JOINT, MARGINAL & CONDITIONAL 2017/4/7 JOINT, MARGINAL & CONDITIONAL PROBAILITY 8:30 Review probability

Konsep joint probability 2017/4/7 　Konsep joint probability 2 of 45 Need to remember : Penelitian dilihat dari sudut pandang statistik adalah mencari persamaan matematik yang paling sesuai untuk menggambarkan pola hubungan antar veriables of interest Penelitian pada umumnya melibatkan 2 atau lebih variabel random Untuk melakukan inferensi yang melibatkan 2 atau lebih random variabel secara simultan, perlu diketahui distribusi bersama dari para random variabel yg terlibat dalam penelitian (Joint distribusi) 8:30 Review probability 2

2017/4/7 　Just to remember 3 of 45 Suatu random variable X, adalah fungsi yang mengaitkan setiap element pada sampel space S dengan suatu bilangan real Contoh: Sebuah dadu 4 sisi (1,2,3,4) dilempar sebanyak dua kali X= variable yg menyatakan nilai max yg muncul Tentu saja hasil dari percobaan ini tidak bisa kita prediksi, tapi kita bisa mendefinisikan himpunan dari semua nilai yang mungkin (S) dan bisa mendefinisikan random variable (X) S dan X dapat diilustrasikan sbb: 8:30 Review probability 3

Just to remember 8:30 4 of 45 Sampel space: (4,1) (3,1) (2,1) (1,1) 2017/4/7 　Just to remember 4 of 45 Sampel space: (4,1) (3,1) (2,1) (1,1) (4,2) (3,2) (2,2) (1,2) (4,3) (3,3) (2,3) (1,3) (4,4) (3,4) (2,4) (1,4) 1 2 3 4 Event 4 3 2 1 8:30 Review probability 4

Konsep joint probability 2017/4/7 　Konsep joint probability 5 of 45 Bagaimana jika pada kasus di atas kita tertarik pada kejadian bersama dari dua buah random variabel berikut: X1 : Nilai maximum yang muncul X2 : Jumlah dari 2 angka yang muncul 1,2,3,4 2,3,4,5,6,7,8 Sampel space: 1 1/16 2/16 3/16 4/16 Jml 7/16 4 5/16 3 2 8 7 6 5 x2 x1 (4,1) (3,1) (2,1) (1,1) (4,2) (3,2) (2,2) (1,2) (4,3) (3,3) (2,3) (1,3) (4,4) (3,4) (2,4) (1,4) 8:30 Review probability 5

Konsep joint probability 2017/4/7 　Konsep joint probability 6 of 45 X1 : Nilai maximum yang muncul X2 : Jumlah dari 2 angka yang muncul 1,2,3,4 2,3,4,5,6,7,8 Distribusi marginal r.v. X1 Pasangan nilai-nilai (x1,x2) disebut random variabel/random vektor 2 dimensi 1 1/16 2/16 3/16 4/16 Jml 7/16 4 5/16 3 2 8 7 6 5 x2 x1 Joint prob: sebaran prob. bersama antar 2 r.v. atau lebih Terkait dg konsep conditional prob. Distribusi marginal r.v. X2 8:30 Review probability 6

Konsep joint probability diskrit: 2017/4/7 　Konsep joint probability diskrit: 7 of 45 Joint probability random variabel X1 dan X2 8:30 Review probability 7

Konsep joint probability kontinu: 2017/4/7 　Konsep joint probability kontinu: 8 of 45 Joint normal probability random variabel X1 dan X2 8:30 Review probability 8

Definisi diskrit joint probability: 2017/4/7 　Definisi diskrit joint probability: 9 of 45 Joint pdf dari k-dimensi random variabel diskrit didefinisikan sebagai: untuk seluruh kemungkinan nilai Joint CDF dari k-dimensi random variabel diskrit adalah fungsi: 8:30 Review probability 9

Syarat joint probability diskrit: 2017/4/7 　Syarat joint probability diskrit: 10 of 45 Fungsi merupakan joint pdf dari vektor jika dan hanya jika berlaku: dan 8:30 Review probability 10

Definisi joint probability kontinu: 2017/4/7 　Definisi joint probability kontinu: 11 of 45 Suatu k-dimensi vektor random dikatakan kontinu jika terdapat fungsi disebut joint pdf dari X sedemikian rupa sehingga joint CDFnya bisa ditulis sebagai: untuk semua Seperti pada kasus satu dimensi maka joint pdf diperoleh dengan menderivatifkan CDF sbb: 8:30 Review probability 11

Syarat joint probability kontinu: 2017/4/7 　Syarat joint probability kontinu: 12 of 45 Jika partial derivative dari joint CDF exist, maka merupakan joint pdf dari k-dimensional r.v. jika dan hanya jika: dan 8:30 Review probability 12

Marginal Probability 8:30 13 of 45 2017/4/7 Marginal Probability 13 of 45 Jika X dan Y adalah R.V. dengan joint pdf maka Marginal Probability (individual pdf) dari X dan Y adalah: X dan Y diskrit Generalisasi? X dan Y kontinu 8:30 Review probability 13

Contoh diskrit joint probability: distribusi hipergeometrik 2017/4/7 　Contoh diskrit joint probability: distribusi hipergeometrik 14 of 45 Pada ruang pamer sebuah toko bunga terdapat 1000 batang bunga yg terdiri dari 400 batang warna merah, 400 batang warna putih dan 200 sisanya berwarna pink. Jika seorang pelanggan datang dan memilih 10 batang bunga, berapa probability bahwa pelanggan tsb akan memilih bunga merah sebanyak 2 batang, bunga putih sebanyak 5 batang dan sisanya adalah bunga pink? Misal X1=Banyaknya bunga merah yg terambil X2=Banyaknya bunga putih yg terambil maka banyaknya bunga pink yg terambil adalah (10-X1-X2), sehingga cukup didefinisikan dua r.v. X1 dan X2.dengan joint probability: Kasus distribusi hypergeometrik dengan 2 variabel random 8:30 Review probability 14

Contoh diskrit joint probability: extended hypergeometric distribution 2017/4/7 　Contoh diskrit joint probability: extended hypergeometric distribution 15 of 45 Misal N buah obyek terdiri atas k+1 tipe obyek yg berbeda dengan komposisi: Tipe 1 sebanyak M1 Tipe 2 sebanyak M2 . Tipe k+1 sebanyak Mk+1 Jika Xi menyatakan banyaknya item i yg terambil, maka vektor random memiliki distribusi yg disebut extended hypergeometric distribution dengan pdf: Diambil sampel sebanyak n buah tanpa pengembalian (WOR) dimana 8:30 Review probability 15

2017/4/7 　Contoh 16 of 45 The two most common types of errors made by programmers are syntax errors and errors in logic. For a simple language such as BASIC the number of such errors is usually small. Let X denote the number of syntax errors and Y the number of errors in logic made on the first run of a BASIC program. Assume the joint pdf for (X,Y) is as shown in Table below. y (logic error) 1 2 3 f(x) 0.400 0.100 0.020 0.005 0.525 0.300 0.040 0.010 0.004 0.354 0.009 0.003 0.062 0.008 0.007 0.027 4 0.002 0.022 5 0.001 f(y) 0.762 0.167 0.053 0.018 Total f(x,y) 1.000 x (syntax) 8:30 Review probability 16

2017/4/7 　Contoh 17 of 45 Find the probability that a randomly selected program will have neither of these types of errors Find the probability that a randomly selected program will contain at least one syntax error and at most one error in logic. Find the marginal densities for X and Y. Find the probability that a randomly selected program contains at least two syntax errors. Find the probability that a randomly selected program contains one or two errors in logic. 8:30 Review probability 17

Contoh / latihan Example The joint pdf of the two random variables X and Y is given by Find The value of the constant c Marginal pdf of X Marginal pdf of Y 8:30

　Contoh / latihan a) b) c) 8:30

　Contoh / latihan d) e) 8:30

Contoh / latihan Exercise A service facility operates with 2 service lines. On a randomly selected day, let X be the proportion of time that the first line is in use whereas Y is the proportion of time that the second line is in use. Suppose that the joint pdf for (X,Y) is Compute the probability that neither line is busy more than half the time Find the probability that the first line is busy more than 75% of the time. 8:30

　Contoh / latihan a) 8:30

　Contoh / latihan b) Marginal probability of X Since the question ask about the probability of line 1 only, represented by X, we need to find the marginal of X first 8:30

Contoh / latihan The joint of two continuous r.v X and Y is given by Example 5 The joint of two continuous r.v X and Y is given by Find The value of the constant k Marginal pdf of X and Y Marginal CDF of X and Y 8:30

　Contoh / latihan a) b) 8:30

　Contoh / latihan c) d) 8:30