Diferensial Vektor TKS 4007 Matematika III (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan oleh A.B (baca : A titik B). Secara geometri : A.B didefinisikan sebagai perkalian antara besarnya vektor-vektor A dan B dan cosinus sudut  antara keduanya. Secara analitik : misal 𝐀= A 1 𝐢+ A 2 𝐣 dan 𝐁= B 1 𝐢+ B 2 𝐣 adalah dua vektor pada bidang sistem koordinat x dan y, maka A.B didefinisikan :

Perkalian Titik (lanjutan) Sedangkan vektor pada bidang sistem koordinat x, y, dan z, dimana 𝐀= A 1 𝐢+ A 2 𝐣+ A 3 𝐤 dan 𝐁= B 1 𝐢+ B 2 𝐣+ B 3 𝐤, maka A.B didefinisikan : Ingat : hasil kali titik dari dua vektor menghasilkan skalar!

Perkalian Titik (lanjutan) Lihat gambar berikut : Gambar tersebut menunjukkan sebuah obyek yang diberi gaya. Obyek tersebut bergerak lurus sejauh dari titik A ke titik B.

Perkalian Titik (lanjutan) Usaha untuk gaya konstan tersebut dirumuskan sebagai : Dengan menggunakan definsi perkalian titik, maka diperoleh : Jadi, usaha W merupakan hasil dari perkalian titik antara gaya F dengan perpindahan r.

Perkalian Titik (lanjutan) Perkalian Vektor-vektor Satuan Dengan menggunakan definisi perkalian titik, didapatkan :

Perkalian Titik (lanjutan) Hasil perkalian titik dari vektor satuan-vektor satuan pada bidang dapat disimpulkan dalam bentuk tabel berikut :

Perkalian Titik (lanjutan) Sifat-sifat perkalian titik : Jika A, B, dan C adalah tiga buah vektor dan m adalah bilangan real, maka berlaku :

Perkalian Titik (lanjutan) Bukti : (i) 𝐀.𝐀= A 1 𝐢+ A 2 𝐣+ A 3 𝐤 . A 1 𝐢+ A 2 𝐣+ A 3 𝐤 Berdasarkan definisi secara analitik, diperoleh : 𝐀.𝐀= A 1 2 + A 2 2 = A 1 2 + A 2 2 2 𝐀.𝐀= 𝐀 2 (Terbukti!)

Perkalian Titik (lanjutan) (ii) 𝐀.𝐁= A 1 𝐢+ A 2 𝐣+ A 3 𝐤 . B 1 𝐢+ B 2 𝐣+ B 3 𝐤 Berdasarkan definisi secara analitik, diperoleh : 𝐀.𝐁= A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 Karena A1, A2, A3, B1, B2, dan B3 adalah bilangan real, maka : A 1 B 1 = B 1 A 1 , A 2 B 2 = B 2 A 2 , dan A 3 B 3 = B 3 A 3 sehingga : 𝐀.𝐁= B 1 A 1 + B 2 A 2 + B 3 A 3 𝐀.𝐁=𝐁.𝐀 (Terbukti!) Pembuktian sifat (iii), (iv), (v), (vi), dan (vii) dijadikan untuk latihan!

Perkalian Titik (lanjutan) Contoh : Jika A = i + 2j dan B = 2i – 3j, tentukan A . B dan sudut  yang dibentu oleh A dan B. Penyelesaian 𝐀.𝐁= 𝐢+2𝐣 . 𝟐𝐢−3𝐣 = 1 2 +2 −3 =2−6=4 cos 𝜃= 𝐀.𝐁 𝐀 𝐁 = −4 1 2 + 2 2 2 2 + (−3) 2 = −4 5 13 = −4 65 =−0,47 𝜃=𝑎𝑟𝑐 cos (−0,47) = 119,74 o

Perkalian Silang Perkalian silang dari dua buah vektor A dan B dinyatakan dengan 𝐀×𝐁 (baca : A silang B). Perhatikan gambar berikut : Tinjau rotasi sebuah partikel dalam lintasan dengan jari-jari r. Jarak yang telah ditempuh dalam selang waktu t adalah s dengan sudut yang dibentuk adalah  (dalam radian). Hubungan s dan  diberikan oleh s = r.

Perkalian Silang (lanjutan) Untuk selang waktu yang sangat kecil, maka besar kecepatan linier diberikan oleh : Besaran 𝜔= 𝑑𝜃 𝑑𝑡 , disebut sebagai kecepatan sudut yang arahnya diberikan oleh arah putar tangan kanan, tegak lurus bidang lingkaran. Jadi, hubungan antara kecepatan linier dengan kecepatan sudut diberikan oleh :

Perkalian Silang (lanjutan) Jadi, kecepatan linier dari rotasi sebuah partikel sama dengan kecepatan sudut kali silang vektor kedudukan dari jari-jari lingkaran. Berikut ini definisi perkalian silang : Secara geometri Perkalian silang dari dua vektor A dan B adalah sebuah vektor 𝐂=𝐀×𝐁 (baca A silang B), yang besarnya adalah hasil kali antara besarnya A dan B dan sinus sudut  antara keduanya. dengan u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari 𝐀×𝐁.

Perkalian Silang (lanjutan) Secara analisis Misal 𝐀= A 1 𝐢+ A 2 𝐣+ A 3 𝐤 dan 𝐁= B 1 𝐢+ B 2 𝐣+ B 3 𝐤, maka perkalian silang dari dua vektor A dan B didefinisikan sebagai berikut :

Perkalian Silang (lanjutan) Perkalian Vektor-vektor Satuan Dengan menggunakan definisi perkalian silang, didapatkan :

Perkalian Silang (lanjutan) Hasil perkalian silang dari vektor satuan-vektor satuan pada bidang dapat disimpulkan dalam bentuk tabel berikut :

Perkalian Silang (lanjutan) Sifat-sifat perkalian silang : Jika A, B, dan C adalah tiga buah vektor dan m adalah bilangan real, maka berlaku :

Perkalian Silang (lanjutan) Bukti : Misal 𝐀= A 1 𝐢+ A 2 𝐣+ A 3 𝐤, 𝐁= B 1 𝐢+ B 2 𝐣+ B 3 𝐤 dan 𝐂= C 1 𝐢+ C 2 𝐣+ C 3 𝐤, maka : (ii)

Perkalian Silang (lanjutan) (iv) Pembuktian sifat (i), (iii), (v), dan (vi) dijadikan untuk latihan!

Perkalian Silang (lanjutan) Contoh : Jika A = 2i - 2j + k dan B = 3i + j + 2k, tentukan A G B dan sudut  yang dibentu oleh A dan B. Penyelesaian

Perkalian Silang (lanjutan) Jadi sudut antara A dan B adalah 57,69o.

Latihan 1. 2. 3. 4.

Terima kasih dan Semoga Lancar Studinya!