Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Barisan Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat – sifat barisan Barisan Monoton

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Barisan Tak Hingga Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan −bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli. Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam bentuk a 1,a 2,…,a n. a 1 menyatakan suku ke–1, a 2 menyatakan suku ke–2 dan a n menyatakan suku ke–n. Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Barisan Tak Hingga Contoh − contoh barisan Barisan Bisa dituliskan dengan rumus Barisan Bisa dituliskan dengan rumus Penentuan a n tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba –coba.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Kekonvergenan barisan tak hingga Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila atau { untuk setiap epsilon positif terdapat N positif sedemikian hingga untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antara dan L akan kurang epsilon}

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Kekonvergenan barisan tak hingga Contoh 1 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut Jawaban Karena maka divergen

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Kekonvergenan barisan tak hingga Contoh 2 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut Jawaban Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk menyelesaikannya digunakan teorema berikut : Misal,bila maka untuk x  R.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Kekonvergenan barisan tak hingga Jawaban (lanjutan) Jadi dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka Berdasarkan teorema maka. Karena nilai limitnya menuju 0, maka Konvergen menuju 0.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Kekonvergenan barisan tak hingga Contoh 3 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut Jawaban Bentuk dari suku −suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda akibat dari nilai cos n , untuk n ganjil tandanya −, untuk n genap tandanya +. Nilai tidak ada tetapi minimal bernilai –1 dan maksimal bernilai 1. Sedangkan akibatnya untuk n   nilai, akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Sifat – sifat barisan Misal {a n } dan {b n } barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu konstanta, maka

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Barisan Monoton Kemonotonan barisan {a n } dapat dikelompokkan menjadi 4 macam : 1.Monoton naik bila 2.Monoton turun bila 3.Monoton tidak turun bila 4.Monoton tidak naik bila

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Tak Hingga Deret tak hingga merupakan jumlahan dari yaitu a 1 +a 2 +…+a n. Notasi deret tak hingga adalah. Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan barisan jumlahan parsial yaitu,,dimana : Dan

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Tak Hingga Contoh Selidiki apakah deret konvergen ? Jawaban Karena, maka adalah deret konvergen yaitu konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba – coba.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Suku Positif Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku- sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang sering digunakan : 1.Deret geometri 2.Deret harmonis 3.Deret-p Deret–p akan dibahas secara khusus dalam uji integral

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Suku Positif Deret geometri Bentuk umum : Proses menentukan rumusan S n adalah sebagai berikut : Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga. untuk r  1. Kekonvergenan dari deret geometri bergantung pada nilai r.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Suku Positif Deret geometri(lanjutan) Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret geometri : –Bila r = 1, maka S n = na sehingga, sehingga deret divergen –Bila | r |<1, maka, sehingga deret konvergen ke –Bila | r | >1, maka, sehingga deret divergen

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Suku Positif Deret harmonis Bentuk umum : Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari S n nya, yaitu

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Suku Positif Deret harmonis (lanjutan) Karena, maka. Sehingga deret harmonis divergen.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Kedivergenan Deret Tak Hingga Bila deret konvergen, maka. kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah Bila,maka deret akan divergen. Bila dalam perhitungan limit a n –nya diperoleh nol, maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Kedivergenan Deret Tak Hingga Contoh Periksa apakah konvergen ? Jawaban Jadi divergen

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji Deret Positif 1.Uji integral 2.Uji Banding 3.Uji Banding limit 4.Uji Rasio 5.Uji Akar

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji Deret Positif Uji integral Misal merupakan deret suku positif dan monoton turun, dimana, maka integral tak wajar dari f(x) adalah. Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak ada, maka deret divergen. Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret konvergen.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Suku Positif Contoh 1: Uji Integral Deret–p Bentuk umum : Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya juga merupakan deret–p dengan p=1. Kekonvergenan deret p akan bergantung pada nilai p. Untuk menentukan pada nilai p berapa deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu Misalmaka. Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1 sampai .

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Suku Positif Deret–p (lanjutan) Integral tak wajar dari f(x) adalah Kekonvergenan deret–p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen. Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga akan divergen.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Suku Positif Deret–p (lanjutan) Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut : –Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen –Bila 0  p<1, maka,sehingga deret divergen –Bila p>1, maka, sehingga deret konvergen.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji Deret Positif Contoh 2 Tentukan kekonvergenan deret Jawaban Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji integral yaitu : Misal, maka Perhitungan integral tak wajar :

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji Deret Positif Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral tak wajarnya divergen. Sehingga deret juga divergen.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji Deret Positif Uji Banding Bila untuk  n  N, berlaku b n  a n maka a. Bila konvergen, maka juga konvergen b. Bila divergen, maka juga divergen Jadi pada uji banding ini, untuk menentukan kekonvergenan suatu deret, bila menggunakan sifat a maka deret pembandingnya adalah yang bersifat konvergen. Sedangkan bila menggunakan sifat nomor 2 maka deret pembandingnya adalah yang bersifat divergen.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji Deret Positif Contoh 1 Uji kekonvergenan Jawaban Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih yang paling mirip dengan deret yang akan diuji. Dapat dipilh sebagai deret pembanding. Karena dan merupakan deret p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji Deret Positif Contoh 2 Uji kekonvergenan Jawaban Dengan uji banding, digunakan deret pembanding, dimana. Karena merupakan deret konvergen, maka juga konvergen.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji Deret Positif Contoh 3 Uji kekonvergenan Jawaban Karena untuk, maka deret pembanding yang digunakan adalah.Karena dan merupakan deret konvergen, maka juga konvergen

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji Deret Positif Uji Banding Limit Misal dan, merupakan deret suku positif dan, berlaku –Bila 0 < L < , maka kedua deret bersama-sama konvergen atau bersama-sama divergen –Bila L = 0, dan adalah deret konvergen, maka. juga konvergen –Bila L =  dan adalah deret divergen maka. juga divergen

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji Deret Positif Contoh 1 Uji kekonvergenan deret Jawaban Deret pembanding yang digunakan adalah dan diketahui sebagai deret divergen ( sebagai ). Karena. dan deret pembandingnya divergen, maka. juga divergen.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji Deret Positif Contoh 2 Uji kekonvergenan deret Jawaban Deret pembanding yang digunakan adalah dan diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis). Karena. dan deret pembandingnya divergen, maka kedua deret bersama-sama divergen.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji Deret Positif Uji Rasio Misal merupakan deret suku positif dan maka berlaku –Bila  <1, maka deret konvergen –Bila  >1, maka deret divergen –Bila  =1, maka uji gagal

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji Deret Positif Contoh Uji kekonvergenan deret Jawaban Dengan uji rasio diperoleh Karena  = 0 < 1, maka konvergen.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji Deret Positif Uji Akar Misal merupakan deret suku positif dan, maka berlaku –Bila r < 1, maka deret konvergen –Bila r > 1, maka deret divergen –Bila r = 1, maka uji gagal

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji Deret Positif Contoh Uji kekonvergenan deret Jawaban Dengan uji akar diperoleh Karena, maka konvergen.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji Deret Positif Panduan Pemilihan uji deret Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka dapat dipilih uji banding atau uji banding limit Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku – sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Ganti Tanda Uji-uji kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk menguji deret-deret positif. Sedangkan untuk deret-deret yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu berbentuk. dengan a n > 0 untuk semua n dilakukan uji tersendiri. Notasi deret ganti tanda adalah. atau. Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila a. (monoton tak naik) b.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Ganti Tanda Contoh Tentukan kekonvergenan deret Jawaban merupakan deret ganti tanda dengan rumus suku ke–nnya adalah. Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut : a.. b. Nilai

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Ganti Tanda a. Karena jadi {a n } adalah monoton tak naik. b. Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Deret dikatakan konvergen mutlak, bila deret mutlak konvergen (suku a n bisa berupa suku positif atau tidak). Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi bila divergen, maka. juga divergen. Kovergen bersyarat terjadi bila konvergen tetapi divergen.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 1 Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ? Jawaban Deret mutlaknya adalah. Dengan menggunakan uji banding, dimana deret pembandingnya adalah maka diperoleh bahwa untuk semua nilai n. Karena merupakan deret konvergen, maka juga konvergen. Sehingga konvergen mutlak.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 2 Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ? Jawaban Deret mutlaknya adalah. Dengan uji rasio diperoleh. Karena  =0<1, maka konvergen. Sehingga konvergen mutlak.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 3 Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ? Jawaban Deret mutlaknya adalah yang merupakan deret divergen. Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda a. (monoton tak naik) Diperoleh bahwa benar b.Jadi deret ganti tandanya konvergen. Karena deret ganti tandanya konvergen sedangkan deret mutlaknya divergen maka konvergen bersyarat.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Uji rasio untuk kekonvergenan mutlak Misal deret dengan suku tak nol dan, tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah : Bila r<1, maka konvergen mutlak Bila r>1, maka divergen Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan) Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini..

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 1 Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen? Jawaban Dengan uji rasio mutlak diperoleh : Karena, maka konvergen mutlak.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 2 Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen? Jawaban Dengan uji rasio mutlak diperoleh : Karena r > 1, maka divergen.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Pangkat Bentuk umum : Contoh deret pangkat

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Pangkat Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan terdapat dua variabel, yaitu n dan x. Untuk n, nilainya dari 0 sampai , sedangkan nilai x dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan mutlak, yaitu pada saat r < 1. Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret maupun disebut interval kekonvergenan. Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing – masing deret.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Pangkat Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah : Selang konvergensi untuk deret Deret konvergen hanya di x = 0 Deret konvergen mutlak di x  R Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r,r) atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya. Selang konvergensi untuk deret Deret konvergen hanya di x = b Deret konvergen mutlak di x  R Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r,b+r) atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Pangkat Contoh 1 Tentukan interval kekonvergenan deret Jawaban Pengujian dengan uji rasio mutlak : Deret akan konvergen untuk semua nilai x Atau x  R

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Pangkat Contoh 2 Tentukan interval kekonvergenan deret Jawaban Pengujian dengan uji rasio mutlak : Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah x = 0 agar r < 1. Jadi deret konvergen untuk x = 0

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Pangkat Contoh 3 Tentukan interval kekonvergenan deret Jawaban Pengujian dengan uji rasio mutlak : Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah –3 < x < 3. Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Pangkat Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = 3 adalah sebagai berikut : Saat x = -3  deretnya menjadi  Deret ini diketahui sebagai deret harmonis yang divergen. Saat x = 3  deretnya menjadi  dengan uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen. Jadi interval kekonvergenan deret adalah

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Pangkat Contoh 4 Tentukan interval kekonvergenan deret Jawaban Pengujian dengan uji rasio mutlak : Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah 4 < x < 6. Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Pangkat Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai berikut : Saat x = 4  deretnya menjadi  karena. konvergen maka deret ganti tandanya juga konvergen.. Saat x = 6  deretnya menjadi yang merupakan deret-p yang diketahui konvergen. Jadi interval kekonvergenan deret adalah

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Operasi-operasi deret pangkat 1.Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan, pembagian, dan substitusi 2.Turunan deret : 3.Integral deret :

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Pangkat Deret geometri adalah contoh deret pangkat x dengan a n = 1. Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri, maka diperoleh Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi yang memuat x.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Pangkat Contoh 1 Nyatakan dalam deret pangkat Jawaban Dengan menggunakan deret geometri

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Pangkat Contoh 2 Nyatakan dalam deret pangkat Jawaban Dengan menggunakan jawaban sebelumnya

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Pangkat Contoh 3 Nyatakan dalam deret pangkat Jawaban Jadi

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Pangkat Contoh 4 Nyatakan dalam deret pangkat Jawaban adalah turunan dari sehingga

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Taylor dan Maclaurin Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x–b) yaitu, dimana nilai-nilai a 0,a 1,a 2,… diperoleh dari penurunan f(x) di x = b sampai turunan ke-n, yaitu

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Taylor dan Maclaurin Atau f(x) bisa dituliskan sebagai Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial taylor, dinamakan deret taylor. Bila b = 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret maclaurin, yaitu

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Taylor dan Maclaurin Contoh 1 Perderetkan ke dalam deret maclaurin Jawaban Sehingga

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Taylor dan Maclaurin Contoh 2 Perderetkan ke dalam deret Maclaurin / Taylor Jawaban Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa Dengan mengganti x dengan 2x–1 maka diperoleh perderetannya adalah

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Taylor dan Maclaurin Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan ke dalam deret Maclaurin

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Deret Taylor dan Maclaurin Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat seperti pada bagian sebelumnya, misal :

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Soal Latihan A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Soal Latihan A (Lanjutan)

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Soal Latihan A (Lanjutan) B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ?

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Soal Latihan B. (lanjutan)

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Soal Latihan B. (lanjutan)

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Soal Latihan B. (lanjutan)

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Soal Latihan B. (lanjutan) C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukan konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Soal Latihan D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Soal Latihan D. (Lanjutan) E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat 1.2.

Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Soal Latihan E. (Lanjutan)