VEKTOR 4/8/2017 Fisika I

BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). Dalam handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal. Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R a b R 4/8/2017 Fisika I

PENJUMLAHAN VEKTOR Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c. Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua. b S R T = R + S T c a 4/8/2017 Fisika I

BESAR VEKTOR RESULTAN Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan : (1.1) R S T T = R + S θ Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S 4/8/2017 Fisika I

PENGURANGAN VEKTOR Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan. D = A – B D -B B A 4/8/2017 Fisika I

CONTOH Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu ! 40 km S 10 km 20 km U B 4/8/2017 Fisika I

CONTOH 40 km Jawab : B 10 km C A 20 km D = A + B + C 10 km 40 km Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D. Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah : 4/8/2017 Fisika I

VEKTOR SATUAN Vektor satuan didefenisikan sebagai : (1.2) Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R. Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan. Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif 4/8/2017 Fisika I

PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS Rz R Ry Rx Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk Besar vektor R adalah : Vektor dalam 2 Dimensi Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat. 4/8/2017 Fisika I

CONTOH Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan : Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X Panjang vektor y Jawab : (-2,5) ujung Ry  (2,2) pangkal x Rx a. Vektor perpindahan : R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j 4/8/2017 Fisika I

CONTOH b. Sudut yang dibentuk : c. Besar vektor R = satuan y (-2,5) Ry (2,2) (-2,5) x y pangkal ujung  Rx Ry b. Sudut yang dibentuk : c. Besar vektor R = satuan 4/8/2017 Fisika I

PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku : R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j (1.3) yA + yB yB B A + B yA B A xB xA A xA + xB 4/8/2017 Fisika I

CONTOH Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 2j B = 2i  4j Tentukan : a. A + B dan A + B b. A  B dan A  B -B A  B A Jawab : B a. A + B = 3i + 2j + 2i  4j = 5i  2j A + B = A + B b. A  B = 3i + 2j  (2i  4j) = i + 6j A  B = 4/8/2017 Fisika I

SOAL 1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya! Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh vektor satuannya 3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA = 10 satuan ! 4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan : a. A + B - C b. A + B + C 4/8/2017 Fisika I

SOLUSI R = Rxi + Ryj Diketahui : Rx = R cos  = 4 cos 60o = 2 satuan 1. R = Rxi + Ryj Diketahui : Rx = R cos  = 4 cos 60o = 2 satuan Ry = R sin  = 4 sin 60o = 2 satuan Dengan demikian R = 2i + 2 j satuan Vektor satuan : r = cos 60o + sin 60o = ½ i + ½ j 60o X Y R  4/8/2017 Fisika I

SOLUSI X Y R 1 5 2 2. R = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan titik akhir (x2,y2) = (5,0). Dengan demikian vektor R = 4 i – 2 j. R = c. 4/8/2017 Fisika I

SOLUSI Besar vektor A = = 5 satuan 3. Dengan demikian nilai c = 2 satuan 4. a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j b. A + B + C = 2i + 4j - 7i + 8j = -5i + 12j -5i + 12j = = 13 satuan 4/8/2017 Fisika I

PERKALIAN SKALAR Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku : A . B = AB cos  (1.4) Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka : A . B = axbx + ayby + azbz (1.5) Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain. A B  4/8/2017 Fisika I

PERKALIAN SKALAR Perhatikan animasi di samping ini ! Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . k = k . i = 0 4/8/2017 Fisika I

CONTOH Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i  2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B ! Jawab : Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1.4). A  A . B = (3i + 4j) . (4i  2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4 AB B Besar vektor A = Besar vektor B = Dengan demikian  = 79,7o 4/8/2017 Fisika I

PERKALIAN VEKTOR Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku : A  B = C (1.6) Besar vektor C adalah : C = AB sin  (1.7) Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A  B tidak sama dengan B  A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan. C = A  B B  B C = -C’ A  A C’ = B  A 4/8/2017 Fisika I

PERKALIAN VEKTOR Perhatikan animasi di samping ini ! Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i  i = j  j = k  k = 0 i  j = k ; j  k = i; k  i = j j  i = -k ; k  j = -i; i  k = -j 4/8/2017 Fisika I

PERKALIAN VEKTOR Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua vektor (misal A  B), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut. Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini : 4/8/2017 Fisika I

CONTOH Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 4j B = 4i  2j + k Tentukan : a. A  B b. Buktikan A  B = -B  A Jawab : a. A  B = (3i + 4j)  (4i  2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k b. B  A = (4i  2j + k)  (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A  B terbukti 4/8/2017 Fisika I

SOAL Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3 i – 4 k ! Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor B = i + 3 j – 4 k ! 3. Diberikan tiga buah vektor : A = 1 i + 2 j – k B = 4 i + 2 j + 3 k C = 2 j – 3 k Tentukan : a. A . (B  C) b. A . (B + C) c. A  (B + C) 4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus ! 4/8/2017 Fisika I

SOLUSI 1. Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor A : Besar vektor B : Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh : Dengan demikian  = 55,1o A B AB  2. Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang besarnya : 4/8/2017 Fisika I

SOLUSI 3. a. B  C = (4i + 2j + 3k)  (2j – 3k) = 8(i  j) – 12(i  k) – 6(j  k) + 6(k  j) = 8k + 12j  12i A . (B  C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4 b. B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12 c. A  (B + C) = (i + 2j – k)  (4i + 4j) = i – 4j – 4k 4. Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh : R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0 R . S = RxSx + RySy + RzSz Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka : R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0 4/8/2017 Fisika I

BESARAN FISIS Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya. S = f(x1, x2, . . . , xn) (1.8) S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar muatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12, dan medium di mana kedua partikel tersebut berada. Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu variabel saja. 4/8/2017 Fisika I

BESARAN FISIS Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya ditentukan oleh satu variabel, yaitu x. y Dari grafik di samping diketahui y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), dan y4 = y1. y1 y2 y3 x x1 x2 x3 x4 Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas. 4/8/2017 Fisika I

BESARAN FISIS Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu. t (detik) x (meter) 9 1 4 2 3 5 6 7 16 8 25 36 x(t) = (t – 3)2 4/8/2017 Fisika I

BESARAN FISIS r (m) E (N/C) 1 9 2 2,25 3 4 0,5625 5 0,36 6 0,25 7 0.1837 8 0,1406 0,1111 10 0,09 Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC. 4/8/2017 Fisika I

CONTOH Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x ! F F =kx x 4/8/2017 Fisika I

CONTOH 2. Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t ! Q Q = q(1 – e-At) q t 4/8/2017 Fisika I

DIFERENSIAL Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM. Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap waktu. Lihat gambar di samping. Gradien dari garis singgung pada titik P dapat ditentukan oleh persamaan : f(x) (1.9) f(c+h) Garis singgung P f(c) x c c+h 4/8/2017 Fisika I

DIFERENSIAL Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi : (1.10) Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh : f’(x) Dxy Berlaku untuk turunan : Dx(cf(x)) = c Dxf(x) c : konstanta (1.11a) Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x) (1.11b) Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x)) (1.11c) Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x) (1.11d) Dx(xn) = nXn-1 (1.11e) 4/8/2017 Fisika I

DIFERENSIAL Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk : Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh : 4/8/2017 Fisika I

CONTOH Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan : Fungsi arus sebagai waktu Besar arus saat t = 0 Gambarkan grafik I(t) Jawab : a. Besar arus I : qA I(t) t c. b. Pada saat t = 0 harga I adalah : I = qAe-A.0 = qA 4/8/2017 Fisika I

INTEGRAL Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x. x0 x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x – 3)2 + 5 dan luas yang ditentukan pada batas dari x = 1 sampai dengan x = 8. 4/8/2017 Fisika I

INTEGRAL Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan : A(n = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x + f(7)x Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi. Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga. 4/8/2017 Fisika I

INTEGRAL Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain. Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk : Sebagai contoh : Usaha = Gaya  jarak Fluks = Medan  luas 4/8/2017 Fisika I

CONTOH Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Tentukan : Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu Jawab : a. Usaha yang dilakukan : W =½kx2 W x b. 4/8/2017 Fisika I

SOAL 1. Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh persamaan F(x) = Ax  Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan B = 5.103 N/m2. Tentukan : Grafik F terhadap x Perubahan Gaya F terhadap jarak Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm 2. Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak. Tentukan : Fungsi potensial V sebagai fungsi x Jika diketahui medan listrik E adalah turunan pertama dari potensial listrik V, tentukan fungsi E(x) Gambarkan grafik E terhadap x x (m) 10 8 4 V (volt) 4/8/2017 Fisika I

SOAL 3. Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t2 m/s bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan : Gambarkan grafik v(t) Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t) Gambarkan grafik a(t) Fungsi posisi x(t) terhadap waktu Posisi saat kecepatan v = 0 4/8/2017 Fisika I

SOLUSI 1. a. 1. b. Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh x (cm) F (N) 1. b. Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh = A – 2Bx = 103 – 104x 4/8/2017 Fisika I

SOLUSI 1. c. Usaha yang dilakukan : W = 36.10-4A – 234.10-6B = 2,43 Joule 2. a. 10 8 4 V (volt) x (m) Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi linier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakan persamaan garis V = ax + b. Untuk titik (0,4) 0.a + b = 4 Untuk titik (10,8) 10.a + b = 8 Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4 4/8/2017 Fisika I

SOLUSI 2. b. Medan listrik E(x) = = 2,5 Dengan demikian nilai E(x) konstan. x (m) E (V/m) 2,5 2. c. x (m) v (m/s) 3. a. 4/8/2017 Fisika I

SOLUSI 3. b. Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 = 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – 2.32 = 12 m/s. 3. c. Percepatan a(t) = = 10 – 4t a (m/s2) 3. d. x (m) 4/8/2017 Fisika I

SOLUSI 3. e. Fungsi posisi x(t) = Saat v = 10t – 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik posisi x di : 3. f. x(5) = Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m 4/8/2017 Fisika I