BAB 8 FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA HOME NEXT

logaritma 1. FUNGSI LOGARITMA 2. PERSAMAAN LOGARITMA - DEFINISI LOGARITMA - GRAFIK 2. PERSAMAAN LOGARITMA - BENTUK-BENTUK PERSAMAAN LOGARITMA - PENYELESAIAN 3. PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA - BENTUK-BENTUK PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA - PENYELESAIAN BACK HOME NEXT

PENDAHULUAN Di kelas X, kalian telah mempelajari logaritma. Pada pokok bahasan ini, kalian akan mempelajari labih lanjut tentang logaritma. Konsep – konsep dasar yang kita peroleh di kelas X akan digunakan disini. Materi yang akan kita bahas pada bab ini adalah fungsi logaritma, persamaan logaritma dan pertidaksamaan logaritma. BACK HOME NEXT

PETA KONSEP FUNGSI, PERSAMAAN, DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA FUNGSI LOGARITMA PERSAMAAN LOGARITMA FUNGSI LOGARITMA DEFINISI BENTUK-BENTUK PERSAMAAN LOGARIMA BENTUK-BENTUK PERTIDAKSAMAAN LOGARIMA GRAFIK PENYELESAIAN PENYELESAIAN BACK HOME NEXT

FUNGSI LOGARITMA - DEFINISI Logaritma adalah invers atau balikan dari perpangkatan (eksponen). Oleh karena itu, apabila terdapat fungsi eksponen f yang memetakan bilangan real x ke ax (ditulis f(x)= ax bilangan real x ke alog x (ditulis g(x)= alog x . BACK HOME NEXT

fungsi LOGARITMA Misal : Misalkan diketahui fungsi f(x) = 3x dengan daerah asal Df = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. Hubungan antara x dan y = f(x) = 3x dapat disajikan dalam tabel berikut. x -3 -2 -1 1 2 3 f(x) = 3x 1/27 1/9 1/3 9 27 Terlihat adanya korespondensi satu-satu antara x dan f(x) = 3x . Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa fungsi eksponen f(x) = 3x merupakan fungsi bijektif. Maka terdapat fungsi invers f-1 , seperti pada tabel : x 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27 f(x) -3 -2 -1 2 BACK HOME NEXT

fungsi LOGARITMA Misalkan fungsi invers dari f(x) = 3x disebut fungsi g(x), dengan demikian dapat ditentukan sebagai berikut. y = f(x) = 3x ↔ log y = x log 3 ↔ x = log y/log 3 ↔ x = 3log y ↔ f-1 (y)= 3log y ↔ f-1 (x)= 3log x Jadi, invers dari f(x) = 3x adalah g(x) = f-1 (x)= 3log x yang merupakan logaritma dengan bilangan pokok 3. Dari uraian di atas, pengertian fungsi logaritma adalah suatu fungsi yang memetakan setiap x bilangan real dengan aturan g(x) = alog x, x>0, a>0 dan a≠1 merupakan fungsi logaritma. BACK HOME NEXT

Fungsi logaritma Contoh : Diketahui f(x) = 4log (x2 – 8x + 16). Tentukan titik potong kurva fungsi f dengan sumbu-sumbu berikut. a. Sumbu X b. Sumbu Y Penyelesaian : Titik potong dengan sumbu X Syaratnya f(x) = 0. f(x) = 4log (x2 – 8x + 16) ↔ 0 = 4log (x2 – 8x + 16) ↔ 4log (x2 – 8x + 16) = 4log 1 ↔ x2 – 8x + 16 = 1 ↔ x2 – 8x + 15 = 0 ↔ (x – 5)(x – 3) = 0 ↔ x = 5 atau x = 3 Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (5,0) dan (3,0) BACK HOME NEXT

Fungsi logaritma b. Titik potong dengan sumbu Y, syaratnya, x = 0. f(x) = 4log (x2 – 8x + 16) = 4log ((0)2 – 8(0) + 16) = 4log 16 = 4log 42 = 2 Jadi, titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0,2) BACK HOME NEXT

grafik 1. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis a > 1 Langkah-langkah menggambar grafik fungsi logaritma : Langkah 1 : Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) = alog x, yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga y mudah ditentukan. Langkah 2 : Gambarlah titik-titik (x,y) yang diperoleh dalam langkah 1 pada bidang kartesius, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma y = f(x) = alog x BACK HOME NEXT

grafik Dengan mengetahui bentuk grafik fungsi logaritma, kita dapat menentukan sifat-sifat fungsi logaritma tersebut. Contoh : 1. Gambarlah grafik fungsi y = f(x) = 3log x ! Penyelesaian : Tabel fungsi y = f(x) = 3log x adalah sebagai berikut : x …. 9 3 1 1/3 1/9 1/27 y = f(x) = 3log x 2 -1 -2 -3 BACK HOME NEXT

grafik Grafiknya adalah : (9,2) y = 3log x (3,1) (1,0) X Dari penjelasan di atas, nampak bahwa fungsi logaritma y = f(x) = alog x, dengan a > 1, merupakan fungsi naik karena untuk x1 ≤ x2 maka alog x1 ≤ alog x2. dalam bentuk pertidaksamaan, dapat ditulis sebagai berikut. √ Jika a > 1 dan alog u(x) ≥ alog v(x) maka u(x) ≥ v(x) √ Jika a > 1 dan alog u(x) ≤ alog v(x) maka u(x) ≤ v(x) BACK HOME NEXT

grafik 2. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis 0 < a < 1 Langkah 1 : Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) = alog x , yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga y mudah ditentukan. Langkah 2 : Gambarlah titik-titik (x,y) yang diperoleh dalam langkah 1 pada bidang kartesius, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma y = f(x) = alog x Dengan memerhatikan grafik fungsi logaritma f(x) = alog x, untuk 0 < x < 1 , kita dapat mengetahui sifat-sifat fungsi logaritma f tersebut. BACK HOME NEXT

grafik 1. Gambarlah grafik fungsi logaritma y = f(x) = 1/2log x ! Contoh : 1. Gambarlah grafik fungsi logaritma y = f(x) = 1/2log x ! Penyelesaian : Terlebih dahulu dibuat tabel f(x) = 1/2log x. X …. 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 y = f(x) = 1/2log x 3 -1 -2 -3 Dengan melukis pasangan koordinat titik-titik yang diperoleh pada tabel di atas, kemudian menghubungkannya dengan sebuah kurva mulus, kita dapatkan grafik fungsi logaritma f(x) = 1/2log x seperti pada gambar berikut. BACK HOME NEXT

grafik Grafiknya adalah : BACK HOME NEXT y = 1/2log x Y Y 1 2 4 8 X 1 -1 -1 (2,-1) (4,-2) -2 -2 y = 1/2log x -3 -3 (8,-3) BACK HOME NEXT

grafik Fungsi logaritma f(x) = alog x, dengan 0 < a < 1 adalah fungsi turun karena jika x1 ≤ x2 maka alog x1 ≥ alog x2. dalam bentuk pertidaksamaan, kita dapat menuliskannya sebagai berikut. √ Jika 0 < a < 1 dan alog u(x) ≥ alog v(x) maka u(x) ≤ v(x) √ Jika 0 < a < 1 dan alog u(x) ≤ alog v(x) maka u(x) ≥ v(x) BACK HOME NEXT

grafik 3. Grafik fungsi f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x Jika grafik fungsi logaritma y = f(x) = alog x dan grafik fungsi y = g(x) = 1/alog x digambarkan dalam satu bidang koordinat, gambar grafiknya adalah sebagai berikut. Dari gambar di samping, dapat kita katakan sebagai berikut : Y (8,3) (4,2) Grafik fungsi logaritma f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x simetri terhadap sumbu X. hal ini berarti bahwa fungsi g(x) = 1/alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = alog x terhadap sumbu X atau sebaliknya. (2,1) (1,0) (2,-1) (4,-2) (8,-3) BACK HOME NEXT

grafik b. Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x melalui titik (1,0) c. Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x selalu berada di sebelah kanan sumbu Y. d. Daerah asal kedua fungsi adalah himpunan bilangan real positif atau D = (0, ∞) dan daerah hasilnya adalah R = (- ∞,∞) e. Fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi naik dan fungsi g(x) = 1/alog x merupakan fungsi turun. f. Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x tidak pernah memotong sumbu Y, tetapi terus-menerus mendekatinya. Oleh karena itu, sumbu Y merupakan asimtot tegak bagi kedua grafik fungsi tersebut. BACK HOME NEXT

grafik 4. Grafik Fungsi f(x) = ax dan g(x) = alog x Jika grafik logaritma f(x) = 2x dan g(x) = 2log x, serta grafik f(x) = (1/2)x dan grafik 1/2log x digambarkan dalam satu bidang kartesius, hasilnya adalah sebagai berikut. y = 2x y = (1/2)x Y y = x Y y = x y = 2log x (0,1) (0,1) o (1,0) o X (1,0) X y = 1/2log x BACK HOME NEXT

grafik Beberapa hal menarik tentang grafik fungsi eksponen f(x) = ax dan grafik fungsi logaritma g(x) = alog x, sebagai berikut. a. Grafik fungsi eksponen f(x) = ax dan grafik fungsi logaritma g(x) = alog x simetris terhadap garis y = x. Hal ini berarti bahwa grafik fungsi g(x) = alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = ax terhadap garis y = x atau sebaliknya. b. Fungsi eksponen f(x) = ax merupakan fungsi invers dari fungsi logaritma g(x) = alog x atau sebaliknya. BACK HOME NEXT

Persamaan logaritma - DEFINISI Persamaan logaritma adalah suatu persamaan yang numerusnya (bilangan yang di ambil logaritmanya) memuat variabel x atau persamaan yang bilangan pokok atau numerusnya memuat variabel x. Adapun bentuk – bentuk dari persamaan logaritma yang kita pelajari, sebagai berikut. a. alog f(x) = alog p c. alog f(x) = blog f(x) b. alog f(x) = alog g(x) d. A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0 Adapun f(x) dan g(x) adalah fungsi – fungsi aljabar dengan f(x),g(x) > 0; a, b, p bilangan real positif, x > 0, a ≠ 1, b ≠ 1; A, B, C bilangan real, A ≠ 0. BACK HOME NEXT

Persamaan logaritma a. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = alog p Misalkan diberikan persamaan alog f(x) = alog p dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), p > 0. Himpunan penyelesaian persamaan tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. Karena alog f(x) = alog p maka a a log p = f(x) atau f(x) = a a log p . Akibatnya f(x) = p. Himpunan penyelesaian persamaan alog f(x) = alog p dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), p > 0 adalah himpunan yang anggotanya x sedemikian rupa sehingga f(x) = p. BACK HOME NEXT

Persamaan logaritma Contoh : Tentukan penyelesaian dari persamaan – persamaan logaritma berikut. a. 2log (3x – 1) = 3 b. 2log (x – 5) + 2log (x – 2) = 9log 81 Penyelesaian : 2log (3x – 1) = 3 ↔ 2log (3x – 1) = 2log 23 ↔ 2log (3x – 1) = 2log 8 dalam hal ini, syarat 3x – 1 > 0 dan 8 > 0 sudah dipenuhi karena 3x – 1 = 8 > 0 BACK HOME NEXT

Persamaan logaritma b. 2log (x – 5) + 2log (x – 2) = 9log 81 Syarat yang harus dipenuhi adalah x – 5 > 0 ↔ x > 5 dan x – 2 > 0 ↔ x > 2. Akibatnya , x > 5. 2log (x – 5) + 2log (x – 2) = 9log 81 ↔ 2log (x – 5) (x – 2) = 9log 92 ↔ 2log (x – 5) (x – 2) = 2 ↔ 2log (x – 5) (x – 2) = 2log 22 ↔ x2 – 7x + 10 = 4 ↔ x2 – 7x + 6 = 0 ↔ (x – 1)(x – 6) = 0 ↔ x = 1 atau x = 6 Namun, karena x > 5 maka yang memenuhi adalah x = 6. BACK HOME NEXT

Persamaan logaritma Problem solving Diketahui persamaan log (x2 + 11x) = 1. Jika x1 dan x2 merupakan akar – akar persamaan itu, tentukan nilai – nilai berikut. Penyelesaian log (x2 + 11x) = 1 ↔ log (x2 + 11x) = log 10 ↔ x2 + 11x = 10 Dalam hal ini syarat x2 + 11x > 0 dan 10 > 0 sudah terpenuhi karena x2 + 11x = 10 > 0. selanjutnya, x2 + 11x = 10 ↔ x2 + 11x – 10 = 0. BACK HOME NEXT

MATERI LOGARITMA Bentuk terakhir merupakan bentuk persamaan kuadrat yang bersesuaian dengan ax2 + bx + c = 0, untuk a = 1, b = 11, dan c = - 10. Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai – nilai berikut. a. x1 + x2 = –b /a = –11/1 = –11 b. x1x2 = c/a = –10/1 = –10 c. x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2 x1x2 = (-11)2 – 2(-10) = 141 d. 3/x1 + 3/x2 = 3x1 + 3x2 / x1x2 = 3(x1 + x2)/x1x2 = 3(-11)/-10 = 3,3 BACK HOME NEXT

MATERI LOGARITMA b. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = alog g(x) Misalkan diberikan persamaan alog f(x) = alog g(x) dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), g(x) > 0. Himpunan penyelesaian persamaan tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. Karena alog f(x) = alog g(x) maka a a log g(x) = f(x) atau f(x) = a a log g(x) . Akibatnya f(x) = g(x). Himpunan penyelesaian persamaan alog f(x) = alog g(x) dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), f(x), g(x) > 0 adalah himpunan yang anggotanya x sedemikian rupa sehingga f(x) = g(x). BACK HOME NEXT

MATERI LOGARITMA Contoh : 1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma log (x2 + 5x – 7) = log (x – 2) Penyelesaian : log (x2 + 5x – 7) = log (x – 2) ↔ x2 + 5x – 7 = x – 2 ↔ x2 + 5x – 5 = 0 ↔ (x + 5)(x – 1) = 0 ↔ x = -5 atau x = 1 Jika x = - 5 disubstitusikan pada x2 + 5x – 7 dan x – 2, diperoleh nilai bentuk itu negatif, berarti x = - 5 bukan merupakan penyelesaian. Jika x = 1 disubstitusikan pada x2 + 5x – 7 dan x – 2, diperoleh nilai negatif berarti x = 1 juga bukan penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaiannya { } atau ф (himpunan kosong). BACK HOME NEXT

MATERI LOGARITMA c. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = blog f(x) Misalkan diberikan persamaan alog f(x) = blog f(x) dengan a,b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1, a ≠ b; f(x) > 0. Himpunan penyelesaian persamaan tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. Misalkan alog f(x) = r maka ar = f(x). Demikian juga, blog f(x) = r maka br = f(x). Berarti, ar = br . Namun, karena a ≠ 1, b ≠ 1 dan a ≠ b maka r = 0. akibatnya, f(x) = 1. Himpunan penyelesaian persamaan alog f(x) = blog f(x) dengan a,b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1, a ≠ b; f(x) > 0 adalah himpunan yang anggotanya x sedemikian rupa sehingga f(x) = 1. BACK HOME NEXT

MATERI LOGARITMA Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut. a. 2log (2x + 7) = 3log (2x + 7) b. 3log (x2 – 6x + 10) = 5log (x2 – 6x + 10) Penyelesaian : a. 2log (2x + 7) = 3log (2x + 7) ↔ 2x + 7 = 1 Dalam hal ini, syarat 2x + 7 > 0 dan 1 > 0 sudah dipenuhi karena 2x + 7 = 1 > 0, 2x + 7 = 1 ↔ 2x = - 6 ↔ x = - 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 3 } BACK HOME NEXT

MATERI LOGARITMA b. 3log (x2 – 6x + 10) = 5log (x2 – 6x + 10) Syarat x2 – 6x + 10 > 0 dan 1 > 0 sudah dipenuhi karena x2 – 6x + 10 = 1 > 0, x2 – 6x + 10 = 1 ↔ x2 – 6x + 9 = 0 ↔ (x – 3)2 = 0 ↔ x = 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 3 }. BACK HOME NEXT

MATERI LOGARITMA d. Persamaan logaritma berbentuk A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0 Pada persamaan logaritma A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0; dengan a, x > 0, a ≠ 1 dan A, B, C bilangan real, dan A ≠ 0 jika dimisalkan y = alog x maka persamaan tersebut dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dalam variabel y. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut. a. log2 x – 2 log x = 24 b. 5log2 x – 5log x6 + 5 = 0 BACK HOME NEXT

MATERI LOGARITMA Penyelesaian : a. log2 x – 2 log x = 24 Misalkan log x = p. persamaan tersebut berubah menjadi bentuk berikut. p2 – 2p – 24 = 0 ↔ (p + 4)(p – 6) = 0 ↔ p = - 4 atau p = 6 Untuk p = - 4 → log x = - 4 ↔ log x = log 10-4 ↔ x = 10-4 ↔ x = 0,0001 Untuk p = 6 → log x = 6 ↔ log x = log 106 ↔ x = 106 ↔ x = 1,000,000 Dari proses tersebut, diperoleh nilai – nilai x > 0. Jadi, himpunan penyelesaiannya {0,0001; 1,000,000} BACK HOME NEXT

MATERI LOGARITMA b. 5log2 x – 5log x6 + 5 = 0 ↔ (5log x)2 – 6 (5log x) + 5 = 0 Misalkan 5log x = p. Persamaan tersebut akan menjadi bentuk berikut. p2 – 6p + 5 = 0 ↔ (p – 1)(p – 5) = 0 ↔ p = 1 atau p = 5 Untuk p = 1 → 5log x = 1 ↔ 5log x = 5log 5 ↔ x = 5 Untuk p = 5 → 5log x = 5 ↔ 5log x = 5log 55 ↔ x = 55 = 3.125 Dari proses tersebut, diperoleh nilai – nilai x > 0. Jadi himpunan penyelesaiannya { 5; 3.125 } BACK HOME NEXT

MATERI LOGARITMA 3. PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Sifat – sifat yang digunakan dalam penyelesaian pertidaksamaan logaritma, antara lain. √ Jika a > 1 dan alog u(x) ≥ alog v(x) maka u(x) ≥ v(x) √ Jika a > 1 dan alog u(x) ≤ alog v(x) maka u(x) ≤ v(x) √ Jika 0 < a < 1 dan alog u(x) ≥ alog v(x) maka u(x) ≤ v(x) √ Jika 0 < a < 1 dan alog u(x) ≤ alog v(x) maka u(x) ≥ v(x) Kondisi di atas juga berlaku untuk tanda pertidaksamaan < atau > √ Fungsi logaritma alog u(x) terdefinisi jika u(x) > 0. BACK HOME NEXT

MATERI LOGARITMA Contoh Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan – pertidaksamaan logaritma berikut. a. 1/2log (2x – 1) < - 1 b. 2log (x2 + 5x + 6) > 1 c. 1/2log (x2 – 5x + 4) > - 2 BACK HOME NEXT

MATERI LOGARITMA Penyelesaian : 1/2log (2x – 1) < - 1 ↔ 1/2log (2x – 1) < 1/2log (1/2)- 1 ↔ 1/2log (2x – 1) < 1/2log 2 ↔ 2x – 1 < 2 …………………………(karena a = ½, berarti 0 < a < 1) ↔ 2x > 3 ↔ x > 3/2 Disamping itu, harus dipenuhi syarat berikut. 3/2 1/2 2x – 1 > 0 ↔ 2x > 1 ↔ x = 1/2 Jika digambarkan dalam garis bilangan seperti pada gambar di samping ! Dapat disimpulkan bahwa penyelesaiannya dari 1/2log (2x – 1) < - 1 adalah x > 3/2 BACK HOME NEXT

MATERI LOGARITMA 2log (x2 + 5x + 6) > 1 ↔ 2log (x2 + 5x + 6) > 2log 2 ↔ x2 + 5x + 6 > 2 …………………..(a = 2 > 1) ↔ x2 + 5x + 4 > 0 ↔ (x +4)(x + 1) > 0 ↔ x < - 4 atau x > - 1 -4 -1 -3 -2 Syarat 2log (x2 + 5x + 6) terdefinisi adalah sebagai berikut. (x2 + 5x + 6) > 0 ↔ (x + 3)(x + 2) > 0 ↔ x < - 3 atau x > - 2 Pada gambar di samping, tampak bahwa irisan kedua penyelesaian diatas adalah x < - 4 atau x > - 1. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x I x < - 4 atau x > - 1, x є R}. BACK HOME NEXT

MATERI LOGARITMA 1/2log (x2 – 5x + 4) > - 2 ↔ 1/2log (x2 – 5x + 4) > 1/2log 4 ↔ (x2 – 5x + 4) < 4 ↔ x2 – 5x < 0 ↔ x(x – 5) < 0 ↔ 0 < x < 5 5 1 4 Syarat agar 1/2log (x2 – 5x + 4) terdefinisi adalah sebagai berikut. (x2 – 5x + 4) > 0 ↔ (x – 1)(x – 4) > 0 ↔ x < 1 atau x > 4 Pada gambar di samping, tampak bahwa irisan kedua penyelesaian diatas adalah 0 < x < 1 atau 4 < x < 5. jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x I 0 < x < 1 atau 4 < x < 5, x є R}. BACK HOME