Turunan Fungsi-Fungsi Oleh: Sudaryatno Sudirham Diferensial #1 Turunan Fungsi-Fungsi Oleh: Sudaryatno Sudirham

Cakupan Bahasan Turunan Fungsi-Fungsi Mononom. Polinom. Fungsi Perkalian Dua Fungsi. Fungsi Pangkat Dari Suatu Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi Implisit. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial dx dan dy. Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi. Fungsi Logaritmik. Fungsi Eksponensial

Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian Δx Δy 1 2 -1 3 4 x y Kita telah melihat bahwa kemiringan garis lurus adalah Bagaimanakah dengan garis lengkung?

Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian Δy Δx x y P2 y = f(x) Δx di perkecil menjadi x* P1 Δy* Δx* x y y = f(x) pada kondisi Δx mendekati nol fungsi turunan dari di titik P ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P

Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian (x1,y1) (x2,y2) x y f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunan y di titik (x1,y1), f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunan y di titik (x2,y2)

Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian Jika pada suatu titik x1 di mana benar ada maka dikatakan bahwa fungsi f(x) “dapat didiferensiasi di titik tersebut” kita baca “turunan fungsi y terhadap x”. Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.

Fungsi Mononom

Turunan Fungsi, Mononom Contoh-1.1 Contoh-1.2 2 4 6 8 10 1 3 5 x y Fungsi ramp Fungsi tetapan

Turunan Fungsi, Mononom Contoh-1.3 Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononom pangkat 1 (kurva garis lurus) Contoh-1.4 Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononom pangkat 2 (kurva parabola)

Turunan Fungsi, Mononom Secara umum, turunan mononom adalah Jika n = 1 maka kurva fungsi berbentuk garis lurus dan turunannya berupa nilai konstan, *) Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x, Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi turunan dari *) Untuk n berupa bilangan tak bulat akan dibahas kemudian

Turunan Fungsi, Mononom disebut turunan pertama, turunan kedua, turunan ke-tiga, dst. Contoh-1.5:

Turunan Fungsi, Mononom Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapa turunan akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya. Contoh-1.6: dan turunan-turunannya Fungsi -100 100 200 -3 -2 -1 1 2 3 4

Fungsi Polinom

Turunan Fungsi, Polinom Contoh-1.7: f1(x) = 4x + 2 -4 -2 2 4 6 8 10 -1 -0,5 0,5 1 1,5 x y Turunan fungsi ini sama dengan turunan f(x)=4x karena turunan dari tetapan 2 adalah 0. Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f (x) Kita akan melihat hal ini dalam pembahasan integral tak tentu

Turunan Fungsi, Polinom Contoh-1.8: -15 -10 -5 5 10 -1 1 2 3 4 x y

Turunan Fungsi, Polinom Contoh-1.9: Contoh-1.10: Secara Umum: Turunan suatu polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu memang memiliki turunan.

Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi Jika maka

Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi Contoh-1.16: Turunan adalah Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi Jika Contoh-1.17: Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi

Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi Contoh-1.18: Contoh ini menunjukkan bahwa Secara Umum:

Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi Contoh-1.19: Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi

Fungsi Rasional

Turunan Fungsi, Fungsi Rasional Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi atau Jadi:

Turunan Fungsi, Fungsi Rasional Contoh-1.20: Contoh-1.21: (agar penyebut tidak nol) Contoh-1.22:

Fungsi Implisit

Turunan Fungsi, Fungsi Implisit Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat didiferensiasi terhadap x.

Turunan Fungsi, Fungsi Implisit Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh Contoh-1.23: kita peroleh turunan Jika

Turunan Fungsi, Fungsi Implisit Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh Contoh-1.24: kita dapat memperoleh turunan Untuk

Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

Turunan Fungsi, Fungsi Berpangkat Tidak Bulat dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0 Bilangan tidak bulat Jika y ≠ 0, kita dapatkan (v adalah fungsi yang bisa diturunkan) sehingga Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat, hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.

Kaidah Rantai

Turunan Fungsi, Kaidah Rantai Apabila kita mempunyai persamaan maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk Kaidah rantai dapat diturunkan terhadap t, dapat diturunkan terhadap x dan Jika dapat diturunkan terhadap t menjadi maka

Diferensial dx dan dy

Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx 0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x: dx dan dy didefinisikan sebagai berikut: 1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x; 2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan

Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy Penjelasan secara grafis P dx dy  y x Ini adalah peubah bebas Ini adalah fungsi (peubah tak bebas) P dx dy  y x Jika dx berubah, maka dy berubah sedemikian rupa sehingga dy/dx sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva besar perubahan nilai y sepanjang garis singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx laju perubahan y terhadap perubahan x. ; Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”. P dx dy  x y P dx dy  x y P dx dy  x y

Dalam tabel ini v adalah fungsi x. Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut. Dalam tabel ini v adalah fungsi x. Diferensial Turunan Fungsi

Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi. 1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx. 2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel) Contoh-1.25: sehingga Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas

Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri maka Jika Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1 dan sinx = x. Oleh karena itu

Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Jika maka Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1 dan sinx = x. Oleh karena itu

Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.

Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Contoh-1.26: Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 210-6 farad merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor ini adalah Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Daya pada kapasitor adalah -200 -100 100 200 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 vC pC iC t [detik]

Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Contoh-1.27: Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL = 0,2cos400t ampere. Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah vL iL pL -200 -100 100 200 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]

Fungsi Trigonometri Inversi

Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Inversi Turunan Fungsi Trigonometri Inversi x 1 y x 1 y

Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri x 1 y x 1 y

Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri 1 x y 1 x y

Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi

Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi Jika v = f(x), maka

Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Jika w = f(x), maka

Fungsi Logaritmik dan Fungsi Eksponensial

Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut Turunan Fungsi, Fungsi Logaritmik Turunan Fungsi Logaritmik didefinisikan melalui suatu integral Fungsi logaritmik Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut x t 1/x 1/t x +Δx 1/(x+Δx) 1 2 3 4 5 6 y luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, dalam selang antara t = 1 dan t = x ln(x+x)lnx Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx  1/x). Namun jika Δx makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx  1/x); dan jika Δx mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx  1/x).

Turunan Fungsi, Fungsi Eksponensial Turunan Fungsi Eksponensial penurunan secara implisit di kedua sisi atau . Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri dst. Jika

Courseware Diferensial #1 Sudaryatno Sudirham