Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit Induksi Matematik IF2151 Matematika Diskrit Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.   Contoh : p(n): “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2”. Buktikan p(n) benar! Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika.   Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas. Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Prinsip Induksi Sederhana. Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa: 1.    p(1) benar, dan 2.  jika p(n) benar maka p(n + 1) juga benar, untuk semua bilangan bulat positif n  1, Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi.   Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit Induksi matematik berlaku seperti efek domino. Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Prinsip Induksi yang Dirampatkan Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n  n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa: 1. p(n0) benar, dan 2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar, untuk semua bilangan bulat n  n0, Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit Latihan Contoh 3. Buktikan dengan induksi matematik bahwa pada sebuah himpunan beranggotakan n elemen, banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari himpunan tersebut adalah 2n. Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit Latihan Contoh 6. Sebuah ATM (Anjungan Tunai Mandiri) hanya menyediakan pecahan uang Rp 20.000,- dan Rp 50.000, -. Kelipatan uang berapakah yang dapat dikeluarkan oleh ATM tersebut? Buktikan jawaban anda dengan induksi matematik. Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit Prinsip Induksi Kuat Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n  n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa: 1. p(n0) benar, dan 2. jika p(n0 ), p(n0+1), …, p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat n  n0,. Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit Contoh 8. [LIU85] Teka-teki susun potongan gambar (jigsaw puzzle) terdiri dari sejumlah potongan (bagian) gambar (lihat Gambar). Dua atau lebih potongan dapat disatukan untuk membentuk potongan yang lebih besar. Lebih tepatnya, kita gunakan istilah blok bagi satu potongan gambar. Blok-blok dengan batas yang cocok dapat disatukan membentuk blok yang lain yang lebih besar. Akhirnya, jika semua potongan telah disatukan menjadi satu buah blok, teka-teki susun gambar itu dikatakan telah dipecahkan. Menggabungkan dua buah blok dengan batas yang cocok dihitung sebagai satu langkah. Gunakan prinsip induksi kuat untuk membuktikan bahwa untuk suatu teka-teki susun gambar dengan n potongan, selalu diperlukan n – 1 langkah untuk memecahkan teki-teki itu. Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit Soal latihan Jika A1, A2, …, An masing-masing adalah himpunan, buktikan dengan induksi matematik hukum De Morgan rampatan berikut: Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit Buktikan dengan induksi matematik bahwa n5 – n habis dibagi 5 untuk n bilangan bulat positif. Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu lainnya hanya sekali saja. Buktikan dengan induksi matematik bahwa jika ada n orang tamu maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah n(n – 1)/2. Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit

Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit Perlihatkan bahwa [(p1  p2)  (p2  p3)  …  (pn–1  pn)]  [(p1  p2  …  pn–1) pn ] adalah tautologi bilamana p1, p2, …, pn adalah proposisi. Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit