MODUL KULIAH MATEMATIKA TERAPAN STMIK MUHAMMADIYAH JAKARTA MODUL KULIAH MATEMATIKA TERAPAN Edited by : Maison MD.

Pokok Bahasan : Kalkulus I Sistem Bilangan Real Fungsi dan Grafik Fungsi, Fungsi Trigonometri Limit Fungsi, Fungsi Kontinu Turunan Fungsi Penggunaan Turunan, Grafik Fungsi Limit Bentuk Tak Tentu, Penggunaan Turunan UTS Integral Tak Tentu dan Integral Tentu Penggunaan Integral Tentu Fungsi-fungsi Transenden Metode Integrasi, Penggunaan Tabel Integral UAS

SISTEM BILANGAN REAL Bilangan Kompleks z = a + bi Bilangan Real ( R ) Bilangan Immajiner, i = Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan (P/Q) Bilangan yang dapat ditulis sebagai desimal berulang Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Bilangan desimal tidak berulang

Bidang Bilangan Kompleks Garis Bilangan Real Bilangan real dinyatakan dengan notasi R. Bilangan-bilangan real dapat dipandang sebagai titik-titk sepanjang sebuah garis bilangan real x < -2 =3,14 e ───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼──> R –3 –2 –1 0 1 2 3 4 4/5 Bidang Bilangan Kompleks Bilangan komplek, z = a + bi, dalam bentuk geometri bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk bidang kompleks Im(z) b P Ra(z) a

Pengertian Pertidaksamaan Sifat-sifat Sederhana : Penjumlahan/pengurangan. Jika x < y, maka x + a < y + a Misal, jika x < 10, maka x+2 <10+2 Perkalian/pembagian dengan bilangan positip. Untuk, a > 0, Jika x < y, maka ax < ay Misal, jika x < 2, mk 4x < 4(2) Perkalian/pembagian denan bilangan negatif. Untuk a < 0, Jika x < y, maka ax > ay Misal, jk x < 4, mk -2x > -2(4) Pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang memenuhi sifat urutan bilangan tertentu. Pertidaksamaan dinyatakan dengan salah satu tanda dari lambang berikut : >   <. p < q artinya p lebih kecil dari pada q p > q artinya p lebih besar dari pada q p  q artinya p lebih kecil atau sama dengan q p  q artinya p lebih besar atau sama dengan q

Pertidaksamaan dan Interval Persamaan (x2 + 2x – 8 = 0) solusinya adalah sebuah titik di dalam garis bilangan R (x1 = –4, x2 = 2) Pertidaksamaan (x2 + 2x – 8 ≤ 0) solusinya adalah sebuah interval tertutup, interval terbuka atau kombinasi, (HP = {x:–4 ≤ x ≤2}) Interval adalah himpunan dari R yang memenuhi sifat urutan bilangan tertentu Interval terdiri interval terbuka, tertutup atau kombinasi dari keduanya. Interval disajikan dengan notasi himpunan, interval dan garis bilangan Contoh Tentukan HP dari : x3 -2x2 – 11x + 12 ≤ 0 Contoh Tentukan HP dari : dg, x  8, x –4 Solusi : - -0 + + + 0 - - - - 0 + + + ─┼────┼────┼───> R –3 1 4 HP = {x: x ≤ –3 V 1 ≤ x ≤ 4} Solusi : - -0 + + + 0 - - - - 0+ + ++0- - - ─┼────┼────┼────┼──> R –4 –1 4 8 HP = {x: x <–4 V –1 ≤ x ≤ 4 V x > 8}

Pertidaksamaan Sederhana Solusi pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang memenuhi pertidaksamaan. Solusinya dapat digambarkan pada garis bilangan. Contoh : Solusi dari : x + 4 > 7 Ruas kiri dan kanan dikurangi 4 diperoleh, x + 4 – 4 > 7 – 4 x > 3 Jadi semua nilai x lebih besar dari 3 yang memenuhi pertidaksamaan, ---------+----+----+----+--------- x 3 Contoh : Cari nilai x yang memenuhi pertidaksamaan, 3 + 4x  6x + 7 Tulis pertidaksamaan menjadi, 4x – 6x  7 – 3 –2x  4 2x  –4 x  –2 Jadi semua nilai x lebih kecil atau sama dengan –2 yang memenuhi pertidaksamaan. Garis bilangannya : ---------+----+----+----+--------- x -2

Pertidaksamaan Kuadratik (1) Pertidaksamaan kuadratik adalah pertidaksamaan yang memuat persamaan kuadratik. Tahap-tahap menentukan solusinya adalah : Ubah bentuk pertidaksamaan menjadi persamaan Carilah akar-akar persamaan kuadratnya, jika mungkin dengan faktorisasi Selidikilah nilai-nilai yang mungkin dengan menggunakan garis bilangan Tentukan solusinya dari langkah (3). Contoh : Tentukan HP dari x2 – 4x – 12 < 0 Faktor dari, x2 – 4x – 12 = 0 adalah, (x + 2)(x – 6) = 0, dan akar-akarnya x=–2, x=6. Perhatikan garis bilangan - - - 0 + + + + + + + + (x+2) -----+------------+------ –2 6 - - - - - - - - - - 0 + + + (x–6) -----+------------+------ –2 6 + + 0 - - - - - -0++ + (x+2)(x–6) -----+------------+----- HP, –2 < x < 6.

Pertidaksamaan Kuadratik (2) Contoh : Tentukan HP : 0 < x2 – 4x – 12 < 20 Solusi pertidaksamaan diatas adalah irisan HP : 0<x2 –4x–12 dan x2 – 4x – 12 < 20 Solusi dari, x2 – 4x – 12 >0, atau (x+2)(x – 6) > 0 adalah x< –2 v x > 6 Solusi dari, x2 – 4x – 12 < 20 atau x2 – 4x – 32 < 0, (x + 4)(x – 8) < 0 adalah –4< x < 8 Irisan kedua solusi adalah – 4<x< –2 v 6 < x < 8 Contoh : Tentukan HP dari 2x2 + 3x – 9  0 Faktor, 2x2 + 3x – 9 = 0 adalah, (2x – 3)(x + 3) = 0, dan akar-akarnya x=3/2, x=–3. Perhatikan garis bilangan - - -0 + + + + + + + (x+3) -----+-----------+----- –3 3/2 - - - - - - - - - 0 + + (2x–3) -----+----------+------ –3 3/2 + + 0 - - - - - -0++ + (2x+3)(x–3) -----+-----------+----- Jadi nilai x yang memenuhi pertidaksamaan, x –2 v x  6.

Pertidaksamaan dan Pecahan (1) Sifat-sifat : Contoh : Hitunglah HP dari, Jawab Batas interval pertidaksamaan adalah x1=2, dan x2–3. Perhatikanlah garis bilangan berikut : - - - - - - - - - 0+ + + (x – 2) -----+-----------+----- –3 2 - - - 0 + + + + + + + (3x+9) -----+----------+------ + + 0 - - - - - -0++ + HP -----+-----------+----- –3 2 Jadi HP pertidaksamaan, –3 < x  2 Batas interval, solusinya adalah p=0, dan q0

Pertidaksamaan dan Pecahan (2) Contoh : Hitunglah HP dari, Jawab Tulislah pertidakamaan menjadi, Perhatikanlah garis bilangan berikut, - - - - - - - 0 + + + + + + + (x + 1) -----+-----+-------+------+-- –3 –1 3 6 - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + (x – 6) -----+-----+-------+------+-- - - - 0 + + + + + + + + + + (x + 3) -----+-----+-------+------+-- - - - - - - - - - - - 0 + + + + (x – 3) -----+-----+-------+------+-- + + 0- - - 0 + + 0 - - - 0+ + HP -----+-----+-------+------+-- Jadi HP : –3 < x  –1 v 3 < x  6

Nilai Mutlak Bilangan Nilai mutlak suatu bilangn real x selalu bernilai positip. Nilai mutlak bilangan real x ditulis |x|, didefininisikan oleh : y Y=-x Y=x x ───┼─────┼─────┼─> R –x 0 x Grafik persamaan, y = |x| y Y=x-a Kasus khusus, Y=a-x a x a ───┼─────┼─────┼─> R –(x-a) 0 x-a Grafik persamaan, y = |x – a|

Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (1) Contoh : Hitunglah HP dari, |2x – 5| < 9 Jawab Menurut definisi, |2x – 5| < 9  –9 < 2x – 5 < 9  –9+5 < 2x < 9+5  –4 < 2x < 14 Jadi, HP : –2 < x < 7 Hitunglah HP dari, |2x + 3| > 11 |2x + 3|>11  2x+3< –11 v 2x+3>11  2x<–11–3 v 2x >11–3  2x < –14 v 2x > 8 Jadi, HP : x < –7 v x > 4 Nilai mutlak bilangan x, ditulis |x| didefinisikan, Dari definisi diatas nilai mutlak bilangan selalu bernilai positif. Pertidaksamaan dengan nilai mutlak yang penting : | x | < a  –a < x < a | x | > a  x<–a V x> a Sifat (1) berlaku pula untuk (), sifat (2) berlaku pula untuk ()

Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (2) Contoh : Hitung HP dari, |x2 – 4x – 25|< 20 Jawab Menurut definisi, |x2– 4x–25|<20 –20<x2– 4x – 25<20 Jadi, HP merupakan irisan dari, (1) –20 <x2 – 4x – 25 dan (2) x2 – 4x – 25 < 20 Mengingat, –20 <x2 – 4x – 25  x2 – 4x – 5 > 0  (x + 1)(x – 5) > 0 Solusinya adalah : + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (1) -----+------------+------- –1 5 Jadi HP (1) : x < –1 v x > 5 Demikian pula dari, x2 – 4x – 25 < 20  x2 – 4x – 45 <0  (x + 5)(x – 9) < 0 Solusinya adalah : + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (2) -----+------------+------- –5 9 Jadi HP (2) : –5 < x < 9 Jadi solusi pertidaksamaan adalah : HP -----+------+------+-------+--- –5 –1 5 9 Solusi : –5 < x < 1 v 5 < x < 9

Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (3) Contoh : Hitung HP dari, |x2 – 5x – 21|> 15 Jawab Menurut definisi, |x2 – 5x – 21|> 15 x2 –5x – 21<–15 atau x2 – 5x – 21>15 Jadi, HP merupakan gabungan HP, (1) x2 – 5x – 21 < –15 atau (2) x2 – 5x – 21 > 15 Mengingat, x2 – 5x – 21< –15  x2 – 5x – 6 < 0  (x + 1)(x – 6) <0 + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (1) -----+------------+------- –1 6 Jadi HP (1) : –1 < x < 6 Demikian pula dari, x2 – 5x – 21 > 15  x2 – 5x – 36 >0  (x + 4)(x – 9) > 0 Solusinya adalah : + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (2) -----+------------+------- –4 9 Jadi HP (2) : x < –4 v x > 9 Jadi solusi pertidaksamaan adalah : HP -----+-------+---------+-------+--- –4 –1 6 9 Solusi : x < –4 v –1< x < 6 v x > 9

Pertidaksamaan Nilai Mutlak Bentuk grafik Contoh Tentukan HP dari : Y=x2 + 2x – 16 8 |x2 + 2x – 16| ≤ 8 x –8 ≤ x2 + 2x – 16 x2 + 2x – 16 ≤ 8 –6 – 4 2 4 –8 + 0 - - - - 0 ++ ─┼────┼─> R –4 2 + 0 - - - - 0 ++ ─┼────┼─> R –6 4 Grafik persamaan kuadrat, Solusi : ─┼────┼────┼────┼──> R –6 –4 2 4 HP = {x: –6≤ x ≤–4 V 2 ≤ x ≤ 4} Contoh Tentukan HP dari : |x2 – 6x – 16| ≥ 8

Soal-soal latihan Carilah solusi pertidaksamaan berikut ini : –13 < 3x – 7 < x+17 x2 – 10x + 24 < 0 10 < x2 – 4x + 5 < 17 8 < 2x2 – 5x + 5 < 30 –1< 3x2 – 4x – 5 < 10 |2x + 5| < 17 |3x – 4| > 14 |x2 – 5x – 32|  18 |x2 + 4x – 22| > 10

Soal-Soal Latihan : Soal 16.Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini Soal 17. Diberikan, Tentukan nilai x agar f(x) = 0 Nilai x agar f(x) tidak ada (penyebut sama dengan 0) interval f(x) > 0 dan f(x) < 0

Sistem Koordinat Kartesius dan Grafik Garis Lurus (1) Grafik : gambar mempresentasikan informasi hubungan satu variabel dengan variabel yang lain. Grafik dg sistem koordinat kartesius. Grafik yang paling sederhana adalah garis lurus, dima persamaannya : y=mx + c m disebut dengan gradien. Persamaan garis yang melalui dua buah titik P(x0,y0) dan Q(x1,y1) adalah :

Grafik Garis Lurus (2) Contoh : Garis Sejajar. Persamaan garis lurus yang melalui titik P(1,5) dan Q(2,8) seperti terlihat pada gambar berikut : Garis Sejajar. Garis sejajar adalah garis lurus yang memiliki gradien yang sama Q(2,8) P(1,5)

Grafik Garis Lurus (3) Contoh : Sketsa grafik kedua garis Garis berpotongan. Carilah titik potong dua garis, 3x+y = –1, dan –x+2y=5. Dan buat pula sketsa grafiknya. Jawab Titik potong diperoleh dengan cara eliminasi atau substitusi. 3x+y = –1 x 1 3x + y =–1 –x+2y=5 x 3 –3x +6y=15 ---------------- (+) 7y=14 Untuk, y=2, maka x=2(2) – 5 =–1 Jadi titik potong kedua garis adalah (–1,2) Sketsa grafik kedua garis –x+2y=5 Titik potong (–1,2) 3x+y = –1,

Grafik Garis Lurus (4) Contoh : Sketsa grafiknya adalah : Garis tegak lurus. Carilah garis yang tegak lurus garis, 3x + y = 9, dan melalui titik (1,6) Jawab Dua garis saling tegak lurus, maka m1m2=–1. Dari, garis 3x+y=9, maka diperoleh, m1= –3, dengan demikian, dan persamaan garisnya adalah, Sketsa grafiknya adalah : 3x + y = 9 (1,6) x – 3y = –17 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

Grafik Parabola (1) Grafik persamaan kuadrat yang berbentuk, y=ax2+bx+c disebut dengan parabola Sifat-sifat grafik parabola. Kecekungan. (a) a > cekung terbuka keatas (b) a < cekung terbuka kebawah. Sumbu simetri. Garis, adalah sumbu simetri parabola Titik potong dengan sumbu y. Grafik memotong sumbu di titik (0,c) 4. Titik potong dengan Sumbu x Kasus D > 0. Grafik parabola memotpng sumbu di dua tempat, yaitu : (b) Kasus D = 0 Grafik parabola menyinggung sumbu x di titik, Kasus D < 0 Grafik parabola tidak memotong sumbu x

Grafik Parabola (2) Contoh : Langkah-langkah membuat sketsa grafik adalah : Bilamana mungkin tentukanlah pula titik potongnya dengan sumbu koordinat. Tentukanlah koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan. Buatlah diagram pencar titik-titik di bidang Hubungkan titik-titik tersebut sehingga membentuk suatu kurva yang mulus Contoh : Buatlah sketsa grafik parabola, y=4x2 + 4x – 15 Jawab Untuk x=0, y=–15, sehingga titik potong dengan sumbu y adalah (0,–15) Titik potong dengan sumbu x. Untuk y=0, diperoleh persamaan kuadrat, 4x2 + 4x – 15 =0, (2x + 5)(2x – 3) = 0 dimana akar-akarnya adalah : x1=–2,5 dan x2=1,5 Jadi titik potong dengan sumbu x di (–2,5 ;0) dan (1,5 ;0)

Grafik Parabola (3) (c) Sumbu simetri, a=4> 0 Untuk x=1 – 0,5, y=1 – 16. Puncak parabola di (–0,5,–16) Diagram pencar untuk beberapa nilai diberikan tabel berikut, x –3 –2 –1 0 1 2 ------------------------------------ y 9 –7 –15 –15 –7 9 (e) Sketsa grafik lihat gambar samping a=4> 0 Titik potong Sumbu simetri