 = 15 bilangan Matematika Diskrit

Latihan : 6. Terdapat pasangan bilangan Palindrom 4 digit yang jika saling dijumlahkan akan menghasilkan bilangan Palindrom 5 digit. (misal : 2882 + 9339 = 12221). Berapa banyak bilangan Palindrom 4 digit tersebut ? Matematika Diskrit

Contoh 8d : Mari kita pikirkan bilangan ganjil dari 1 sampai dengan 303. Berapa kali angka 3 muncul ? Jawab : Pada satuan : 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93 1-100 : 10x 101-200 : 10x 201-300 : 10x 301-303 : 1x  31x Pada puluhan : 31, 33, 35, 37, 39 1-100 : 5x 101-200 : 5x 201-300 : 5x 301-303 : 0x  15x Pada ratusan : 301-303 : 2x  2x Jadi total ada 31 + 15 + 2 = 48 kali muncul angka 3 Matematika Diskrit

Departemen Matematika FMIPA UI Soal 8e : Alamsyah menulis bilangan dari : 1, 2, 3, 4, ..., 2010, 2011, 2012. Berapa banyak angka 2 yang dia tulis tersebut ? Departemen Matematika FMIPA UI

Jawaban 8e : Pada satuan : 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 1-100 : 10x 1-1000 : 100x 1001-2000: 100x 2001-2012 : 2x  202x Pada puluhan : 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 1-100 : 10x 1-1000 : 100x 1001-2000: 100x 2001-2012 : 0x  200x Pada ratusan : 200, 201, 202, 203, …, 299 1-1000 : 100x 1001-2000 : 100x 2001-2012: 0x  200x Pada ribuan : 2000, 2001, 2002, 2003, …,2012  13x Jadi total ada 202 + 200 + 200 + 13 = 615 kali angka 2 yang Alamsyah tulis. Struktur Diskrit

Soal 8f : Putri menulis bilangan dari : 1, 2, 3, 4, ..., 2010, 2011, 2012. Berapa banyak digit (angka) yang dia tulis tersebut ? Matematika Diskrit

Jawaban Soal 18 : jika bilangan yang Putri tulis semuanya 4 digit (ribuan) maka ada 4 x 2012 = 8048 digit. bilangan dibawah 1000 akan kurang 1 digit  kurang 999 digit bilangan dibawah 100 akan kurang 2 digit  99 digit bilangan dibawah 10 akan kurang 3 digit  9 digit Sehingga banyaknya digit yang ditulis Putri adalah 8048 – 9 – 99 – 999 = 6941 digit Matematika Diskrit

Kombinasi Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.   Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama dan 3 buah kotak. Setiap kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola. Banyaknya cara memasukkan bola ke dalam kotak tersebut adalah .... Matematika Diskrit

Matematika Diskrit

Kombinasi Matematika Diskrit

Matematika Diskrit

Kombinasi C(n, r) sering dibaca "n diambil r", artinya r objek diambil dari n buah objek. Definisi 3. Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C(n, r), adalah banyak pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen. Matematika Diskrit

Interpretasi Kombinasi Matematika Diskrit

2. C(n, r) = cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting. Contoh: Berapa banyak cara membentuk panitia (komite, komisi, dsb) yang beranggotakan 5 orang orang dari sebuah fraksi di DPR yang beranggotakan 25 orang? Matematika Diskrit

Penyelesaian: Panitia atau komite adalah kelompok yang tidak terurut, artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannya sama. Misal lima orang yang dipilih, A, B, C, D, dan E, maka urutan penempatan masing-masingnya di dalam panitia tidak penting (ABCDE sama saja dengan BACED, ADCEB, dan seterusnya). Banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 orang anggota adalah C(25,5) = 53130 cara. Matematika Diskrit

Contoh 9 : Di antara 8 orang mahasiswa Matematika UI Angkatan 2011, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 4 orang sehingga: mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya; mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya; mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi B tidak; mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi A tidak; mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya; setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B termasuk di dalamnya. Matematika Diskrit

Penyelesaian Contoh 9 : Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 4 orang sehingga A selalu termasuk di dalamnya adalah : Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 4 orang sehingga A tidak termasuk di dalamnya adalah : Matematika Diskrit

Penyelesaian Contoh 9 : Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 4 orang sehingga A selalu termasuk di dalamnya tetapi B tidak, adalah : Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 4 orang sehingga B selalu termasuk di dalamnya tetapi A tidak, adalah : Matematika Diskrit

Penyelesaian Contoh 9 : Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 4 orang sehingga A dan B selalu termasuk di dalamnya, adalah : Matematika Diskrit

Penyelesaian Contoh 9 : Jadi banyaknya adalah 20 + 20 + 15 = 55 Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 4 orang setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B termasuk di dalamnya, adalah : A termasuk di dalamnya dan B tidak, atau B termasuk di dalamnya dan A tidak, atau A dan B termasuk di dalamnya Jadi banyaknya adalah 20 + 20 + 15 = 55 Matematika Diskrit

Penyelesaian Contoh 9 : Jadi banyaknya adalah 35 + 35 - 15 = 55 Menggunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi X = banyak cara membentuk perwakilan menyertakan A Y = banyak cara membentuk perwakilan menyertakan B X  Y = banyak cara membentuk perwakilan menyertakan A dan B, maka X = C(7, 3) = 35; Y = C(7, 3) = 35; X  Y = C(6, 2) = 15; X  Y = X + Y - X  Y = 35 + 35 – 15 = 55 Jadi banyaknya adalah 35 + 35 - 15 = 55 Matematika Diskrit

Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum Matematika Diskrit

Matematika Diskrit

Matematika Diskrit

Matematika Diskrit

Contoh 10: Berapa banyak “kata” yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI? Penyelesaian: U = { M, I, S, S, I, S, S, I, P , P , I } huruf M = 1 buah (n1) huruf I = 4 buah (n2) huruf S = 4 buah (n3) huruf P = 2 buah (n4) n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah = | U |  Matematika Diskrit

Contoh 10: Cara 1: Permutasi Banyaknya kata yang dapat dibentuk adalah :   Matematika Diskrit

Contoh 10: Cara 2: Kombinasi Banyaknya kata yang dapat dibentuk adalah : Matematika Diskrit

Contoh 11: Berapa banyak “kata” yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MATEMATIKA ? Penyelesaian: Matematika Diskrit

Contoh 12: Berapa banyak cara membagikan 8 buah mangga kepada 3 orang anak, bila Burhan mendapat empat buah mangga, dan Andi serta Ahmad masing-masing memperoleh 2 buah mangga.   Penyelesaian: n = 8, n1 = 4, n2 = 2, n3 = 2, dan n1 + n2 + n3 = 8  Banyaknya cara membagi seluruh mangga = Matematika Diskrit

Kombinasi Dengan Pengulangan Matematika Diskrit

Penyelesaian: Misal lima orang yang dipilih, A, B, C, D, dan E, maka urutan penempatan masing-masingnya di dalam panitia tidak penting (ABCDE sama saja dengan BACED, ADCEB, dan seterusnya). Banyaknya cara memilih bph yang terdiri dari 5 orang anggota adalah C(25,5) = 53130 cara.

Soal 11 : KPK dari bilangan-bilangan 16, 50 dan A adalah 1200. Ada berapa banyak bilangan bulat positif A yang memenuhi sifat tersebut ? Jawab : 16 = 24 dan 50 = 2 x 52.  KPK (16, 50) = 400 dan 1200/400 = 3 Faktorisasi prima dari A = 3 x 24 x 52 adalah (4+1) x (2+1) = 5 x 3 = 15.

Soal 12 : Berapa banyak pasangan bilangan bulat positif (x, y, z) yang merupakan penyelesaian (solusi) dari persamaan x + y + z = 10 ?

Jawab Soal 12 : Jika z = 8 maka x + y = 2  (x,y) = (1,1)  (x,y, z) ada 1 solusi Jika z = 7 maka x + y = 3  (x,y) = (1,2), (2,1)  (x,y, z) ada 2 solusi Jika z = 6 maka x + y = 4  (x,y) = (1,3), (2,2), (3,1)  (x,y, z) ada 3 solusi : Jika z = 1 maka x + y = 9  (x,y) = (1,8), (2,7), (3,6), ...(8,1)  (x,y, z) ada 8 solusi Jadi banyaknya pasangan bilangan bulat positif yang merupakan solusi persamaan tersebut adalah 1 + 2 + 3 + ... + 8 = 36

Soal 13: Pada persamaan x1 + x2 + x3 + x4 = 12, xi adalah bilangan bulat  0. Berapa jumlah kemungkinan solusinya?

Penyelesaian 13: x1 + x2 + x3 + x4 = 3 + 5 + 2 + 2 = 12 Analogi: 12 buah bola akan dimasukkan ke dalam 4 buah kotak (dalam hal ini, n = 4 dan r = 12). Bagilah keduabelas bola itu ke dalam tiap kotak. Misalnya, Kotak 1 diisi 3 buah bola (x1 = 3) Kotak 2 diisi 5 buah bola (x2 = 5) Kotak 3 diisi 2 buah bola (x3 = 2) Kotak 4 diisi 2 buah bola (x4 = 2) x1 + x2 + x3 + x4 = 3 + 5 + 2 + 2 = 12 Ada C(4 + 12 – 1, 12) = C(15, 12) = 455 buah solusi.

Soal 14 : Berapa banyak cara berbeda untuk menyatakan 90 sebagai penjumlahan dari paling sedikit dua bilangan bulat positif berurutan ?

Jawab Soal 14 : Misalkan 90 = a + (a+1) + (a+2) + ... + (a+k) dengan k >= 1 90 = a + (a+1) + (a+2) + ... + (a+k) = a (k+1) + ½ k (k+1) = (a + ½ k)(k+1) 180 = (2a + k)(k + 1)  salah satu dari faktornya adalah bilangan ganjil dan (2a + k) > (k + 1) Faktor dari 180 : 180 = 1 x 180 180 = 2 x 90 180 = 3 x 60 180 = 4 x 45 180 = 5 x 36 180 = 6 x 30 180 = 9 x 20 180 = 10 x 18 180 = 12 x 15

Jawab Soal 14 : Jadi ada 5 cara 2a + k k + 1 k a 90 180 1 TM - 2 60 3 29 29 + 30 + 31 45 4 21 21 + 22 + 23 + 24 36 5 16 16 + 17 + 18 + 19 + 20 30 6 20 9 8 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 18 10 15 12 11 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13 Jadi ada 5 cara

Soal 15 : Dari 100.000 buah bilangan bulat positif pertama, berapa banyak bilangan yang mengandung tepat 1 buah angka 2, 1 buah angka 4, dan 1 buah angka 5 ?

Jawab Soal 15 : Bilangan 100.000 tidak memenuhi, jadi hanya ada 5 digit yang harus dipenuhi Ada 5 cara untuk menempatkan angka 5, sisa tempat kosong tinggal 4 Ada 4 cara untuk menempatkan angka 4, sisa tempat kosong tinggal 3 Ada 3 cara untuk menempatkan angka 2, sisa tempat kosong tinggal 2

Jawab Soal 15 : Selain angka, 2, 4, dan 5 boleh diisi berulang. Jadi untuk kedua tempat yang masih kosong dapat diisi masing-masing dengan 7 angka Banyak bilangan yang dapat dibentuk sesuai dengan aturan tersebut adalah 5.4.3.7.7 = 2940

Soal 16 : Berapa banyak bangun segitiga yang terdapat pada Gambar berikut

Soal 16 : Jawab : Segitiga kecil ada 11

Soal 16 : Jawab : Segitiga kecil ada 11 Segitiga sedang ada 5

Soal 16 : Jawab : Segitiga kecil ada 11 Segitiga sedang ada 5 Segitiga besar ada 1 Jadi semuanya ada 11 + 5 + 1 = 17 segitiga

Soal 17 Berapa banyak bangun segitiga yang terdapat pada Gambar berikut

Jawab soal 17 : Banyaknya segitiga yang dibentuk dari 1 daerah adalah 10 segitiga Banyaknya segitiga yang dibentuk dari 2 daerah adalah 10 segitiga Banyaknya segitiga yang dibentuk dari 3 daerah adalah 10 segitiga Banyaknya segitiga yang dibentuk dari 5 daerah adalah 5 segitiga Jadi total banyaknya segitiga yang terdapat pada gambar tersebut adalah 10 + 10 + 10 + 5 = 35 segitiga

Contoh 18: Berapa banyak cara membagikan 5 buah kartu kepada 4 orang pemain jika banyaknya kartu ada 52 buah ? Karena setiap pemain akan memperoleh 5 kartu maka kartu yang tersisa adalah 52 - 5.4 = 32 Banyak cara untuk membagikan kartu tersebut pada keempat pemain adalah: Matematika Diskrit

Koefisien Binomial Matematika Diskrit

untuk 1 < k < n, berlaku: Identitas Pascal: untuk 1 < k < n, berlaku: Matematika Diskrit

Segitiga Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 … Matematika Diskrit

Contoh 19 : Jabarkan bentuk (3x – 2)3 Jawab : Misalkan a = 3x dan b = -2, (a + b)3 = C(3, 0) a3 + C(3, 1) a2b1 + C(3, 2) a1b2 + C(3, 3) b3 = 1 (3x)3 + 3 (3x)2 (-2) + 3 (3x) (-2)2 + 1 (-2)3 Jadi (3x – 2)3 = 27 x3 – 54x2 + 36x – 8 Matematika Diskrit

Contoh 20 : Tentukan suku keempat dari penjabaran perpangkatan (x - y)5. Penyelesaian: Bentuk umum : (x - y)5 = (x + (-y))5.  n = 5 Jadi suku keempat  k = 3 , adalah: C(5, 3) x5-3 (-y)3 = -10x2y3. Matematika Diskrit

Contoh 21 : Buktikan bahwa Penyelesaian: Bentuk umum : Ambil x = 1 dan y = 1 Didapat Matematika Diskrit

Soal 22 : Jika BOOK + BOOK + BOOK + BOOK + BOOK + BOOK = TEST maka carilah bilangan yang ditunjukkan oleh BOOK dan TEST tersebut, dengan BOOK dan TEST masing-masing merupakan bilangan 4 digit (angka) dan setiap huruf yang berbeda menunjukkan nilai angka yang berbeda....! Matematika Diskrit

Jawaban Soal 22 : 6 x BOOK = TEST berarti B=1 karena jika B> 1 maka hasilnya bilangan 5 digit T ialah bilangan genap karena 6 x K dan T paling kecil nilainya 6 (saat 6 x B = T, karena B = 1) karena T satuan dari kelipatan 6 maka T=8 (saat K=3, 6x3 =18). O x 6 akan menghasilkan bilangan dua puluhan maka O = 4 Sehingga di dapat B = 1 , K = 3, O = 4, T = 8, S = 5 dan E = 6 Jadi BOOK = 1443 dan TEST = 8658 Matematika Diskrit

Soal 23: Diberikan suatu persegi panjang sebagai berikut Jika kita tarik sebuah garis lurus yang menghubungkan kedua sisi persegi panjang maka akan terbentuk dua daerah didalam persegi tersebut. Maksimum berapa banyak daerah yang terbentuk jika kita membagi persegi panjang tersebut dengan 2012 garis lurus ? Matematika Diskrit

Soal 24 Hitunglah jumlah dari seluruh koefisien hasil eskpansi Matematika Diskrit

Jawaban Soal 23: 1 garis  2 = 1 + 1 daerah maksimum n garis  ½ n(n + 1) + 1 daerah maksimum 2011 garis  (½ x 2011 x 2012 )+ 1 = 2.023.067 Matematika Diskrit

Referensi : Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Application to Computer Science 5th Edition, Mc Graw-Hill, 2003. Richard Johsonbaugh, Discrete Mathematics, Prentice-Hall, 2009. Rinaldi Munir, Matematika Diskrit Penerbit Informatika, Bandung. Matematika Diskrit

Latihan : (a) Berapa banyak bilangan genap 2-angka? (b) Berapa banyak bilangan ganjil 2-angka dengan setiap angka berbeda? Dari 100.000 buah bilangan bulat positif pertama, berapa banyak bilangan yang mengandung tepat 1 buah angka 3, 1 buah angka 4, dan 1 buah angka 5? Matematika Diskrit

(a) tidak ada huruf yang diulang; (b) boleh ada huruf yang berulang; Tersedia 6 huruf: a, b, c, d, e, f. Berapa banyak pengurutan 3 huruf jika: (a) tidak ada huruf yang diulang; (b) boleh ada huruf yang berulang; (c) tidak boleh ada huruf yang diulang, tetapi huruf e harus ada; (d) boleh ada huruf yang berulang, huruf e harus ada Tentukan banyak cara pengaturan agar 3 orang mahasiswa Jurusan Teknik Komputer (TK), 4 orang mahasiswa Teknik Kimia (TK), 4 orang mahasiswa Teknik Geologi (GL), dan 2 orang mahasiswa Farmasi (FA) dapat duduk dalam satu baris sehingga mereka dari departemen yang sama duduk berdampingan? Matematika Diskrit

Tugas : Terdapat 24 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa banyak cara pembagian yang dapat dilakukan? Tunjukkan bahwa Matematika Diskrit

Tugas : 3. Tentukan koefisien 4. Terdapat 10 kandidat karyawan yang terdiri dari 4 Sarjana Ekonomi dan 6 Sarjana Teknik. Berapa cara terpilih 3 orang yang terdiri dari 1 Sarjana Ekonomi dan 2 Sarjana Teknik ? 5. Berapa banyak string bit yang memiliki panjang delapan dimulai dengan bit 1 atau diakhiri bit 00 dapat dibuat? Matematika Diskrit

Notes : Matematika Diskrit